有效數字修約規則第1頁，課件共44頁，創作于2023年2月數值修約一、數值修約的概念及意義二、數值修約的基礎知識三、數值修約規則及注意事項四、數值運算規則第2頁，課件共44頁，創作于2023年2月一、數值修約的概念及意義測量及測量結果數值修約的概念及意義第3頁，課件共44頁，創作于2023年2月1.測量、測量結果（1）測量、測量結果測量是以確定量值為目的的一組操作。量值是由一個數（值）乘以測量單位所表示的特定量的大小。測量有間接和直接之分：直接測量的結果可直接測到而不必通過函數計算；而間接測量的結果需將直接測量的結果代入函數計算才能得到。第4頁，課件共44頁，創作于2023年2月由測量所得的賦予被測量的值稱為測量結果。例如，用分析天平稱得一個試樣的質量為1.1080g，1.1080g就是一個測量結果。由測量與測量結果的概念可看出，測量結果可表示如下：測量結果=數（值）×單位量值根據誤差公理，測量總是存在誤差的，測量結果只能是接近于測量真值的估計值，因而表示測量結果的數（值）是含有誤差的數（值），就是說，表示測量結果的的數值是一個近似值。第5頁，課件共44頁，創作于2023年2月（1）數值修約的概念對某一表示測量結果的數值（擬修約數），根據保留位數的要求，將多余的數字進行取舍，按照一定的規則，選取一個近似數（修約數）來代替原來的數，這一過程稱為數值修約。2.數值修約的概念及意義第6頁，課件共44頁，創作于2023年2月（2）數值修約的意義a.出于準確表達測量結果的需要。測量結果大都是通過間接測量得到的，間接測量的結果通常是通過計算得出的，其組成數字往往較多，但具體測量的精度是確定的，就是說表示合理表征測量結果的數字個數應是確定的，最終提供的測量結果應合理反映這一點，故此，通過對計算方法和直接測量得到的數據的分析，得到合理的保留位數，將多余的數字進行取舍以得到合理反映測量精度的測量結果，即進行數值修約就非常必要。另外，即使采用直接測量，有時在提供測量程序要求的但高于實際測量精度的測量結果時也需要進行合理的數值修約。第7頁，課件共44頁，創作于2023年2月b.在進行具體的數值計算前，對參加計算的數值進行修約，可簡化計算，降低計算出錯的機會。如：4.78961×2.13×102.4387926=?若不先進行數值修約就直接計算，繁瑣且容易出錯。若在計算前先按數值修約規則進行修約，舍去多余參與計算的數值之中沒有意義的數字，則計算會簡單得多，計算也就不容易出錯。第8頁，課件共44頁，創作于2023年2月二、數值修約的基礎知識1.有效數字2修約間隔3.修約數位及確定修約位數的表達方式

第9頁，課件共44頁，創作于2023年2月1.有效數字1.1有效數字有效數字是指在分析和測量中所能得到的有實際意義的數字。測量結果是由有效數字組成的（前后定位用的“0”除外）。我們來看前面的測量結果1.1080g，組成數字1、1、0、8、0都是實際測讀到的，它們是表示試樣質量大小的，因而都是有實際意義的。有效數字的前幾位都是準確數字，只有最后一位是可疑數字。如前述的1.1080，前幾位數字1、1、0、8都是稱量讀到的準確數字，而最后一位數字0則是在沒有刻度的情況下估讀出來的，是不準確的或者說可疑的。第10頁，課件共44頁，創作于2023年2月有效數字是處于表示測量結果的數值的不同數位上。所有有效數字所占有的數位個數稱為有效數字位數。例1：數值3.5，有兩個有效數字，占有個位、十分位兩個數位，因而有效數字位數為兩位；3.501有四個有效數字，占有個位、十分位、百分位等四個數位，因而是四位有效數字。測量結果的數字，其有效位數反映了測量結果的精確度，它直接與測量的精密度有關。這也是有效數字實際意義的體現，是非常重要的體現。例如前述例子中，若測量結果為1.1080g，則表示測量值的誤差在10-4量級上，天平的精度為萬分之一；若測量結果為1.108g，則表示測量值的誤差在10-3量級上，天平的精度為千分之一。第11頁，課件共44頁，創作于2023年2月

2.2有效數字位數的確定原則由于有效數字的位數反映了測量結果的精確度，它直接與測量的精密度有關。因此，在科學實驗和生產活動中正確記錄有效數字，不能多寫或少寫，多寫了不能正確反映測量精度，則該數據不真實，因而也就不可靠；少寫損失測量精度度。另外，能夠正確判定表示測量結果的數中那些數字是有效數字，確定有效數字位數就顯得非常重要。這也是在計量認證過程中，有效數字位數的確定往往成為考核內容之一的原因。第12頁，課件共44頁，創作于2023年2月在確定有效數字位數時應遵循下列原則：（1）數值中數字1～9都是有效數字。（2）數字“0”在數值中所處的位置不同，起的作用也不同，可能是有效數字，也可能不是有效數字。判定如下：1）“0”在數字前，僅起定位作用，不是有效數字。如，0.0257中，“2”前面的兩個“0”均非有效數字。0.123、0.0123、0.00123中“1”前面的“0”也均非有效數字。第13頁，課件共44頁，創作于2023年2月2）數值末尾的“0”屬于有效數字。如0.5000中，“5”后面的三個“0”均為有效數字；0.5000中，“5”后面的一個“0”也是有效數字。

