有限元分析第一講第1頁，課件共23頁，創作于2023年2月§1.1有限元方法概述第一章緒論一.什么是有限元法(FiniteElementMethod)有限元法是近似求解一般連續問題的數值方法。將連續體離散成若干較小的單元，分析單元的力學關系，再綜合成整體。是一種將復雜問題變成簡單問題綜合的方法。該方法首先應用于結構的應力分析，近10-20年來，在求解熱傳導、電磁場、流體力學等連續問題領域得到廣泛應用。是力學、數學理物理方法學、計算力學、計算機技術等多學科綜合發展和結合的產物4.有限元法可以對復雜的工程結構進行分析，獲得各種力學和機械性能信息，是現化工程技術和研究人員進行設計和分析所必須掌握的一種理論和方法。第2頁，課件共23頁，創作于2023年2月二.有限元法與其他力學理論的關系彈性力學材料力學研究對象簡單變形體。如桿件，梁，軸等，長度尺寸遠大于橫向尺寸。任意形狀結構第3頁，課件共23頁，創作于2023年2月研究方法采用三個方程：平衡方程，幾何方程，物理方程。從構件的整個截面考慮，引用了截面的變形或應力假設。采用三個方程：平衡方程，幾何方程，物理方程。從構件的微元體dxdydz進行分析，末作有關變形和應力的假設.表現形式積分方程(宏觀的實用公式），可直接應用偏微分方程，求解較因難，常采用數值方法近似計算。如有限差分法，有限元法，邊界元法。機械結構有限元法——針對彈性力學問題的數值計算方法彈性力學材料力學第4頁，課件共23頁，創作于2023年2月§1.2有限元方法的分析過程三個主要步驟1.結構體的離散化將任意形狀的物體分割成有限數目的“單元”，單元之間只在有限個“節點”處相連接。構成由單元組成的集合體。在節點處引入等效載荷(或邊界條件),代替實際作用于原系統上的外載荷。2.進行單元分析按一定的規則(直接剛度法，虛功原理等），主要分析“節點力——節點位移”的關系，得出單元“剛度矩陣”。3.整體分析將所有單元集合成整體結構進行分析，建立整體結構的平衡方程——整體剛度方程(整體剛度矩陣)，引入邊界條件，解線性方程組，求得所有節點位移，進而求出各單元內力。步驟明確，可以實現分析過程的程序化第5頁，課件共23頁，創作于2023年2月§1.3常用有限元軟件簡介Ansys系例通用有限元分析軟件常用軟件：Ansys,MSC,ADINA,SAP20001.發行者美國Ansys公司(世界上最大的有限元軟件公司)，目前有：Ansys8.0,Ansys8.1,Ansys9.0,Ansys10.0版本。網上一些論壇中有破解版，要耐心的找，可解決你所遇的工程問題。2.主要功能及組成融結構、流體、電場、磁場、聲場分析于一起的大型通用有限元分析軟件。主要包括三個部分：1）前處理模塊：包括實體建模、網格劃分。有100多種單元類型。基本能滿足工程需要。2）分析計算模塊：包括結構分析(可進行性線、非線性、高度非線性有限元分析)、流體動力學分析、電磁場分析、聲場分析、壓電分析和多物理場耦合分析及優化分析等內容。第6頁，課件共23頁，創作于2023年2月3）后處理模塊：將計算結果以彩色等值線、梯度、矢量、粒子流等圖形方式顯式。以圖表、曲線等形式輸出。第7頁，課件共23頁，創作于2023年2月§1.4本課程的目的和主要內容三.主要參考書籍一.本課程的目的二.本課程的主要內容——主要學習結構靜力學有限元分析可在長大圖書館網頁中“超星圖書館”下載1).掌握有限元分析的基本理論和主要結論；2).能針對實際工際結構建立有限元分析模型；3).學會使用Ansys軟件進行結構有限元分析。1).桿件(剛架)結構有限元分析2).平面問題有限元分析3).軸對稱結構有限元分析4).三維問有限元分析5)Ansys軟件基本使用1).李人憲.有限元法基礎.國防工業出版社2).趙經文等.結構有限元分析.科學出版社3)有關ansys軟件的應用書籍第8頁，課件共23頁，創作于2023年2月§2.1問題的引入第二章平面桿件結構有限元法一.桿件結構的特點1.組成單元：桿件(等截面)，兩端點為節點。長度尺寸>>橫向尺寸。

