第五章

一元一次方程1認識一元一次方程課時1一元一次方程數學·北師大版·七年級上冊

知識點1方程的定義答案1.②③④方程的定義是含有未知數的等式.強調兩點:(1)含未知數,(2)是等式.①⑥不是等式,⑤不含未知數.符合條件的是②③④.

知識點2一元一次方程的定義答案2.B

A項,不是等式,該項不符合題意;B項,可化為-2x=2,是一元一次方程,該項符合題意;C項,分母中含有未知數,該項不符合題意;D項,方程中有2個未知數,該項不符合題意.3.[2022蘇州期末]已知xm-1-6=0是關于x的一元一次方程,則m的值是(

)A.1 B.-1 C.-2 D.2知識點2一元一次方程的定義答案3.D

根據題意得,m-1=1,所以m=2.4.[2021南充中考]端午節買粽子,每個肉粽比素粽多1元,購買10個肉粽和5個素粽共用去70元,設每個肉粽x元,則可列方程為(

)A.10x+5(x-1)=70B.10x+5(x+1)=70C.10(x-1)+5x=70D.10(x+1)+5x=70知識點3列一元一次方程答案4.A

因為每個肉粽x元,所以每個素粽(x-1)元,由“購買10個肉粽和5個素粽共用去70元”,得10x+5(x-1)=70.

知識點3列一元一次方程答案

6.[2021哈爾濱南崗區期末]把一些圖書分給某班學生閱讀,若每人分3本,則剩余20本;若每人分4本,則還缺25本.設這個班有x名學生,可列方程為

;設圖書共有y本,可列方程為

.

知識點3列一元一次方程答案

7.[2021三門峽湖濱區月考]校園足球聯賽規則規定:勝一場得3分,平一場得1分,負一場得0分.某隊比賽8場保持不敗,得18分,則該隊共勝幾場?若設該隊勝了x場,則可列方程為

.

知識點3列一元一次方程答案7.3x+(8-x)=188.

下列選項中,是方程-1+3x=x-5的解的是(

)A.x=2 B.x=1C.x=-2 D.x=-1知識點4方程的解答案8.C

把選項中x的值分別代入方程,只有x=-2使方程左、右兩邊的值相等.9.

教材P131隨堂練習T2變式[2021撫順期末]若x=1是方程ax+3x=2的解,則a的值是(

)A.-1 B.5 C.1 D.-5知識點4方程的解答案9.A

把x=1代入原方程,得a+3=2,所以a=-1.10.[2022長春外國語學校期末]代數式2ax+5b的值會隨x的取值不同而不同,下表是當x取不同值時對應的代數式的值,則關于x的方程2ax+5b=-4的解是(

)

A.x=12 B.x=4C.x=-2 D.x=0知識點4方程的解答案10.D

由題表中數據可知,當x=0時,2ax+5b的值是-4,即方程2ax+5b=-4的解是x=0.課時2等式的基本性質

知識點1等式的基本性質答案

知識點1等式的基本性質答案2.B

A選項,等式兩邊同時除以-2,得x=-2,故A選項錯誤;B選項,去括號,得4x-4-3x=7,故B選項正確;C選項,等式兩邊同時加-2x+6,得5x-2x=8+6,故C選項錯誤;D選項,等式兩邊同時乘6,得3x+2(2x-1)=12,故D選項錯誤.3.

教材P134習題5.2T2變式[2021成都郫都區期末]如圖,兩個天平都平衡,則與2個球體質量相等的正方體的個數

為

(

)A.2 B.3 C.4 D.5知識點1等式的基本性質答案3.D4.

已知2x+y-1=0,用含x的代數式表示y,則y=

.

知識點1等式的基本性質答案4.1-2x

等式兩邊同時加1,得2x+y=1,等式兩邊再同時減2x,得y=1-2x.5.[2022許昌期末]已知5a+8b=3b+10,根據等式的性質,得a+b的值是

.

知識點1等式的基本性質答案5.2

等式的兩邊同時減3b,可得5a+8b-3b=3b-3b+10,即5a+5b=10,等式的兩邊同時除以5,得a+b=2.

知識點2運用等式的基本性質解一元一次答案6.②③

知識點2運用等式的基本性質解一元一次答案

8.[2022重慶長壽區期末]有一個密碼系統,其原理如下面的框圖所示.當輸出的數為-10時,輸入的數x是

.

知識點2運用等式的基本性質解一元一次答案8.-4

由題意,得3x+2=-10,方程兩邊同時減2,得3x=-12.方程兩邊同時除以3,得x=-4,所以輸入的數x是-4.

知識點2運用等式的基本性質解一元一次答案

知識點2運用等式的基本性質解一元一次答案

答案1.A

2.[2022杭州西湖區期末]根據等式的性質,若等式m=n可以變形為m+a=n-b,則(

)A.a,b互為相反數 B.a,b互為倒數C.a=b

D.a=0,b=0答案2.A

由題意得,a=-b,所以a+b=0,所以a與b互為相反數.3.

教材P134習題5.2T2變式[2022常德期末]假設“”“”“”分別表示三種不同的物體.如圖,前兩架天平保持平衡,如果要使第三架天平也保持平衡,那么“?”處應放“”的個數(“?”處只有“”)為(

)A.5 B.6 C.7 D.8答案3.B

設“”“”“”的質量分別是x,y,z,由題圖,得x=y+z,x+z=2y,所以2y=y+2z,等式兩邊減y,得y=2z,等式兩邊再乘3,得3y=6z,所以要使第三架天平也保持平衡,“?”處應放6個“”.4.[2019南充中考]關于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解為x=1,則a+m的值為(

)A.9 B.8 C.5 D.4答案4.C

由題意,得a-2=1,兩邊同時加2,得a=3,此時方程2xa-2+m=4為2x+m=4.把x=1代入方程,得2×1+m=4,兩邊同時減2,得m=2,故a+m=3+2=5.

