第三章函數的概念與性質3．2函數的基本性質3．單調性與最大(小)值第2課時函數的最大(小)值[課程目標]1.理解函數的最大(小)值的概念及其幾何意義；2.理解函數的最大(小)值是在整個定義域上研究函

數，體會求函數最值是函數單調性的應用之一；3.會求一些簡單函數的最值．

知識點一函數的最大(小)值的定義及幾何意義設y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：最值條件幾何意義最大值(1)對于任意x∈I，都有____；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M函數y＝f(x)圖象上最高點的縱坐標最小值(1)對于任意x∈I，都有____；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M函數y＝f(x)圖象上最低點的縱坐標f(x)≤Mf(x)≥M【思辨】

判斷正誤(請在括號中打“√”或“×”).(1)函數f(x)＝－x2＋1≤2總成立，則f(x)的最大值是2.(

)(2)函數的最大值或最小值一定是函數值域中的元素.(

)(3)函數f(x)的值域是(0，＋∞)，則函數f(x)的最小值為0.(

)(4)若函數f(x)在區間[a，b]上具有單調性，則f(a)或f(b)是函

數f(x)的最大值或最小值．(

)×√×√【解析】(1)函數f(x)的定義域中不存在x0，使f(x0)＝2，所以2不是f(x)的最大值．(2)函數的最大值和最小值也是函數值，所以函數的最大值或最小值一定是函數值域中的元素．(3)函數的值域中不包含0，所以0不是函數的最小值．(4)根據函數最大(小)值的定義知說法正確．

知識點二求函數的最值的常用方法1．圖象法：作出y＝f(x)的圖象，觀察最高點與最低點，最高(低)點的縱坐標即為函數的最大(小)值．2．運用已學函數的值域．3．運用函數的單調性(1)若判斷y＝f(x)在區間[a，b]上單調遞增，

則ymax＝__________，ymin＝_______．(2)若判斷y＝f(x)在區間[a，b]上單調遞減，

則ymax＝________，ymin＝__________．f(b)f(a)f(a)f(b)(3)若y＝f(x)是定義在區間(a，b)或R上的連續函數，則函

數y＝f(x)的最大(小)值要根據具體函數而定．4．分段函數的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中的最大(小)的那個．【思辨】

判斷正誤(請在括號中打“√”或“×”).(1)函數y＝－2x＋3在(2，5]上有最小值－7，沒有最大值．(

)(2)函數y＝在[1，2]上有最大值1，最小值.(

)(3)函數y＝x2＋2x＋3的最小值為2.(

)(4)函數y＝x2＋2x＋4(x∈[－3，－2])的最小值為2.(

)√×√√例1已知函數f(x)＝x2－2ax＋3，求f(x)在區間[0，2]上的最小值g(a)和最大值h(a).1．求函數f(x)＝x2－2ax＋2在[－1，1]上的最小值．

解：函數f(x)圖象的對稱軸為直線x＝a，且函數圖象開口

向上，2．已知函數f(x)＝x2＋4x＋3，求f(x)在區間[t，t＋1]上的最小

值g(t)和最大值h(t).例2某上市股票在30天內每股的交易價格P(元)與時間t(天)組成有序數對(t，P)，點(t，P)落在如圖所示中的兩條線段上．該股票在30天內的日交易量Q(萬股)與時間t(天)的部分數據如下表所示：(1)根據提供的圖象，寫出該股票每股交易價格P(元)與時間t(天)所滿足的函數關系式；(2)根據表中數據，確定該股票日交易量Q(萬股)與時間t(天)的函數關系式；(3)用y表示該股票日交易額(萬元)，寫出y關于t的函數關系式，并求出在這30天中第幾天日交易額最大，最大是多少．[規律方法]1．分段函數的最大值為各段上最大值的最大者，最小值為各

段上最小值的最小者，故求分段函數的最大或最小值，應

先求各段上的最值，再比較即可得函數的最大、最小值．2．如果函數的圖象容易作出，畫出分段函數的圖象，觀察圖

象的最高點與最低點，并求其縱坐標即可得函數的最大

值、最小值．設函數f(x)＝x|x－1|＋m，當m>1時，求f(x)在[0，m]上的最大值．例3已知函數f(x)＝

，x∈[2，＋∞).(1)求f(x)的最小值；(2)若f(x)>a恒成立，求a的取值范圍．求函數f(x)＝在區間[1，2]上的最大值和最小值．[規律方法]1．函數的最值與單調性的關系．(1)若f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(a)，最小值為f(b)；(2)若f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(x)在[a，b]上的最大值為

f(b)，最小值為f(a).2．利用函數的單調性求最值，要熟練掌握一些常見函數的基

本性質．【遷移探究】1．函數f(x)的部分圖象如圖所示，則該函數在[－2，2]上的最

小值、最大值分別是(

)A．f(－2)，f(3)B．0，2C．f(－2)，2D．f(2)，2【解析】由圖象可知，x＝－2時，f(x)取得最小值f(－2)；x＝1時，f(x)取得最大值f(1)＝2.故選C.C2．函數y＝2x2＋1，x∈N*的最值情況是(

)A．無最大值，最小值是1B．無最大值，最小值是3C．無最大值，也無最小值D．不能確定最大、最小值【解析】因為x∈N*，且函數在(0，＋∞)上單調遞增，故函數在x＝1時取得最小值，最小值為3，無最大值．故選B.B3．函數