一根桿就是一個單元——自然劃分2.兩端聯接

1).鉸聯接——兩端可以自由轉動。承受：拉、壓和扭矩。稱為桿

2).剛性聯接——兩端不能自由轉動。主要承受橫向力和彎矩(也能承受拉、壓、扭)。稱為梁3.組成型式

1).桁架結構——由“桿單元”組成

2).剛架結構——由“梁單元”組成二.承受拉/壓作用的桁架1.桿單元受載與變形特點(等截面)第9頁，課件共23頁，創作于2023年2月剛度由材料力學公式,可得2.桁架受載與變形P2ABCDFE對任一桿件,均可得出P1對桁架整體,可采用類似的公式所有桿件的節點外載整體剛度(矩陣)各節點位移問題:1.整體剛度矩陣[K]與各桿剛度ki的關系?2.如何由各桿剛度ki計算整體剛度矩陣[K]?第10頁，課件共23頁，創作于2023年2月§2.2彈簧系統的剛度矩陣一.單個彈簧的剛度矩陣+F1F2u1u212F1aF2au12F1bu212u2=0根據線性迭加原理,可分解成兩個簡單的系統,然后再合成。u1=0F2b1.節點2固定，節點1移動2.節點1固定，節點2移動3.合成節點1上的力節點2上的力A工況b工況第11頁，課件共23頁，創作于2023年2月設：1)作用力向量2)位移向量3)單元剛度矩陣故：4.單元剛度矩陣的性質1)單元剛度矩陣的意義令:則則令:單元剛度矩陣中第i列的意義使節點i產生單位位移（1），而使其他節點位移保持為零的情況下，作用在各節點上的力。第12頁，課件共23頁，創作于2023年2月3)對稱矩陣關于主對角線對稱。即：4)奇異矩陣即所對應的行列式之值為02)矩陣階數設單元自由度為n(即單元中所有結點的位移量個數)，則單元剛度矩陣為n階方陣。第13頁，課件共23頁，創作于2023年2月二.彈簧組的剛度矩陣F1F2u1u212F3u3F1aF2au112F3aF1bF2bu212F3bF1cF2c12F3cu3u2=0u3=0333u1=0u3=0u1=0u2=0可分解成三個簡單的系統1.節點2,3固定2.節點1,3固定kakbkakbkakbkakb3.節點1,2固定3abc第14頁，課件共23頁，創作于2023年2月4.合成寫成矩陣形式:整體剛度矩陣:5.整體剛度矩陣[K]的性質——與單元剛度矩陣類似1)總體剛度矩陣的意義——總體剛度矩陣中第i列的意義使節點i產生單位位移，而使其他節點位移保持為零的情況下，作用在各節點上的外力。2)矩陣階數（結點數×結點自由度）階方陣。本例中：結點數為3，結點自由度為1，故[K]為3階方陣第15頁，課件共23頁，創作于2023年2月三.由彈簧單元剛度矩陣迭加成彈簧組的剛度矩陣1.單元一、二的受力—位移方程(注意節點編號順序)單元1單元23)奇異矩陣即所對應的行列式之值為0注意，是作用于單元節點上的力，對于單元而言，是外力，但對整體而形，則是內力。故不能將單元節點力與節點上的載荷混淆。但兩者之間存在一定關系——力的平穩關系。在節點處取一微小段F212kakb-F22-F21F21F22F1-F11F11F3F323-F322211第16頁，課件共23頁，創作于2023年2月2.節點平衡分析1節點2節點3節點3.方程擴展參照故應將單元受力方程擴展成3階單元一（2-1）由位移連續性質，得：單元二（2-2）第17頁，課件共23頁，創作于2023年2月4.剛度矩陣迭加(2-1)+(2-2)得：整體剛度矩陣平衡關系第18頁，課件共23頁，創作于2023年2月★剛度矩陣迭加的節點編號法對較復雜的系統，一般不采用方程擴展的方法，而采用“按節點編下標，相同下標剛度元素相加”的辦法（即“相鄰單元的相同結點的同分量相迭加”）例對上述彈簧組,單元一,節點號為1和2,則單元剛度矩陣為:單元二,節點號為2和3,則單元剛度矩陣為:按相同下標相加，得整體剛度矩陣:第19頁，課件共23頁，創作于2023年2月四.邊界條件及方程求解方程中,剛度矩陣所對應的行列式值為零,故[K]的逆矩陣[K]-1不存在,方程無定解,需要加入一些約束條件(邊界條件)，才能求解。如:

設F1,F2已知,結3點固定,即u3=0,則方程成為：求解得：求彈簧內力：彈簧a(單元1）彈簧b(單元2）第20頁，課件共23頁，創作于2023年2月小結：有限元求解彈簧組的基本步驟2.形成每個單元的剛度矩陣3.由各單元的剛度矩陣，按節點編號迭加成整體剛度矩陣[K]4.引入約束條件(邊界條件）5.以節點位移為末知數，求解線性方程組6.按：單元內力=k×(節點位移差),計算各彈簧單元內力。

注意：一般不能由方程組中解出的{F}來計算單元內力。1.單元,節點編號外載荷第21頁，課件共23頁，創作于2023年2月例1已知k1=1200kN/m,k2=1800kN/m,k3=1500kN/mF1F2=10kN12F3b3u3=0F2=20kNk1k2k3求F1,F4,u