答案5.C

由方程3y+5=0,得3y=-5.因為兩方程的解相同,所以把3y=-5代入3y+3k=1,得-5+3k=1,解得k=2.6.[2021東莞期末]對于任意有理數a,b,c,d,我們規定

=ad-bc,如

=1×4-2×3.若

=-2,則x的值為

.

答案6.2

根據題意,得-4x+6=-2,方程兩邊同時減6,得-4x+6-6=-2-6,即-4x=-8,方程兩邊同時除以-4,得x=2.7.

教材P134習題5.2T3變式[2021淮安清江浦區期中]下面是小明利用等式的性質解方程的過程:x-4=3x-4x-4+4=3x-4+4,①x=3x,②1=3.③閱讀小明的解題過程并解答下列問題:(1)①的依據是

.

(2)小明出錯的步驟是

,錯誤的原因是

.

(3)給出正確的解題過程.7.解:(1)等式兩邊同時加(或減)同一個代數式,所得結果仍是等式(2)③

等式兩邊同時除以的x可能為0(3)x-4=3x-4,等式兩邊同時加4,得x-4+4=3x-4+4,即x=3x,等式兩邊同時減-3x,得x-3x=0,即-2x=0,等式兩邊同時除以-2,得x=0.答案

答案

9.

已知等式2a-3=2b+1,請你猜想a與b之間的大小關系,并說明理由.答案9.解:a大于b.理由如下:等式兩邊同時加3,得2a=2b+4,等式兩邊同時減2b,得2a-2b=4,等式兩邊同時除以2,得a-b=2,因為a與b的差是正數,所以a大于b.素養提升10.新情境教材P134習題5.2T7變式足球是全球最具影響力的體育運動,被譽為“世界第一運動”.如圖,足球表面是由若干黑色正五邊形和白色正六邊形皮塊圍成的,我們把這些正五邊形和正六邊形都稱為足球的面,任何相鄰兩個面的公共邊叫做足球的棱.已知某足球的正六邊形的面有20個,則該足球的正五邊形的面有

個,該足球表面的棱有

條.

答案10.12

90

每塊黑色正五邊形的5條邊分別與5塊白色正六邊形的邊重合,每塊白色正六邊形的6條邊中,有3條邊與黑色正五邊形的邊重合,另3條邊與其他白色正六邊形的邊重合.設該足球的正五邊形的面有x個,則這些正五邊形的面一共有5x條邊,而足球的正六邊形的面有20個,根據題意知,5x=20×3,解得x=12,所以該足球的正五邊形的面有12個.因為任何相鄰兩個面的公共邊叫做足球的棱,所以該足球表面的棱有(12×5+20×6)÷2=90(條).2求解一元一次方程課時1“移項”解一元一次方程

知識點1移項答案1.C2.[2022陽江陽東區期末]將方程3x+6=2x-8移項后,四位同學的結果分別是(1)3x+2x=6-8;(2)3x-2x=-8+6;(3)3x-2x=8-6;(4)3x-2x=-6-8.其中正確的有(

)A.0個 B.1個 C.2個 D.3個知識點1移項答案2.B

將方程3x+6=2x-8移項后,可得到3x-2x=-8-6,所以只有(4)是正確的.3.[2022邵陽期末]方程2x-4=x+2的解為(

)A.x=1 B.x=-1 C.x=6 D.x=2知識點2“移項”解一元一次方程答案3.C

移項,得2x-x=2+4,合并同類項,得x=6.4.[2022汕頭澄海區期末]下列方程中,與x-1=-x+3的解相同的是(

)A.x+2=0 B.2x-3=0C.x-2=2x

D.x-2=0知識點2“移項”解一元一次方程答案

知識點2“移項”解一元一次方程答案

6.

某同學解方程5x-24=8x-6的過程如下,請你指出他開始出錯的一步及錯誤的原因,并改正.解:移項,得5x-8x=-6-24,

①合并同類項,得-3x=-30, ②方程兩邊同時除以-3,得x=10.

③知識點2“移項”解一元一次方程答案6.解:開始出錯的一步是第①步,錯誤的原因是移項時-24沒有變號.改正:移項,得5x-8x=-6+24,合并同類項,得-3x=18,方程兩邊同時除以-3,得x=-6.

知識點2“移項”解一元一次方程答案

8.

數學文化[2022河南省第二實驗中學期末]《九章算術》一書中記載了一道題:今有共買雞,人出九,盈十一;人出六,不足十六.問人數、雞價各幾何?題意是:有若干人一起買雞,如果每人出9文錢,就多出11文錢;如果每人出6文錢,就還差16文錢.則買雞的人數和雞的價錢各是(

)A.8人,61文 B.9人,70文C.10人,79文 D.11人,110文知識點3“移項”解一元一次方程的實際應用答案8.B

設買雞的人有x個,根據題意,得9x-11=6x+16,解得x=9,所以雞的價錢是9x-11=9×9-11=70(文),故買雞的人有9個,雞的價錢是70文.9.

甲、乙兩個水池共存水40噸,現甲池注進水4噸,乙池放出水8噸,此時甲池中水的噸數與乙池中水的噸數相等,則兩個水池原來各有水多少噸?知識點3“移項”解一元一次方程的實際應用答案9.解:設甲池原來有水x噸,則乙池原來有水(40-x)噸.根據題意,得x+4=40-x-8,解得x=14,所以40-x=26.答:甲池原來有水14噸,乙池原來有水26噸.

答案

2.

小芳在解一元一次方程□x-3=2x+9時,不小心將墨水灑在了作業本上,x前面的系數看不清了,她查看答案知該方程的解是x=-2,則□是(

)A.1 B.3 C.4 D.-4答案2.D

設□是m,則原方程為mx-3=2x+9,把x=-2代入,得-2m-3=-4+9,解得m=-4,即□是-4.3.[2022福州倉山區期末]已知a,x為正整數,若ax-1=x+7,則滿足條件的所有a的值之和為(

)A.15 B.17 C.19 D.21答案

4.

小亮在解方程3a-2x=15+3x時,誤將-2x看成+2x,得到方程的解為x=3,則原方程的解為

.

