數學模型中的因子分析法第1頁，課件共27頁，創作于2023年2月主成分分析法：就是設法將原來的具有一定相關性的變量或者指標，重新組成一組新的相互無關的少數幾個綜合變量或指標，以此代替原來的變量或指標。簡單的說就是降維。應用：綜合評價（系統評估）第2頁，課件共27頁，創作于2023年2月例：對我國上市公司的經濟效益進行綜合評判。

上市公司資金利稅率x1產值利稅率x2百元銷售成本利潤x3百元銷售收入利稅x4流動資金周轉次數x5主營利潤增長率x6qinghua5.418.052.092.431.307.51beida7.218.544.515.261.4310.44hualian8.389.524.275.071.7010.49xinya6.319.973.634.591.297.21yanzhong8.971.431.731.181.105.22shuiyun3.746.470.330.390.985.24cengxin3.635.79-1.09-1.291.174.71qingshan14.475.977.621.371.2010.56pudong8.188.203.414.011.7512.13第3頁，課件共27頁，創作于2023年2月主成分分析步驟：1.將數據標準化，標準化后的數據矩陣仍記X陣。2.求矩陣X的相關系數陣3.求R的全部特征根i及相應的特征向量()。4.根據前k個主分量累計貢獻率大小（∑），確定主成分（因子）個數。根據具體指標內容和指標變量系數大小解釋主成分含義。用每個主成分的貢獻率作權數，給出多指標綜合評價值。第4頁，課件共27頁，創作于2023年2月

EigenvaluesoftheCorrelationMatrixEigenvalueDifferenceProportionCumulative14.047670163.037348020.67460.674621.010322140.302483690.16840.843030.707838450.553001900.11800.961040.154836550.100373280.02580.986850.054463270.029593850.00910.995960.024869420.00411.0000第5頁，課件共27頁，創作于2023年2月第6頁，課件共27頁，創作于2023年2月ObsPrin1Prin2Prin3Prin4Prin5Prin61-0.38118-0.32367-0.044500.303630.004300.0643720.57795-0.354160.492790.55119-0.187260.1741430.69219-0.215880.405570.40041-0.104610.0539340.22635-0.394190.275210.632960.13851-0.064815-0.82981-0.402930.47330-0.42964-0.55401-0.350206-1.19410-0.40627-0.368480.140000.022210.010637-1.63568-0.26394-0.67179-0.151890.01702-0.0376980.95195-0.461561.61851-0.925200.083940.2553090.46501-0.148880.190700.16273-0.303270.2088310-1.45693-0.18670-0.55658-0.17088-0.10267-0.0092211-0.294013.71727-0.02727-0.02382-0.064190.03517120.080410.225421.716940.127180.45539-0.2666813-2.11628-0.16312-0.90179-0.167840.14422-0.0333414-0.94513-0.31477-0.395130.097600.11375-0.03132156.74015-0.06989-1.12895-0.166180.04080-0.1139416-0.88090-0.23673-1.07853-0.380250.295890.10482第7頁，課件共27頁，創作于2023年2月用于系統評估的方法：關鍵問題是如何科學的客觀地將一個多指標問題轉化為單指標問題第一種方法：用第一主成分得分y=F1.

必須要求：所有系數均為正第二種方法：將主成分F1,F2,Fm進行線性組合,系數為方差貢獻率第8頁，課件共27頁，創作于2023年2月

yidiyizhuchengfenpaixv13:30Saturday,July17,199935

namePrin1x1x2x3x4x5x6

laigang-2.116282.175.70-2.11-2.571.343.21cengxin-1.635683.635.79-1.09-1.291.174.71xinbai-1.456934.275.35-0.71-0.831.385.68shuiyun-1.194103.746.470.330.390.985.24guangsha-0.945134.657.800.530.651.185.82chanhong-0.880905.6510.63-0.92-1.191.088.84yanzhong-0.829818.971.431.731.181.105.22Qinghua-0.381185.418.052.092.431.307.51guoji-0.294018.078.690.730.8910.7510.16zonghang0.080419.666.276.692.633.051.64xinya0.226356.319.973.634.591.297.21pudong0.465018.188.203.414.011.7512.13beida0.577957.218.544.515.261.4310.44hualian0.692198.389.524.275.071.7010.49qingshan0.9519514.475.977.621.371.2010.56xiaxin6.7401525.9533.526.9615.381.5136.89

