(完整版)一元二次方程測試題(含答案)

一元二次方程測試題一、填空題:（每題2分共10分）1.一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x^2化為一般形式為：2x^2-7x-9=0，二次項系數為2，一次項系數為-7，常數項為-9。2.若m是方程x^2+x－1＝0的一個根，試求代數式m+2m+2013的值為。根據韋達定理，m+1=0，所以m=-1，代入得到-2011。3.方程2+x－1＝0是關于x的一元二次方程，則m的值為-1。4.關于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+a-4=0的一個根為-2，則a的值為2。5.若代數式4x－2x－5與2x＋1的值互為相反數，則x的值是1。6.已知2y+y^2-3的值為2，則4y^2+2y+1的值為21。7.若方程(m-1)x+m·x=1是關于x的一元二次方程，則m的取值范圍是m≠0,1。8.已知關于x的一元二次方程ax^2+bx+c=a+c-b，則此方程必有一根為1。9.已知關于x的一元二次方程x^2+mx-6=0的一個根為2，且另一個根是-3，則m=1。10.設x1，x2是方程x^2+bx+b-1=0有兩個相等的實數根，則b的值是2。11.已知x=-2是方程x^2+mx-6=0的一個根，則方程的另一個根是3，且m=4。12.若2x^2+kx-3=0的一個根是2，且一元二次方程kx+ax+b=0有兩個實數根，則k的取值范圍是k≤-3或k≥6。13.設m、n是一元二次方程x^2+mx+n=0的兩個根，且m+n=2，則m^2+n^2=2。14.一元二次方程（a+1）x^2-ax+a-1=0的一個根為2，則a=1/3。15.若關于x的方程x^2+（a﹣1）x+a=0的兩根互為倒數，則a=1。16.關于x的兩個方程x^2+2x-3=0和x^2+3x-2=0有公共的實數根，則該實數根為1。17.已知關于x的方程x^2-x-2=0與2x+1=0有一個解相同，則a=1/2。18.a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項，且滿足a1+(b－2)+|a+b+c|=0，滿足條件的一元二次方程是a(x-1)^2+(b-2)(x-1)+c-1=0。19.已知a、b是一元二次方程x^2-2x-1=0的兩個實數根，則代數式（a－b）（a+b－2）+ab的值等于4。20.已知關于x的方程x^2+（2k+1）x+k^2－2=0的兩實根的平方和等于11，則k的值為1。21.已知分式$\frac{2}{x-5x+a}$，當$x=2$時，分式無意義，則$a=$；當$a<6$時，使分式無意義的$x$的值共有幾個。解：當$x=2$時，分式無意義，即$x-5x+a=0$，解得$a=8$。當$a<6$時，分式無意義，即$x-5x+a=0$，解得$x=\frac{a}{4}$。因為$a<6$，所以$\frac{a}{4}<\frac{6}{4}=1.5$，即$x<1.5$。所以使分式無意義的$x$的值共有1個。22.設$x_1$、$x_2$是一元二次方程$x^2+ax+1=0$的兩個根，則$a=$。解：根據韋達定理，$x_1+x_2=-a$，$x_1x_2=1$。所以$a=-x_1-x_2$，又因為$x_1$、$x_2$是方程$x^2+ax+1=0$的根，所以$x_1^2+ax_1+1=0$，$x_2^2+ax_2+1=0$。把$a=-x_1-x_2$代入，得到$x_1^2-x_1x_2+x_2^2=1$，即$(x_1-x_2)^2=1$。因為$x_1$、$x_2$不相等，所以$x_1-x_2=1$或$x_1-x_2=-1$。如果$x_1-x_2=1$，則$x_1=x_2+1$，代入$x_1x_2=1$得到$(x_2+1)x_2=1$，解得$x_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。如果$x_1-x_2=-1$，同理可得$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。綜上所述，$a=-x_1-x_2=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=-\sqrt{5}$。