答案

5.[2021合肥三十八中期中]如圖所示的九宮格中,處于同一橫行、同一豎列、同一斜對角線上的3個數之和都相等.(1)則x的值為

;

(2)①,②,③處應填的數分別是

.

答案

答案

7.[2022臨沂期中]一個長方形的周長為26厘米,這個長方形的長減少1厘米,寬增加2厘米,就可成為一個正方形,求這個長方形的長和寬.答案7.解:設這個長方形的長是x厘米,則寬是(13-x)厘米.根據題意,得x-1=13-x+2,解得x=8,則13-x=5.答:這個長方形的長為8厘米,寬為5厘米.

答案

答案

課時2“去括號”解一元一次方程1.[2021溫州中考]解方程-2(2x+1)=x,以下去括號正確的是(

)A.-4x+1=-x B.-4x+2=-xC.-4x-1=x D.-4x-2=x知識點1“去括號”解一元一次方程答案1.D

知識點1“去括號”解一元一次方程答案2.A

4-2(2x+3)去括號后應為4-4x-6.

知識點1“去括號”解一元一次方程答案

4.[2021天津期末]當x=4時,式子5(x+b)-10與bx+4的值相等,則b的值為(

)A.-6 B.-7 C.6 D.7知識點1“去括號”解一元一次方程答案4.A

因為當x=4時,式子5(x+b)-10與bx+4的值相等,所以5(4+b)-10=4b+4,去括號,得20+5b-10=4b+4,移項,得5b-4b=4+10-20,合并同類項,得b=-6.5.

設P=2y-2,Q=2y+3,且3P-Q=1,則y的值是

.

知識點1“去括號”解一元一次方程答案5.2.5

因為P=2y-2,Q=2y+3,3P-Q=1,所以3(2y-2)-(2y+3)=1,去括號,得6y-6-2y-3=1,移項、合并同類項,得4y=10,方程兩邊同時除以4,得y=2.5.6.

解下列方程:(1)5(x+2)=-(2x-7);(2)(2x-5)-3(x+3)=4;(3)2(x-1)-3(x+2)=12;(4)3-2(2x+1)=2(x-3).知識點1“去括號”解一元一次方程答案

7.[2021撫順期末]某書架第一層書的數量是第二層的2倍,現從第一層抽8本放到第二層,這時第一層書的數量恰比第二層的一半多3本,則第二層原有圖書(

)A.8本 B.10本 C.13本 D.16本知識點2“去括號”解一元一次方程的實際應用答案

8.

教材P138習題5.4T3變式一個兩位數,個位上的數字是十位上的數字的3倍,如果把個位上的數字與十位上的數字對調,那么得到的新數比原數大54,求原來的兩位數.知識點2“去括號”解一元一次方程的實際應用答案8.解:設原來的兩位數的十位上的數字是x,則個位上的數字是3x,根據題意,得10×3x+x-(10x+3x)=54,去括號,得30x+x-10x-3x=54,合并同類項,得18x=54,方程兩邊同時除以18,得x=3,所以10x+3x=39.答:原來的兩位數是39.1.[2022唐山期末]方程-3(★-x)=5x-1,★處被蓋住了一個數,已知方程的解是x=8,那么★處的數是(

)A.-2 B.-3 C.-4 D.-5答案1.D

將x=8代入方程,得-3(★-8)=5×8-1,解得★=-5,即★處的數是-5.2.[2022煙臺期末]對于任意兩個有理數a,b,規定ab=3a-b,若2x(3x-2)=8,則x的值為(

)A.1 B.-1 C.2 D.-2答案2.C

因為ab=3a-b,2x(3x-2)=8,所以3×2x-(3x-2)=8,去括號,得6x-3x+2=8,移項,得6x-3x=8-2,合并同類項,得3x=6,系數化為1,得x=2.3.

新考法[2022鄭州楓楊外國語學校期末]雞兔同籠問題:“今有雞兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雞兔各幾何?”如圖是嘉淇的解題過程,需要補充橫線上符號所代表的內容,則下列判斷不正確的是(

)

A.□代表(35-x) B.☆代表雞的足數C.○代表2 D.△代表2答案3.D

設雞有x只,則兔子有(35-x)只,因為雞的足數+兔的足數=94,所以列方程為2x+4(35-x)=94,解得x=23,從而35-23=12,所以雞有23只,兔子有12只,所以□代表(35-x),☆代表雞的足數,○代表2,△代表4.結合選項,知D項判斷不正確.解:設雞有x只,則兔子有□只.因為☆+兔的足數=94,所以列方程為○x+△(35-x)=94,解這個方程,得x=23,從而35-23=12.答:雞有23只,兔子有12只.4.[2022興安盟期末]若方程3(2x-1)=2-3x的解與關于x的方程6-2k=2(x+3)的解相同,則k的值為

.

答案

5.

易錯題一個三位數,百位上的數字是1,若將它移至個位數字的右邊,則所得的三位數比原數的3倍少19,則原來的三位數是

.

答案5.140

設原數為100+x.根據題意,得10x+1=3(100+x)-19,解得x=40,所以原來的三位數是140.6.

解下列方程:(1)4x-3(20-x)=6x-7(9-x);(2)4(2y+3)=8(1-y)-5(y-2);(3)-2(2-x)-3(1-2x)=7(1-x)+5(2-x).答案

7.[2021瀘州月考]某次籃球聯賽,其中兩隊的積分如表所示.

請回答下列問題:(1)負一場積

分;

(2)求勝一場積多少分;(3)若某隊在這次籃球聯賽的14場比賽中勝場總積分比負場總積分的3倍多3分,則該隊勝了多少場?

比賽場次勝場場次負場場次積分前進隊1410424鋼鐵隊14014147.解:(1)1由題表知,鋼鐵隊的負場場次為14,共積14分,故負一場積1分.(2)設勝一場積x分,依題意,得10x+4×1=24.解得x=2.答:勝一場積2分.(3)設該隊勝y場,則負(14-y)場,依題意,得2y=3(14-y)+3.解得y=9.答:該隊勝了9場.答案

答案

課時3“去分母”解一元一次方程

知識點1“去分母”解一元一次方程答案1.D

方程兩邊同時乘6,得3(x+1)=6-2x.