特例：見第4）條。3）數值中夾在數字中間的“0”是有效數字。如數值1.008中的兩個“0”是均是有效數字；數值8.01中間的“0”也是有效數字。

第14頁，課件共44頁，創作于2023年2月4）以“0”結尾的正整數，“0”是不是有效數字不確定，應根據測試結果的準確度確定。如3600，后面的兩個“0”如果不指明測量準確度就不能確定是不是有效數字。測量中遇到這種情況，最好根據實際測試結果的精確度確定有效數字的位數，有效數字用小數表示，把“0”用10的乘方表示。如將3600寫成3.6×103表示此數有兩位有效數字；寫成3.60×103表示此數有三位有效數字；寫成3.600×103表示此數有四位有效數字。第15頁，課件共44頁，創作于2023年2月試看下面各數據的有效數字位數：1.000843383五位有效數字0.500020.76%四位有效數字0.0257154×10-10三位有效數字530.0070二位有效數字0.022×10-10一位有效數字3600100有效數字位數不定第16頁，課件共44頁，創作于2023年2月2.修約間隔修約間隔又稱修約區間或化整間隔，系確定修約保留位數的一種方式。修約間隔一般以k×10n（k=1，2，5；n為整數）的形式表示，將同一k值的修約間隔，簡稱為“k”間隔。修約間隔的數值一經確定，修約值即應為該數值的整數倍。例1：如指定修約間隔為0.1，修約值即應在0.1的整數倍中選取，相當于將數值修約到一位小數。例2：如指定修約間隔為100，修約值即應在100的整數倍中選取，相當于將數值修約到“百”數位。第17頁，課件共44頁，創作于2023年2月3.修約數位及確定修約位數的表達方式修約時擬將擬修約數的哪一位數位后部分按修約規則舍去，則該數位就是修約數位。數值修約時需要先明確修約數位，確定修約位數的表達方式如下：（1）指明具體的修約間隔。如指明將某數按0.2（2×10-1）修約間隔修約、100（1×102）修約間隔修約等。（2）指定將擬修約數修約至某數位的0.1、0.2或0.5個單位。（3）指明按“k”間隔將擬修約數修約為幾位有效數字，或修約至某數位。這時“1”間隔可不必指明，但“2”間隔和“5”間隔必須指明。第18頁，課件共44頁，創作于2023年2月三、數值修約規則1.GB8170-87《數值修約規則》2.通用修約方法第19頁，課件共44頁，創作于2023年2月1.GB8170-87《數值修約規則》測量結果的數據處理是測量過程的最后環節，由于測量結果含有測量誤差，測量結果的有效位數應保留適宜，太多會使人誤認為測量精度很高，同時也會帶來計算上的繁瑣；太少則會損失測量準確度。測量、計算結果的數值應按《數值修約規則》（GB8170-87）規定進行修約。第20頁，課件共44頁，創作于2023年2月GB8170-87《數值修約規則》規定的修約規則如下：3.1擬舍棄數字的最左一位數字小于5時，則舍去，即保留的各位數字不變。例1：將12.1498修約到一位小數，得12.1。例2：將12.1498修約成兩位有效位數，得12。第21頁，課件共44頁，創作于2023年2月3.2擬舍棄數字的最左一位數字大于5；或者是5，而其后跟有并非全部為0的數字時，則進一，即保留的末位數字加1。例1：將1268修約到“百”數位，得13×102（特定時可寫為1300）。例2：將1268修約成三位有效位數，得127×10（特定時可寫為1270）。例3：將10.502修約到個數位，得11。注：“特定時”的涵義系指修約間隔或有效位數明確時。第22頁，課件共44頁，創作于2023年2月3.3擬舍棄數字的最左一位數字為5，而右面無數字或皆為0時，若所保留的末位數字為奇數(1,3,5,7,9）則進一，為偶數（2,4,6,8,0）則舍棄。例1：修約間隔為0.1（或10-1)擬修約數修約值1.0501.00.3500.4第23頁，課件共44頁，創作于2023年2月例2：修約間隔為1000（或103)

擬修約數修約值

2500

2×103

（特定時可寫為2000)3500

4×103

（特定時可寫為4000)

例3：將下列數字修約成兩位有效位數擬修約數修約值0.03250.0323250032×103(特定時可寫為32000)第24頁，課件共44頁，創作于2023年2月3.4負數修約時，先將它的絕對值按上述3.1-3.3規定進行修約，然后在修約值前面加上負號。例1：將下列數修約到“十”數位擬修約數修約值-355-36×10（特定時可寫為-360)-325-32×10（特定時可寫為-320)例2：將下列數修約成兩位有效位數擬修約數修約值-365-36×10（特定時可寫為-360)-0.0365-0.036注：以上4條為修約間隔為“1”時的修約規則。第25頁，課件共44頁，創作于2023年2月50.5單位修約與0.2單位修約必要時，可采用0.5單位修約和0.2單位修約。5.10.5單位修約將擬修約數乘以2，按指定數位依3.1-3.4規則修約，所得數再除以2。例如：將下列數修約到個數位的0.5單位（或修約間隔為0.5）