23.方程$(1999x)^2-1998\times2000x-1=0$的較大根為$r$，方程$2007x^2-2008x+1=0$的兩個實根，且$2$的較小根為$s$，則$s-r$的值為。解：根據韋達定理，$r+s=\frac{1998\times2000}{1999}$，$rs=\frac{1}{1999^2}$，$s=\frac{1}{2}(\sqrt{2}+1)$。又因為$s$是方程$2x^2+5x-3=0$的較小根，所以$s=\frac{-5-\sqrt{49}}{4}=-2$，解得$r=\frac{1998\times2000}{1999}-s=\frac{1998\times2000}{1999}+2$，所以$s-r=-\frac{1998\times2000}{1999}-2$。24.若$2x+5y-3=0$，則$4\times32xy=$。解：$4\times32xy=4\times8xy(2x+5y-3)+4\times25y^2-36=32xy(2x+5y-3)+4(5y-3)^2=32xy\times0+4\times2^2=16$。25.已知$a,b$是方程$x^2-4x+m=0$的兩個根，$b,c$是方程$y^2-8y+5m=0$的兩個根，則$m$的值為。解：根據韋達定理，$a+b=4$，$ab=m$，$b+c=8$，$bc=5m$。所以$a=4-b$，$c=8-b$，代入$ab=m$，$bc=5m$得到$b^2-4b+m=0$，$5b^2-68b+32m=0$。解得$b=2$，$m=1$或$b=\frac{34}{5}$，$m=\frac{68}{25}$。因為$a$、$b$是方程$x^2-4x+m=0$的兩個根，所以$a+b=4$，即$a=2$。所以$m=1$。1、證明：關于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程．證明：將方程化簡得到：（m2-8m+17）x2+2mx+1=0根據一元二次方程的定義，該方程是一元二次方程，只需證明其對于任意的m都是一元二次方程即可。由于m為常數，所以（m2-8m+17）也是常數，因此該方程的系數都是常數，滿足一元二次方程的定義，故不論m取何值，該方程都是一元二次方程。2、已知關于x的方程x2+x+n=0有兩個實數根﹣2，m．求m，n的值．由于x2+x+n=0有兩個實數根，所以判別式D=1-4n≥0，即4n≤1。又因為﹣2是方程的實數根，所以代入得到4-2m+n=0。解得m=2，n=2。3、已知關于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有兩個不相等的實數根（1）求k的取值范圍；由于x2+2x+2k-4=0有兩個不相等的實數根，所以判別式D=4-8k+16≥0，即k≤1。又因為方程有實數根，所以k-1≥0，即k≥1。綜上所述，k∈[1,1]，即k=1。（2）若k為正整數，且該方程的根都是整數，求k的值。當k=1時，方程化簡為x2+2x-2=0，解得x=-1±sqrt(3)，不是整數。因此，不存在正整數k使得該方程的根都是整數。4、已知m是方程x2-x-2=0的一個實數根，求代數式的值．根據韋達定理，有m=1+2=3。5、已知，關于x的方程x2-2mx=-m2+2x的兩個實數根x1、x2滿足x1=x2，求實數m的值.由于x1=x2，所以方程可化簡為x2-2mx=-m2+2x1。移項得到x1=m2/(2m-2)，因此2m-2≠0，即m≠1。又因為x1為實數，所以m2/(2m-2)≥0，即m≥2或m≤0。綜上所述，m∈(0,1)∪[2,+∞)。6、當x滿足條件x≠2時，求出方程x2-2x-4=0的根．由韋達定理，有x1+x2=2，x1x2=-4。代入第一個式子得到x2=2-x1，代入第二個式子得到x1(2-x1)=-4，即x1^2-2x1-4=0。解得x1=1±sqrt(5)，x2=3±sqrt(5)。因為x≠2，所以x1≠2，x2≠2，故方程的根為x1=1+sqrt(5)，x2=1-sqrt(5)或x1=3+sqrt(5)，x2=3-sqrt(5)。7、關于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的實數解是x1和x2．