知識點1“去分母”解一元一次方程答案

知識點1“去分母”解一元一次方程答案

知識點1“去分母”解一元一次方程老師發現這兩位同學的解答過程都有錯誤.請你從甲、乙兩位同學中,選擇一位同學的解答過程,幫助他分析錯因,并加以改正.(1)我選擇

同學的解答過程進行分析;(填“甲”或“乙”)

(2)該同學的解答過程從第

步開始出現錯誤(填序號),錯誤的原因是

;

(3)請寫出正確的解答過程.答案4.解:(1)甲(2)②

出現符號錯誤或(1)乙(2)①漏乘不含分母的項(3)方程兩邊同時乘4,得2(3x+1)-(x-7)=4,去括號,得6x+2-x+7=4,移項,得6x-x=4-2-7,合并同類項,得5x=-5,系數化為1,得x=-1.

知識點1“去分母”解一元一次方程答案5.解:(1)去分母,得y-2=2y+6,移項,得y-2y=6+2,合并同類項,得-y=8,系數化為1,得y=-8.

知識點2“去分母”解一元一次方程的實際應用答案

7.

一題多解登山是一種簡單易行的健身運動,山中森林覆蓋率高,負氧離子多,能使人身心愉悅地進行體育鍛煉.張老師和李老師登一座山,張老師每分鐘登高10米,并且先出發30分鐘,李老師每分鐘登高15米,兩人同時登上山頂,求這座山的高度.知識點2“去分母”解一元一次方程的實際應用答案

解法二

設李老師登山所用時間是y

分,則張老師登山所用時間是(y+30)分.根據題意,得10(y+30)=15y,去括號,得10y+300=15y,移項、合并同類項,得-5y=-300,系數化為1,得y=60.所以這座山的高度為15×60=900(米).答:這座山的高度為900米.

答案1.C

答案

答案

4.[2022石家莊期末]相傳有個人不講究說話方式常引起誤會,一天他設宴請客,看到有幾個人沒來,就自言自語:“怎么該來的還不來呢?”客人聽了,心想難道我們是不該來的,于是已到的客人的一半走了,他一看十分著急,又說:“嗨,不該走的倒走了!”剩下的人一聽,是我們該走啊!又有剩余客人的三分之一離開了,他著急地一拍大腿:“我說的不是他們.”于是剩下的6個人也走了.則最開始來的客人有(

)A.16位 B.18位 C.20位 D.22位答案

答案

答案

7.

數學文化中國古代算書《算法統宗》中有這樣一道題:甲趕群羊逐草茂,乙拽肥羊一只隨其后,戲問甲及一百否?甲云所說無差謬,若得這般一群湊,再添半群小半群,得你一只來方湊,玄機奧妙誰參透?大意是說:甲趕著一群羊去尋找草長得茂盛的地方放牧,乙牽著1只肥羊從后面跟了上來,他問甲:“你趕的這群羊有100只吧?”甲答道:“如果這一群羊加上1倍,再加上原來羊群的一半,又加上原來這群羊的四分之一,連你牽著的這只肥羊也算進去,才剛好100只.”你知道甲放牧的這群羊共有多少只嗎?答案

答案一題練透解一元一次方程的常見問題

答案

易錯疑難集訓

易錯點1利用等式的性質對等式變形時出錯答案

易錯點1利用等式的性質對等式變形時出錯答案

3.

解方程:2x-1=5x-3.易錯點2移項或去括號時弄錯符號答案

4.

解方程:2(x-5)-3(8-2x)=14.易錯點2移項或去括號時弄錯符號答案4.解:去括號,得2x-10-24+6x=14,移項,得2x+6x=14+24+10,合并同類項,得8x=48,系數化為1,得x=6.

易錯點3系數化為1時出錯答案

易錯點4去分母時漏乘不含分母的項或忽略分數線的括號作用答案6.C

易錯點4去分母時漏乘不含分母的項或忽略分數線的括號作用答案7.解:去分母,得4x-(3x+2)=2,去括號,得4x-3x-2=2,移項、合并同類項,得x=4.

易錯點5解分子或分母中含有小數的方程時出錯答案

3應用一元一次方程——水箱變高了

知識點1等積變形問題答案

2.[2021棗莊段考]一個底面半徑為10cm、高為30cm的圓柱形大杯中存滿了水,把水倒入底面直徑為10cm的圓柱形小杯中,剛好倒滿12杯,則小杯的高為(

)A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm知識點1等積變形問題答案2.C

設小杯的高為xcm,根據題意,得π×102×30=π×(10÷2)2×x×12,解得x=10,所以小杯的高為10cm.3.

如圖,一圓柱形容器的底面半徑為0.5m,高為1.5m,里面盛有1m深的水,將底面半徑為0.3m,高為0.5m的圓柱形鐵塊沉入水中,則容器內水面將升高

m.

知識點1等積變形問題答案3.0.18

設容器內水面將升高xm.根據題意,得0.32π×0.5=0.52π·x,解得x=0.18,所以容器內水面將升高0.18m.4.[2022成都錦江區期末]已知一個長方體合金的底面長為80,寬為40,高為60.(1)現要鍛壓成新的長方體,其底面是邊長為40的正方形,則新長方體合金的高為多少?(2)若將長方體合金鍛壓成圓柱體,其底面是直徑為80的圓,則新圓柱體合金的高為多少?(π取3)知識點1等積變形問題答案

5.

小明用長為16cm的鐵絲圍成一個長方形,并且長方形的長比寬多2cm.設這個長方形的長為xcm,則x等于(

)A.9 B.5 C.7 D.10知識點2等長變形問題答案5.B

根據題意,得2(x+x-2)=16,解得x=5.6.