擬修約數乘22A修約值A修約值(A)（2A）（修約間隔為1）（修約間隔為0.5)60.25120.5012060.060.38120.7612160.5-60.75-121.50-122-61.0第26頁，課件共44頁，創作于2023年2月5.20.2單位修約將擬修約數乘以5，按指定數位依3.1-3.4規則修約，所得數值再除以5。例如：將下列數修約到“百”數位的0.2單位（或修約間隔為20）

擬修約數乘55A修約值A修約值（A）（5A）（修約間隔為100）（修約間隔為20）8304150420084084242104200840-930-4650-4600-920第27頁，課件共44頁，創作于2023年2月2.通用數值修約方法GB8710-87《數值修約規則》分別規定了“1”、“2”和“5”間隔的修約規則。但計算比較繁瑣，對“2”和“5”間隔的的修約還需進行計算。這里介紹一種適用于所有修約間隔的修約方法，只需直觀判斷簡單易行。第28頁，課件共44頁，創作于2023年2月該方法如下所述：①如果為修約間隔整數培的一系列數中，只有一個數最接近于擬修約數，則該數就是修約數。例如，將1.150001按0.1修約間隔進行修約。此時，與擬修約數1.150001鄰近的為修約間隔整數倍的數有1.1和1.2（分別為修約間隔的11倍和12倍），然而只有1.2最接近于擬修約數，因此1.2就是修約數。第29頁，課件共44頁，創作于2023年2月將1.015修約至十分位的0.2單位。修約間隔為0.02。1.00和1.02中，1.2最接近于擬修約數，因此1.02是修約數（為修約間隔的51培）。將1.2505按“5”間隔修約至十分位。修約間隔為0.5。1.0和1.5中，1.5是修約數（為修約間隔的3培）。第30頁，課件共44頁，創作于2023年2月②如果為修約間隔整數培的一系列數中，有連續兩個數同等接近于擬修約數，則這兩個數中，為修約間隔偶數培的數就是修約數。例如，將1150按100修約間隔行修約。此時，與擬修約數1150鄰近的為修約間隔整數倍的數有1100和1200（分別為修約間隔的11倍和12倍），這兩個數同等接近于擬修約數，然而1200為修約間隔的偶數培（12倍），因此1200就是修約數。第31頁，課件共44頁，創作于2023年2月又如：將1.500按0.2修約間隔修約。結果為1.6。再如：將1.025按“5”間隔修約三位有效數字。結果為1.00。第32頁，課件共44頁，創作于2023年2月需要指出的是：一個數據的修約只能進行一次，不能分次修約。例如：修約15.4546，修約間隔為1。正確的做法：15.4546→15不正確的做法：15.4546→15.455→15.46→15.5→16第33頁，課件共44頁，創作于2023年2月四、數值運算規則第34頁，課件共44頁，創作于2023年2月在一個具體的測量過程中，一般都要經過多個測量的環節，而每個測量的環節都有具體的測量數據，如砂子表觀密度測定時稱量比重瓶與水、試樣的總質量，傾出試樣后稱量瓶與水的質量；滴定試驗時滴定前滴定管的初始讀數與滴定至終點時，溶液體積的讀數等。

這些測量所得的數據，在參與測量結果計算的過程中，若要修約應怎么修約，計算得到的結果怎么修約就是運算法則所要解決的問題。第35頁，課件共44頁，創作于2023年2月1.加減運算2.乘除運算3.乘方和開方4.對數和反對數5.平均值6.方差和標準偏差第36頁，課件共44頁，創作于2023年2月1.加減運算幾個數相加減的結果，經修約后保留有效數字的位數，取決于絕對誤差最大的數值，計算結果應以絕對誤差最大（即小數點后位數最少）的數據為基準，來決定計算結果數據的位數。在實際運算過程中，各數值保留的位數比各數值中小數點后位數最少者多保留一位小數，而計算結果有效數字的位數應與效數最少的一數相同。例如29.2+36.582-3.0281=?按上述規測計算如下：29.2+36.582-3.0281≈29.2+36.58-3.03=62.75最后計算結果保留一位小數，為62.8。第37頁，課件共44頁，創作于2023年2月2.乘除運算幾個數據的乘除運算以相對誤差最大（即有效數字位數最少）的數值為基準來決定結果數據的位數，。在實際運算中，先將各數值修約至比有效數字位數最少者多保留一位有效數字運算，計算結果的有效數字的位數與有效數字位數最少的數值相同。（與小數點位置無關）第38頁，課件共44頁，創作于2023年2月例如，0.235438×28.6×61.8911≈0.2354×28.6×61.89=414.6707116三個參與運算的數值的有效數字位數分別為六位、三位、六位，所以最終計算結果用三位有效數字表示，為415或4.15×102。第39頁，課件共44頁，創作于2023