（1）求k的取值范圍；由于方程有實數解，所以判別式D=4-4(k+1)≥0，即k≤-1。又因為實數解為x1和x2，所以判別式D=4+4k+4≥0，即k≥-1。綜上所述，k∈[-1,-1]，即k=-2。（2）如果x1+x2-x1x2＜-1且k為整數，求k的值．由于x1+x2-x1x2＜-1，所以(k+1)-(x1+1)(x2+1)＜0，即k+1＜x1+x2+x1x2。代入k=-2得到x1+x2+x1x2＞-1，即x1x2-(x1+x2)＜1。由韋達定理，有x1+x2=-2，x1x2=k+1。代入得到k+3＜1，即k＜-2。因此，當k為整數且k＜-2時，滿足條件x1+x2-x1x2＜-1。8、關于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的兩個實數根分別為x1,x2．（1）求m的取值范圍．由韋達定理，有x1+x2=-3，x1x2=m-1。因為方程有實數解，所以判別式D=9-4(m-1)≥0，即m≤5。又因為實數解為x1和x2，所以判別式D=9-4(m-1)＜0，即m＞3。綜上所述，m∈(3,5]。（2）若2(x1+x2)+x1x2=5，求m的值．由韋達定理，有2(x1+x2)+x1x2=2(-3)+m-1=5，解得m=10。9、關于x的方程：①，②，③；④中，一元二次方程的個數是（）①、x2-3x+2=0；②、x2-5x+6=0；③、x3-2x2+5x-6=0；④、x4-4x3+3x2-2x+1=0。其中，①、②、④是一元二次方程，③是一元三次方程。因此，一元二次方程的個數為3。10、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，則下列不可能的是（）根據一元二次方程的定義，其一般形式為ax2+bx+c=0，其中a≠0。將nxm+xn-2x2=0化簡得到2x2-nxm-xn=0。若該方程是一元二次方程，則n≠0且m≠0，否則方程退化為一元一次方程或常數方程。因此，不可能的選項為D，即m=n=1。11、已知m，n是關于x的一元二次方程x2-3x+a=0的兩個解，若（m-1）（n-1）=﹣6，則a的值為（）由韋達定理，有m+n=3，mn=a。代入（m-1）（n-1）=﹣6得到a=10。因此，a的值為10。12、若m是關于x的一元二次方程x2+nx+m=0的根，且m≠0，則m+n的值為（）由韋達定理，有m+n=-n，mn=m。代入得到n2-mn-m=0，解得n=(1±sqrt(1+4m))/2。因為m≠0，所以n有兩個值，設為n1和n2。因此，m+n1+m+n2=2m+n1+n2=-2n=2(1±sqrt(1+4m))。因此，m+n的值為2(1±sqrt(1+4m))。13、關于x的一元二次方程x2+nx+m=0的兩根中只有一個等于k，則下列條件正確的是（）設另一根為p，則有k+p=-n，kp=m。因為只有一個根等于k，所以kp≠0。因此，k和p都不為0，即m≠0且n≠0。因此，正確的選項為B，即m=0，n≠0。14、若方程ax2+bx+c=(a≠0)中，a,b,c滿足a+b+c=0和a-b+c=0，則方程的根是（）將a+b+c=0和a-b+c=0代入韋達定理得到x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。因為a+b+c=0，所以b=-(a+c)。代入得到x1+x2=-b/a=-(a+c)/a=-1-c/a，x1x2=c/a。因此，x1和x2的和為-1，積為c/a。根據韋達定理，方程的根為x1,x2=-1/2±sqrt(2)/2。9、已知一元二次方程$x^2+(m+3)x+m+1=0$，證明無論$m$取何值，原方程總有兩個不相等的實數根。并且如果$x_1,x_2$是原方程的兩根，且$|x_1-x_2|=22$，求$m$的值和方程的兩根。10、當$m$為何值時，一元二次方程$(m-4)x+2(m+1)x+1=0$有實根。附加題：已知$x_1,x_2$是一元二次方程$4kx^2-4kx+k+1$的兩個實數根。1.是否存在實數$k$，使得$(2x_1-x_2)(x_1-2x_2)=-1$成立？若存在，求出$k$的值；若不存在，請說明理由。2.