把一個由鐵絲圍成的長為8、寬為6的長方形改成一個正方形,則這個正方形與原來的長方形相比(

)A.面積與周長都不變B.面積相等但周長發生變化C.周長相等但面積發生變化D.面積與周長都發生變化知識點2等長變形問題答案6.C

由題意,知長方形的面積為48,周長為28,因為正方形的周長等于長方形的周長,所以正方形的邊長為7,所以正方形的面積為49.故這個正方形與原來的長方形相比,周長相等但面積發生變化.7.

易錯題教材P142隨堂練習變式如圖,地面上釘著用一根彩繩圍成的直角三角形ABC,如果將直角三角形銳角頂點的一個釘子去掉,并將這根彩繩釘成一個長方形,那么所釘成的長方形的面積是

.

知識點2等長變形問題答案7.36或32

由題圖,得三角形的周長為6+8+10=24,分兩種情況討論:①當去掉頂點A的釘子時,BC為長方形的一條邊,設長方形的另一邊長為x,由題意得,2(x+6)=24,解得x=6,則釘成的是一個邊長為6的正方形,面積為6×6=36;②當去掉頂點B的釘子時,AC為長方形的一條邊,設長方形的另一邊長為y,由題意得,2(y+8)=24,解得y=4,則該長方形的長為8,寬為4,面積為8×4=32.綜上,所釘成的長方形的面積是36或32.8.[2022煙臺期末]如圖,一個長方形養雞場的一條長邊靠墻,墻長14m,其他三邊用竹籬笆圍成,現有長35m的竹籬笆,小林的設計方案是長比寬多5m;小陳的設計方案是長比寬多2m.你認為誰的設計符合實際?通過計算說明理由.知識點2等長變形問題答案8.解:小陳的設計符合實際.理由如下:設小林設計的養雞場寬為xm,則長為(x+5)m.根據題意,得2x+(x+5)=35,解得x=10,則x+5=15.因為15>14,所以小林的設計不符合實際.設小陳設計的養雞場寬為ym,則長為(y+2)m.根據題意,得2y+(y+2)=35,解得y=11,則y+2=13.因為13<14,所以小陳的設計符合實際.1.

一題多解[2022長春第二實驗中學月考]如圖所示,在水平桌面上有甲、乙兩個圓柱形的容器,容器內部底面積分別為80cm2,100cm2,且甲容器裝滿水,乙容器是空的.若將甲容器中的水全部倒入乙容器后,乙容器中水的高度比原來甲容器中水的高度低8cm,則甲容器的容積為(

)A.1280cm3 B.2560cm3C.3200cm3 D.4000cm3答案

2.

如圖,水平桌面上有個內部裝水的長方體箱子,箱內有一個與底面垂直的隔板,且隔板左右兩側的水面高度分別為40cm,50cm,現將隔板抽出,若過程中箱內的水量未改變,且不計箱子及隔板厚度,則根據圖中的數據,求隔板抽出后水面靜止時,箱內的水面高度為(

)A.43cm B.44cm C.45cm D.46cm答案

3.[2022重慶期末]現有一個如圖1所示的密封玻璃器皿,測得其底面直徑為20cm,高為20cm,裝有藍色溶液若干.當如圖2放置時,測得液面高為10cm;當如圖3放置時,測得液面高為16cm,則該密封玻璃器皿的總容積(結果保留π)為(

)

A.1250πcm3 B.1300πcm3C.1350πcm3 D.1400πcm3答案

4.

教材P144習題5.6T3變式[2021武漢青山區期末]如圖,用一塊長為5cm、寬為2cm的長方形紙板,一塊長為4cm、寬為1cm的長方形紙板,一塊正方形紙板及另外兩塊長方形紙板,恰好拼成一個大正方形,則大正方形的面積是

cm2.

答案4.36

設小正方形的邊長為xcm,則大正方形的邊長為[4+(5-x)]cm或(x+1+2)cm,所以4+(5-x)=

x+1+2,解得x=3,所以4+(5-x)=6,所以大正方形的面積為36cm2.5.

一題多解[2022金華模擬]如圖,一個瓶子的容積為1L,瓶內裝著一些溶液,當瓶子正放時,瓶內溶液的高度為20cm,倒放時,空余部分的高度為5cm.(1)瓶內溶液的體積為

L;

(2)現把部分溶液倒在一個底面積為60cm2的圓柱形杯子里,再把瓶子倒放,此時瓶內溶液的高度是圓柱形杯子內溶液高度的6倍.已知瓶子的高度是33cm,求倒入圓柱形杯子內的溶液體積.答案

素養提升6.

如圖,長方形MNPQ是市民健身廣場的平面示意圖,它是由6個正方形拼成的長方形,已知中間最小的正方形A的邊長是1.試計算長方形MNPQ的面積.答案6.解:設正方形F的邊長為x,則正方形E的邊長為x,正方形D的邊長為x+1,正方形C的邊長為x+2,正方形B的邊長為x+3,所以長方形MNPQ的長為3x+1,寬為2x+3.根據正方形E和正方形F的邊長和減1等于正方形B的邊長,得2x-1=x+3,解得x=4.當x=4時,3x+1=3×4+1=13,

2x+3=2×4+3=11,所以長方形MNPQ的面積為13×11=143.答:長方形MNPQ的面積為143.4應用一元一次方程——打折銷售1.

教材P146例題變式[2020黔南州中考]某超市正在熱銷一種商品,其標價為每件12元,打8折銷售后每件可獲利2元,該商品每件的進價為(

)A.7.4元

B.7.5元C.7.6元

D.7.7元知識點1打折銷售問題答案1.C

設該商品每件的進價為x元.依題意,得12×80%-x=2,解得x=7.6.2.[2022南充期末]商店元旦促銷,某款衣服打8折銷售,每件比標價少35元,仍獲利15元.給出下列說法:①衣服的標價為每件175元;②衣服的促銷單價為140元;③衣服的進價為每件125元;④不打折時商店的利潤為每件50元.其中正確的

有

(

)A.4個 B.3個C.2個 D.1個知識點1打折銷售問題答案2.A

設衣服的標價為每件x元.根據題意,得0.8x=x-35,解得x=175,所以衣服的標價為每件175元,故①正確;175-35=140(元),所以衣服的促銷單價為140元,故②正確;140-15=125(元),所以衣服的進價為每件125元,故③正確;175-125=50(元),所以不打折時商店的利潤為每件50元,故④正確.3.