第9頁，課件共27頁，創作于2023年2月統計軟件SAS(關于主成分分析）數據的輸入（介紹兩種方法）

data數據名（haimen);inputname$x1x2x3x4x5x6;card;qinghua50122run;

外部文件轉化為SAS數據集：已知c盤根目錄下文件名test.dat為的數據文件張三男82956478data數據名（chengji);infile‘c:\test.dat’;inputname$sex$chinesemathsenglishchemisty;run;

第10頁，課件共27頁，創作于2023年2月主成分分析Procprincompn=6out=out1;varx1-x6;run;procprintdata=out1;varprin1-prin6;run;第11頁，課件共27頁，創作于2023年2月數據預處理一致性處理：越大越差、越大越好歸一化處理（去量綱）：

(x-max(xi))/極差，x/max(xi),

標準化處理（x-均值）/方差第12頁，課件共27頁，創作于2023年2月第二篇因子模型因子分析是統計中一種重要的分析方法，他的主要特點在于能探索不易觀測或不能觀察的潛在因素。它在社會調查、氣象、地質等方面有廣泛應用。第13頁，課件共27頁，創作于2023年2月若有n個學生，每個學生考五門課，考試成績反映了學生的素質和能力，理解能力，邏輯能力，記憶能力，對文字符號概念的反應速度，能否從學生的學習成績去尋找出反映這些能力的量。第14頁，課件共27頁，創作于2023年2月因子模型為:其中：為原指標,稱為的公共因子或潛因子,為的特殊因子可將上式寫成矩陣表示形式：稱為因子載荷陣

第15頁，課件共27頁，創作于2023年2月因子分析步驟：前四步驟與主成分步驟相同，在此略。5.求初始因子載荷陣A。6.若公因子的含義不清楚，不便于實際解釋時，將初始因子陣作旋轉處理，直到達到要求。7.根據因子載荷大小說明因子具體含義。將因子表示成原指標變量線性組合，估計因子得分。用每個因子的貢獻率作權數，給出多指標綜合評價值。第16頁，課件共27頁，創作于2023年2月因子載荷陣的統計意義模型中載荷矩陣中的元素稱為因子載荷。因子載荷是與的協方差，也是與的相關系數，它表示依賴的程度。可將看作第i個變量在第j個公共因子上的權，的絕對值越大，表明與的相依程度越大，或稱公共因子對于的載荷量越大。為了得到因子分析結果的經濟解釋，因子載荷矩陣A中有兩個統計量十分重要，即變量共同度和公共因子的方差貢獻。第17頁，課件共27頁，創作于2023年2月變量共同度因子載荷矩陣中第i行元素之平方和記為，即，稱為變量的共同度。它是全部公共因子對的方差所做出的貢獻，反映了全部公共因子對變量的影響。越大表明對于F的每一分量的共同依賴程度大。第18頁，課件共27頁，創作于2023年2月

公共因子的方差貢獻將因子載荷矩陣的第j列的各元素的平方和記為，即，稱為公共因子對x的方差貢獻。就表示第j個公共因子對于的每一分量所提供方差的總和，它是衡量公共因子相對重要性的指標。越大，表明公共因子對x的貢獻越大,如果將因子載荷矩陣的所有都計算出來，使其按照大小排序，就可以依此提煉出最有影響力的公共因子。第19頁，課件共27頁，創作于2023年2月因子載荷陣A（主成分法）一般設為樣本相關陣R的特征根，為對應的標準正交化特征向量。則因子載荷陣A的一個解為：

第20頁，課件共27頁，創作于2023年2月因子旋轉建立因子分析模型的目的不僅是找出主因子，更重要的是知道每個公共因子的意義，以便對實際問題進行分析。如果求出主因子解后，各個主因子的典型代表變量不很突出，我們就可以利用因子載荷陣的不唯一性這一特點對得到的因子模型進行旋轉使得變換后的公共因子和載荷陣有明顯的實際意義。最常用的方法是最大方差正交旋轉法(Varimax)。進行因子旋轉，就是要使因子載荷矩陣中因子載荷的平方值向0和1兩個方向分化，使大的載荷更大，小的載荷更小。接近于1的表明公因子與的相關性很強，在很大的程度上解釋了的變化；接近于0的表明與的相關性很弱。。第21頁，課件共27頁，創作于2023年2月例：對我國上市公司的經濟效益進行因子分析Procfactormethod=principaln=2rotate=varinmaxall;Varx1-x6;Run;第22頁，課件共27頁，創作于2023年2月Factor1=0.95056x1+0.89158x2+0.75108x3