求使得$x_1x_2-2$為整數的實數$k$的整數值。參考答案：9、對于一元二次方程$x^2+(m+3)x+m+1=0$，根據判別式$\Delta=(m+3)^2-4(m+1)$，當$\Delta\geq0$時，方程有兩個不相等的實數根。因此，只需要證明$\Delta\geq0$即可。展開得$\Delta=m^2+2m+1-4m-4=m^2-2m-3=(m-3)(m+1)$，因此無論$m$取何值，$\Delta$都大于等于0，即原方程總有兩個不相等的實數根。設方程$x^2+(m+3)x+m+1=0$的兩根為$x_1,x_2$，由題意可得$|x_1-x_2|=22$。根據韋達定理可得$x_1+x_2=-(m+3)$，$x_1x_2=m+1$。由$|x_1-x_2|=22$可得$(x_1-x_2)^2=484$，展開得$x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=484$，代入$x_1x_2=m+1$可得$m=-120$或$m=118$。當$m=-120$時，方程的兩根為$x_1=-121,x_2=-1$；當$m=118$時，方程的兩根為$x_1=-119,x_2=-\frac{1}{119}$。10、對于一元二次方程$(m-4)x+2(m+1)x+1=0$，根據判別式$\Delta=4(m+1)^2-4(m-4)=16m+20$，當$\Delta\geq0$時，方程有實根。因此，只需要證明$\Delta\geq0$即可。展開得$\Delta=4(m+5)$，因此當$m\geq-5$時，$\Delta\geq0$，即方程有實根。附加題：1.根據題意可得$(2x_1-x_2)(x_1-2x_2)=-1$，展開得$2x_1x_2-5x_1x_2+2x_2^2-x_1=-1$，代入$x_1x_2=\frac{k+1}{4k}$可得$2(k+1)-\frac{5(k+1)}{4k}+\frac{1}{k+1}=-1$，整理得$16k^3+16k^2-3k-5=0$。由有理根定理可得$k=-\frac{1}{2}$是方程的一個根，因此可將方程化為$(2k+1)(8k^2+15k+5)=0$，解得$k=-\frac{1}{2}$或$k=-\frac{5}{4}$。當$k=-\frac{1}{2}$時，$(2x_1-x_2)(x_1-2x_2)=-1$成立；當$k=-\frac{5}{4}$時，$x_1x_2=\frac{k+1}{4k}=-\frac{1}{3}$，因此不存在實數$k$使得$(2x_1-x_2)(x_1-2x_2)=-1$成立。2.根據題意可得$x_1x_2-2=\frac{k+1}{4k}-2=\frac{k-8}{4k}$為整數，因此$k-8$必須是$4k$的倍數。解得$k$為整數時，$k$的取值為$-8,-4,0,3,4,5,6,7,8$。22、已知一元二次方程$x^2+5x-3=0$的兩個實根為$x_1$和$x_2$，求$2x_1(x_2^2+6x_2-3)+a$的值。解：由題意可得$x_1+x_2=-5$，$x_1x_2=-3$，$x_2^2+5x_2+3=0$。又因為$2x_1(x_2^2+6x_2-3)+a=2x_1(x_2^2+5x_2+x_2-3)+a=2x_1(3+x_2-3)+a=2x_1x_2+a=4$，所以$-10+a=4$，解得$a=14$。23、24、25、題目不完整，無法處理。二、選擇題：1、已知$a<0$，$b<0$，則$a+b$的符號為（）。A.正B.負C.零D.不能確定2、已知$x^2+px+q=0$的兩個根為$2$和$3$，則$p+q$的值為（）。A.$-11$B.$-6$C.$-1$D.$2$3、若$x^2+ax+a=0$的兩個根的和為$2$，則$a$的值為（）。A.$-2$B.$-1$C.$0$D.$1$4、若$m$是方程$x^2-x-2=0$的一個根，則$(m^2-m)(m+1)$的值為（）。A.$1$B.$2$C.$4$D.$-2$5、已知$x^2-2x+a=0$的兩個根為$x_1$和$x_2$，且$x_1+x_2=2$，則$a$的值為（）。A.$-1$B.$0$C.$1$D.$2$6、已知$x^2+px+q=0$的兩個根為$2$和$3$，則$p$和$q$的關系是（）。A.$p>q$B.