新情境[2022廣州荔灣區期末]一商家進行促銷活動,某商品的優惠措施是“第二件商品打6折”.現購買2件該商品,相當于這2件商品共打了(

)A.7折 B.8折C.7.5折 D.8.5折知識點1打折銷售問題答案

4.教材P153復習題T10變式[2022天津期末]已知某商店有兩件進價不同的運動衫都賣了160元,其中一件盈利60%,另一件虧損20%,在這次買賣中這家商店(

)A.不盈不虧 B.盈利20元C.盈利10元 D.虧損20元知識點1打折銷售問題答案4.B

設盈利的運動衫的進價為x元,虧損的運動衫的進價為y元.依題意,得160-x=60%x,160-y=-20%y,解得x=100,y=200,因為(160-100)+(160-200)=60-40=20(元),所以在這次買賣中這家商店盈利20元.5.

教材P146習題5.7T2變式[2022黃岡入學考試]買一輛汽車,分期付款購買要多加價7%,而現金購買可按九五折優惠.小新算完后發現分期付款購買比現金購買需多付7200元,那么這輛汽車的原價是

元.

知識點1打折銷售問題答案5.60000

設這輛汽車的原價是x元,依題意,得(1+7%)x-95%x=7200,解得x=60000.6.

為配合肇慶市“我讀書,我快樂”讀書節活動,某書店推出一種優惠卡,每張卡售價20元,憑卡購書可享受8折優惠.小麗同學到該書店購書,她先買優惠卡再憑卡付款,結果節省了10元.若此次小麗同學不買卡直接購書,則她需付款

元.

知識點1打折銷售問題答案6.150

設小麗同學不買卡直接購書需付款x元,根據題意,得x-(0.8x+20)=10,解得x=150,所以她不買卡直接購書需付款150元.7.

教材P146習題5.7T3變式[2022哈爾濱道里區期末]某商場十月以每件500元的進價購進一批羽絨服,當月以標價銷售出20件.十一月搞促銷活動,每件降價50元,售出的數量是十月的1.5倍,這樣銷售額比十月增加了5500元.(1)求每件羽絨服的標價是多少元.(2)十二月商場決定把剩余的羽絨服按十月標價的八折銷售,如果全部售完這批羽絨服總獲利12700元,求這批羽絨服共購進多少件.知識點1打折銷售問題答案7.解:(1)設每件羽絨服的標價為x元.根據題意,得20x+5500=(x-50)×20×1.5,解得x=700.答:每件羽絨服的標價為700元.(2)設這批羽絨服共購進a件.由題意,知11月份售出20×1.5=30(件),根據題意,得20×700+30×(700-50)+700×0.8(a-20-30)-500a=12700,解得a=120.答:這批羽絨服共購進120件.8.

某儲戶去年8月份存入定期為5年的人民幣5000元,存款年利率為3.3%,設到期后銀行應向儲戶支付現金x元,則所列方程正確的是(

)A.x-5000=5000×3.3%×5B.x+5000=5000×3.3%×5C.x+5000=5000×(1+3.3%)×5D.x+5000×3.3%×5=5000知識點2儲蓄問題答案8.A9.

將一筆資金按1年定期存入某銀行,已知該銀行的年利率為2.2%,到期支取時,得本息和共計7154元,則該筆資金

為

(

)A.6000元 B.6500元C.7000元 D.7100元知識點2儲蓄問題答案9.C

設該筆資金為x元,由題意,得(1+2.2%)x=7154,解得x=7000,所以該筆資金為7000元.10.李阿姨買入某種債券2000元,定期一年,到期扣除20%的利息稅后得到本息和共2048元,則該種債券的年利率為

.

知識點2儲蓄問題答案10.3%設這種債券的年利率為x,則到期后李阿姨獲得的利息為2000x元,因為要扣除20%的利息稅,所以本息和為2000+2000x(1-20%),由題意可列出方程為2000+2000x(1-20%)=2048,整理,得2000+1600x=2048,解得x=3%.1.[2022漳州期末]甲、乙兩件服裝的成本共800元,商店老板為獲取利潤,將甲服裝按成本提高60%后標價,乙服裝按成本提高50%后標價,在實際銷售時,應顧客的要求,兩件服裝均按8折銷售,結果共獲利196元,若用方程(1+60%)x×80%+(1+50%)×(800-x)×80%=800+196表示其中的數量關系,則方程中x所表示的量是(

)A.甲服裝的標價

B.乙服裝的標價C.甲服裝的成本價

D.乙服裝的成本價答案1.C2.[2022菏澤定陶區期末]商場銷售某品牌冰箱,若按標價的8折銷售,每件可獲利200元,其利潤率為10%,若按標價的9折銷售,每件可獲利(

)A.475元

B.875元C.562.5元 D.750元答案2.A

該品牌冰箱每件的進價為200÷10%=2000(元).設該品牌冰箱每件的標價為x元,依題意,得80%x-2000=200,解得x=2750,所以90%x-2000=90%×2750-2000=475(元).3.

一題多解[2022煙臺期末]商場以八折的優惠價格每讓利出售一件商品,就少賺18元,那么顧客買一件這種商品就只需付(

)A.60元 B.72元 C.90元 D.180元答案3.B

解法一

設該商品打折前售價為每件x元,進價為每件a元.由題意,得x-a=0.8x-a+18,解得x=90,所以顧客買一件這種商品就只需付90×0.8=72(元).解法二

設該商品打折前售價為每件x元.由題意,得x-0.8x=18,解得x=90,所以顧客買一件這種商品就只需付90×0.8=72(元).4.[2022武漢江岸區期末]一商店以每件a元的價格賣出兩件衣服,其中一件盈利25%,另一件虧損25%,賣出這兩件衣服總共虧損4元,則a的值為(

)A.30 B.40 C.50 D.60答案

5.

