2023年高考：立體幾何復習題及答案

1.如圖所示，在四棱錐尸-N8CQ中，AB//CD,AD=AB=^CD,NDAB=60°,點E,F

分別為CD,/尸的中點.

(1)證明：PC〃面BEF：

(2)若弘工P。,且刃=P。，面以。_1面/88,求二面角尸-8E-Z的余弦值.

【解答】解：(1)證明：連接NC,交BE于H,連接尸4,

?.?點￡為CZ)的中點，AB//CD,

：.AB=^CD=CE,NCAB=NBCD,ZBHA=ZCHE,

：./\ABH^/\CEH,：.AH=CH,即點，為力C的中點，

又F為AP的中點、，：.FH〃PC,

面8EE,PCC面8￡尸，

；.PC〃面BEF.

(2)取的中點O,連P。，OB,

"：PA=PD,：.PO±AD,

:面口。_L面N8CD,面/MDC面N8CZ)=4￡),

：.POL^ABCD,：.POLOB,

'：ZDAB=60°,AD=AB,：.OB±AD.

以。/,OB,O尸所在的直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

設ZD=2,則/(1,0,0),B(0,V3,0),。(-1,0,0),P(0,0,1),F(1,0,

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TTT11

：.EB=DA=(2,0,0),BF=(g-V3,*),

：PO_L面MCA,.?.面/BE的一個法向量為五=(0,0,1),

EB-H2=0=0

設面8EF的法向量為電=(&,y。，zo),則,即-V3yo+^zo=0

BF-7i2=0

令y()=g,則xo=O,zo=6,n=(0,V3,6),e

2

由圖可知，二面角尸-8E-N為銳角，

2V39

故二面角F-BE-A的余弦值為J??

2.四棱錐S-/BCD中，底面/8CD為平行四邊形，側面S8C，底面488,已知N/8C

=45°,4SAB為正三角形.

(1)證明：SA1BC；

(2)若8c=2或，AB=SA=SB=2,求二面角C-S/-8的大小的余弦值.

【解答】解：(1)證明：過4作04,8c交5c于點O,連接OS,

：N/8C=45°,OA1BC,

△/OB為等腰直角三角形，且04=08,

???△S48為正三角形，

；.4B=SA=SB,

：./\SOA^/\SOB,

：.ZSOA=ZSOB,

又側面SBC_L底面/8C。，fflijffiS5CAJgfgABCD=BC,OAVBC,

；.ON_L平面SBC,

又OS在平面SBC內，

：.OAVOS,貝IJ0B1.0S,BPBCLOS,

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又BC在平面SBC內，

：.OALBC,

又04C05=0,且都在平面0AS內，

；.8C_L平面OAS,

又SA在平面0AS內，

C.SAVBC-,

(2)由(1)知，以。為坐標原點，OA,OB,OS所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立

如圖所示的空間直角坐標系，

"：BC=2\[2,AB=SA=SB=2,

：.0A=OB=V2,OS=V2,OC=V2,

，S(0,0,V2),B(0,V2,0),A(V2,0,0),C(0,一或，0),則工=(VL0,-

V2),CS=(0,V2,V2),SB=(0,V2,一2)，

設平面S/C的一個法向量為￡=(x,y,z),則，￥一企“一或z一°,可取蔡=(1,-

n-CS=>/2y+V2z=0

L1),

設平面SZ8的一個法向量為益=(a,b,c),貝ij[,吧一遮。=0,可取益=

m-SB=y/2b—yj2c=0

(1,1,1),

—>—>m-n_1-14-1__1

/.cos<Yn