$p<q$C.$p=q$D.不能確定7、若$x_1$和$x_2$是方程$x^2+px+q=0$的兩個根，且$x_1x_2=1$，則$x_1^2+x_2^2$的值為（）。A.$p^2-2q$B.$p^2+2q$C.$p^2-4q$D.$p^2+4q$8、已知$x_1$和$x_2$是方程$x^2-x-2=0$的兩個根，$a$和$b$是兩個實數，且$x_1<x_2$，則下列結論中正確的是（）。A.$a<x_1<b<x_2$B.$x_1<a<b<x_2$C.$x_1<a<b<x_2$D.$x_1<b<a<x_2$9、已知$x_1$和$x_2$是方程$x^2-4x+3=0$的兩個根，則$x_1^2+x_2^2$的值為（）。A.$10$B.$14$C.$16$D.$20$10、已知$x_1$和$x_2$是方程$x^2+px+q=0$的兩個根，且$x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$，則$x_1$和$x_2$的和是（）。A.$-2q$B.$-q$C.$q$D.$2q$11、已知$x_1$和$x_2$是方程$x^2+px+q=0$的兩個根，且$x_1x_2=1$，則$x_1$和$x_2$的平方和為（）。A.$p^2-2q$B.$p^2+2q$C.$p^2-4q$D.$p^2+4q$12、已知$x^2+px+q=0$的兩個根為$-1$和$2$，則$p$和$q$的值分別為（）。A.$1$，$-2$B.$-1$，$2$C.$1$，$2$D.$-1$，$-2$13、已知$x_1$和$x_2$是方程$x^2+px+q=0$的兩個根，且$x_1x_2=1$，則$x_1^2+x_2^2$的值為（）。A.$p^2-2q$B.$p^2+2q$C.$p^2-4q$D.$p^2+4q$14、已知$x_1$和$x_2$是方程$x^2+px+q=0$的兩個根，且$x_1x_2=1$，則$x_1^3+x_2^3$的值為（）。A.$p^3-3pq$B.$p^3+3pq$C.$p^3-4pq$D.$p^3+4pq$三、計算題：1、證明$x^2-5x+6$是一元二次方程。解：$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$，當$x=2$或$x=3$時，方程的值為$0$，所以$x^2-5x+6$是一元二次方程。2、已知$x^2+ax+a=0$的兩個根的和為$2$，求$a$和$x_1x_2$的值。解：設方程的兩個根為$x_1$和$x_2$，則由題意得$x_1+x_2=-a$，$x_1x_2=a$，又因為$x_1+x_2=2$，所以$a=-1$，$x_1x_2=-a=1$。3、若$x-3$是方程$x^2-2x+a$的一個根，求$a$的值。解：由題意得$(x-3)^2=x^2-6x+9=x^2-2x+a$，即$x^2-8x+a-9=0$，又因為$x-3$是該方程的一個根，所以代入得$(-3)^2-8\times(-3)+a-9=0$，解得$a=-6$。4、已知$m$是方程$x^2-x-2=0$的一個根，求$(m^2-m)(m+1)$的值。解：由題意得$m^2-m=2$，所以$(m^2-m)(m+1)=2(m+1)=4$。5、已知$x^2-2x+a=0$的兩個根為$x_1$和$x_2$，且$x_1+x_2=2$，求$a$的值。解：由題意得$x_1+x_2=2$，即$2x_1+2x_2=4$，又因為$x_1x_2=a$，所以$2x_1x_2=2a$，所以$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2-2a$，又因為$x_1+x_2=2$，所以$x_1$和$x_2$都是$1$，所以$a=-1$。解方程x^2-2x-4=0，得到x1=1+√5，x2=1-√5。由于2<√5<3，因此1+√5符合題意，所以x=1+√5。7、解：（1）由于方程有實數根，所以Δ=22-4(k+1)≥0，解得k≤0。因此k的取值范圍是k≤0。（2）根據一元二次方程根與系數的關系，得到x1+x2=-2，x1x2=k+1。將其代入x1+x2-x1x2=-2-(k+1)，得到-2-(k+1)<-1，解得k>-2。又由于k為整數，因此k的值為-1和0。8、在解題時，一定要注意此方程的判別式