易錯題某購物中心舉行優惠活動,規定:一次性購物不超過200元(包括200元)的不優惠;超過200元的,全部按8折優惠.小麗買了一件服裝,付款180元,這件服裝的標價為

元.

答案5.180或225

分兩種情況:第一種,小麗購買的服裝價格沒有超過200元,付款價格就是標價,所以這件服裝的標價為180元;第二種,小麗購買的服裝價格超過200元,設這件服裝的標價為x元,則80%x=180,解得x=225.綜上,這件服裝的標價為180元或225元.6.某商場為了促銷新款摩托車,決定元旦期間購買該車者可以分兩次付款:在購買時先付一筆款,余下部分及它的利息(年利率為5.6%)在次年元旦付清.已知該摩托車的售價為8224元/輛,若購車者購買一輛摩托車且兩次付款恰好相同,則每次應付款多少元?答案6.解:設購車者第一次付款x元,則付款后余款為(8224-x)元,一年后第二次應付款(8224-x)(1+5.6%)元.根據題意,得x=(8224-x)(1+5.6%),解得x=4224.答:購車者每次應付款4224元.7.[2022德州九中期中]某校開展校園藝術節系列活動,派小明到超市購買若干個文具袋作為獎品.這種文具袋標價每個10元.(1)請認真閱讀結賬時老板與小明的對話圖片,并解決問題:小明原計劃購買文具袋多少個?(2)學校決定,再次購買鋼筆和簽字筆共50支作為補充獎品,其中鋼筆標價每支8元,簽字筆標價每支6元.經過溝通,這次老板給予8折優惠,合計272元.問:小明購買了鋼筆和簽字筆各多少支?7.解:(1)設小明原計劃購買文具袋x個,則實際購買了(x+1)個.由題意,得10(x+1)×0.85=10x-17,解得x=17.答:小明原計劃購買文具袋17個.(2)設小明購買鋼筆y支,則購買簽字筆(50-y)支.由題意,得[8y+6(50-y)]×80%=272,解得y=20,所以50-y=30.答:小明購買了鋼筆20支,簽字筆30支.答案素養提升

8.[2021西安蓮湖區期末]國慶節期間,各大商場掀起購物狂潮,現有甲、乙、丙三個商場開展的促銷活動如表所示:

根據以上促銷活動信息,解決以下問題:(1)三個商場同時出售一件標價為290元的上衣和一條標價為270元的褲子,王阿姨想買這一套衣服,她應該選擇到哪家商場購買更劃算?(2)黃先生發現在甲、乙商場同時購買一件標價為380元的上衣和一條標價為300多元的褲子,最后付款額一樣,則這條褲子的標價是多少元?(3)丙商場又推出“先打折,再滿100元減50元”的優惠活動.張先生在丙商場買了一件標價為630元的上衣,發現竟然比沒打折前多付了18.5元,則丙商場先打了多少折后再參加滿減活動?商場促銷活動甲全場按標價的6折銷售乙實行“滿100元送100元的購物券”的優惠活動,購物券可以在再次購買時沖抵現金(如:顧客購物220元,贈券200元,再次購物時可沖抵現金,不再送券)丙實行“滿100元減50元”的優惠活動(比如:某顧客購物220元,他只需付款120元)8.解:(1)到甲商場購買需付款(290+270)×0.6=336(元);到乙商場購買需付款290+(270-200)=360(元);到丙商場購買需付款290+270-5×50=310(元).因為310<336<360,所以王阿姨應該選擇到丙商場購買更劃算.(2)設這條褲子的標價為x元.根據題意,得(380+x)×0.6=380+x-300,解得x=370.答:這條褲子的標價是370元.答案

5應用一元一次方程——“希望工程”義演1.[2022廣州海珠區期末]某工廠用硬紙生產圓柱形茶葉筒.已知該工廠有44名工人,每名工人每小時可以制作筒身50個或制作筒底120個.要求一個筒身配兩個筒底,設應該分配x名工人制作筒身,其他工人制作筒底,使每小時制作出的筒身與筒底剛好配套,則可列方程為(

)A.2×120(44-x)=50xB.2×50(44-x)=120xC.120(44-x)=2×50xD.120(44-x)=50x知識點1調配問題答案1.C

設應該分配x名工人制作筒身,則有(44-x)名工人制作筒底,由題意可得120(44-x)=2×50x.2.

在甲處工作的有27人,在乙處工作的有19人,現另外調20人去支援,使在甲處工作的人數是乙處的2倍,則往甲處調

人,往乙處調

人.

知識點1調配問題答案2.17

3

設往甲處調x人,則往乙處調(20-x)人.由題意,得27+x=2[19+(20-x)],解得x=17,則20-x=3,所以往甲處調17人,往乙處調3人.3.

教材P149習題5.8T1變式[2022東營期末]某文藝團體為“希望工程”募捐組織了一場義演,共售出10000張票(包括成人票和學生票),籌得票款692000元,且每張成人票80元,每張學生票50元.(1)問成人票與學生票各售出多少張.(2)若票價不變,仍售出10000張票,所得的票款可能是729000元嗎?為什么?知識點1調配問題答案

知識點2工程問題答案

知識點2工程問題答案

6.[2022溫州甌海區三校聯考]為了資源再利用,學校計劃對庫存的桌椅進行維修,現有甲、乙兩個木工組,甲組每天修桌椅10套,乙組每天比甲組多修5套,甲組單獨修完這些桌椅比乙組單獨修完多用5天.甲組每天維修費為200元,乙組每天維修費為300元.(1)求學校庫存多少套桌椅.(2)在修理過程中,學校要派一名工人進行質量監督,并付他每天80元的生活補助費.現有三種修理方案:①由甲組單獨修理;②由乙組單獨修理;③甲、乙合作同時修理.你認為哪種方案最劃算?請說明理由.知識點2工程問題答案

答案1.D2.[2021棗莊段考]制作一張桌子要用一個桌面和4條桌腿,1m3木材可制作20個桌面,或者制作400條桌腿,現有12m3木材,要使生產出來的桌面和桌腿恰好配套,應安排用來生產桌面的木材為(

)A.2m3 B.6m3 C.8m3 D.10m3答案2.D

設用xm3木材制作桌面,則用(12-x)m3木材制作桌腿,根據題意,得4×20x=400(12-x),解得x=10.所以應安排10m3木材用來生產桌面.

答案

4.

兩根一樣長的蠟燭,粗蠟燭能燃燒6h,細蠟燭能燃燒4h,一次停電同時點燃一粗一細兩根蠟燭,來電后同時熄滅,若粗蠟燭剩余長度是細蠟燭剩余長度的2倍,則停電時間為

h.

答案

5.

教材P149習題5.8T2變式[2021金昌期末]某班組織春游,A,B兩個景點每人任選一處.去A景點的每人付費20元,去B景點的每人付費30元.全班共付費1200元.(1)若去A,B兩景點的人數相等,則該班有學生多少人?(2)若去B景點的人數比去A景點的多5人,則去A,B兩景點的學生各多少人?答案

6.[2022貴港覃塘區期末]甲、乙兩人想共同承包一項工程,甲單獨做30天完成,乙單獨做20天完成.合同規定15天完成,否則每超過1天罰款1000元.甲、乙兩人商量后簽了該合同.(1)正常情況下,兩人能否履行該合同?為什么?(2)現兩人合作完成了該項工程的75%,因別處有急事,必須調走1人.若調走甲,能否履行該合同?若調走乙呢?答案

6應用一元一次方程——追趕小明1.

A,B兩地相距75km,一輛公交車從A地出發,以30km/h的速度駛向B地;一輛小轎車從B地出發,以45km/h的速度沿同一條道路駛向A地.若小轎車從B地出發20min后,公交車從A地出發,兩車相向而行,求公交車出發多少小時后兩車相遇.知識點1相遇問題答案

2.[2022北京四中開學考試]甲、乙兩城相距1120km,一列快車從甲城出發開往乙城,行駛120km后,另一列動車從乙城出發開往甲城,動車出發2h后與快車相遇,若快車每小時行駛的路程比動車每小時行駛的路程的一半多5km,則動車平均每小時行駛多少千米?知識點1相遇問題答案

3.

教材P151習題5.9T2變式甲、乙兩人在環形跑道上練習跑步,已知環形跑道一圈長400m,乙每秒跑6m,甲每秒跑4m.(1)若甲、乙兩人在跑道上同時同地反向出發,則經過多少秒兩人首次相遇?(2)若甲、乙兩人在跑道上同時同地同向出發,則經過多少秒兩人首次相遇?知識點2追及問題答案3.分析:(1)兩人反向出發,首次相遇時路程和等于400m,所以等量關系為甲跑的路程+乙跑的路程=400m.(2)兩人同向出發,速度不同,首次相遇時乙剛好超過甲一圈,所以等量關系為乙跑的路程-甲跑的路程=400m.

解:(1)設經過x秒兩人首次相遇.依題意,得4x+6x=400,解得x=40.故經過40秒兩人首次相遇.(2)設經過y秒兩人首次相遇.依題意,得6y-4y=400,解得y=200.故經過200秒兩人首次相遇.4.

一題多解[2021泰州模擬]“今有善行者行一百步,不善行者行六十步.”(出自《九章算術》)意思是:同樣時間段內,走路快的人能走100步,走路慢的人只能走60步.假設兩者步長相等,同地出發,據此回答以下問題:(1)今不善行者先行一百步,善行者追之,不善行者再行六百步,問孰至于前,兩者幾何步隔之.即:走路慢的人先走100步,走路快的人開始追趕,當走路慢的人再走600步時,請問誰在前面?兩人相隔多少步?(2)今不善行者先行兩百步,善行者追之,問幾何步及之.即:走路慢的人先走200步,請問走路快的人走多少步才能追上走路慢的人?知識點2追及問題答案4.解:(1)當走路慢的人再走600步時,走路快的人走了1000步,因為100+600<1000,所以走路快的人在前面,兩人相隔1000-(600+100)=300(步).

5.

一題多解某架飛機的油量最多夠它在空中飛行4.6h,飛機出發時順風飛行,已知該飛機在無風時的速度為575km/h,風速為25km/h,這架飛機最遠飛出多遠就應返回?知識點3航行問題答案

6.[2021延安期末]某人乘船由A地順流而下到達B地,然后又逆流而上到達C地(C在A,B之間,且A,B,C在同一條直線上),共用了3小時.已知船在靜水中的速度為8千米/時,水流速度為2千米/時.若AC兩地之間的距離是2千米,則AB兩地之間的距離是多少千米?知識點3航行問題答案

1.

新考法[2022隨州曾都區期末]一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流而行,用了2h;從乙碼頭返回甲碼頭逆流而行,用了2.5h.已知水流的速度是3km/h,求船在靜水中的平均速度.兩名同學列方程如下:根據以上信息,有下列四種說法:①兵兵所列方程中的x表示船在靜水中的平均速度;②倩倩所列方程中的x表示船在靜水中的平均速度;③兵兵所列方程中的x表示甲、乙兩碼頭之間的路程;④倩倩所列方程中的x表示甲、乙兩碼頭之間的路程.其中正確的是(

)A.①③ B.①④ C.②③ D.②④答案1.B

答案

3.[2021廣安期末]如圖,甲、乙兩人沿著邊長為90m的正方形,按A→B→C→D→A→…的方向行走,甲從點A出發,以50m/min的速度行走;同時,乙從點B出發,以65m/min的速度行走.當乙第一次追上甲時,在正方形的(

)A.BC邊上 B.CD邊上C.點C處

D.點D處答案3.C

設乙行走tmin后第一次追上甲,則甲的行走路程為50tm,乙的行走路程為65tm.當乙第一次追上甲時,270+50t=65t,解得t=18,此時乙的行走路程為65×18=1170(m),1170÷(90×4)=3……90,所以當乙第一次追上甲時,在正方形的點C處.4.