《線性代數與空間解析幾何》第二十講哈工大數學系代數與幾何教研室王寶玲5.1

齊次線性方程組第五章線性方程組1齊次方程組非齊次方程組線性方程組在幾何中的應用本章主要內容2陣5.1.1齊次線性方程組的表示形式3即4只有零解的充要條件；無窮多解的充要條件；

解的性質及解集合的結構；求解方法.齊次方程組的內容5證

AX=0

有非零解x11+x22+…+xnn=0有非零解

A的列向量組1,2,…,n線性相關r(A)=r(1,2,…,n)<n.設階矩陣,則齊次性方程組

AX=0

有非零解r(A)<n;

AX=0

只有零解

r(A)=n.定理5.15.1.2齊次線性方程組有解的條件AX=0只有零解x11+x22+…+xnn=0只有零解

A的列向量組1,2,…,n線性無關r(A)=r(1,2,…,n)=n.6若有非零解,這些解具有哪些性質?解集合的整體結構如何?問題也是AX=0

的解.由是AX=0的解,即性質1也是AX=0

的解.性質2由是AX=0的解,即k,5.1.3

齊次方程組解的性質及結構7AX=0

的解集合構成向量空間,記為N(A),

稱其為AX=0的解空間.定理5.2若AX=0

有非零解,

則這些解的任意線性組合仍是解,所以必有無窮多個解.由性質1,2可知解集合對線性運算是封閉的.所以得到如下結果:只要找到N(A)的一個基(基礎解系),就能表示所有解.其中P為可逆矩陣.注AX=

0與

PAX=

0

是同解方程組.8則稱為AX=0的基礎解系.定義r(A)=r<n,若AX=0的一組解為

(1)

線性無關;(2)AX=0

的任一解都可由這組解線性表示.稱的通解為AX=0（其中k1,k2,…,kn-r為任意常數).齊次線性方程組的關鍵問題就是求通解而求通解的關鍵問題是求基礎解系.,且滿足：9定理5.3設

任一基礎解系中均含有n–r解向量,為N(A)的一個基,即(1)若則AX=0沒有基礎解系;(2)若則AX=0有基礎解系,且dim(N(A))=證N(A)={0}(2)(1)則AX=0沒有基礎解系.(求基礎解系的方法)101.不妨設

A

的前r

個列向量線性無關C為行階梯形矩陣(行最簡).

11得同解方程組CX=0,即2.

前r個變量為基本未知量,其余的n-r個

變量為自由未知量.(為個)令123.代入同解的方程組CX=0中得從而得到AX=0的n-r個解為13且線性無關.設是AX=0的任一解,14下證線性相關.令,則所以線性相關,于是可由線性表示.所以是N(A)的一個基,dim(N(A))=即15為方程組AX=0的基礎解系.這樣求出的其中為任意常數.AX=0的通解為故16(1)是解;(2)線性無關;(3)n-r(A)

個.2.求通解的三步:（行階梯形或行最簡形）;

寫出同解方程組CX=0.(3)寫出通解(2)求出CX=0的基礎解系;(1)1.基礎解系的三要素:總結其中為任意常數.17求下列方程組的基礎解系及通解:解

例118得同解方程組令得基礎解系19方程組的通解是:其中k1,k2是任意常數.20求下列方程組的基礎解系:解用初等行變換化系數矩陣為階梯形:例221得同解方程組為:22令代入上述方程組解得基礎解系為:23

設A,B

都是n

階矩陣B0且B

的每一列都是方程組

AX=0的解，則A=

.0例324例4已知是的基礎解系,若,討論t滿足什么條件時,也是的基礎解系.解是的解,且也是4個.只須證線性無關.25線性無關即所以當t1時,也是的基礎解系.26例5已知n階矩陣A的各行元素之和均為零,且r(A)=n-1,求線性方程組AX=0的通解.解由r(A)=n-1知AX=0的基礎解系有一個非零解向量.又即為所求通解.k為任意常數275.2

非齊次線性方程組285.2.1非齊次線性方程組的表示形式稱為的導出組(2)陣增廣矩陣：(A

b)2930

何時方程組有解?

有唯一解、無窮多解.解的性質及解集合的結構；求解方法.非齊次線性方程組的內容31AX=b

有解

x11+x22+…+xnn=b

有解

b可由A的列向量1,2,…,n線性表示

1,2,…,n與1,2,…,n,b等價r(1,2,…,n)=r(1,2,…,n,b)

定理5.45.2.2非齊次線性方程組有解的條件方程組AX=b有解r(A)=r(A

b)注當r(A)<r(A

b)方程組AX=b無解.r(A)=r(A

b)得出定理32若解不唯一,這些解具有哪些性質?

解集合的整體結構如何?問題性質1

若1,2是AX=b的解,A1=b,A2=bA(1-2)=A1-A2=b-b=0

1-2是AX=0的解.性質2若是AX=0的解,是AX=b的解

A(+)=A

+A=0+b=b

+

是AX=b的解.5.2.3非齊次方程組解的性質及結構注

非齊次方程組有解的條件下,有兩種情況33(2)

AX=b

有無窮多解r(A)=r(A

b)<n,證

(1)AX=b有解,所以r(A)=r(A

b)(1)

AX=b有唯一解r(A)=r(A

b)=n.又因為(1)的解唯一,由性質2知(2)有唯一零解,所以r(A)=n,即r(A)=r(A

b)=n.定理5.5兩個以上不同的解,則由性質1知(2)有非零因為

r(A)=r(A

b)

所以(1)有解,若有解,這與r(A)=n矛盾.故(1)只有唯一解.34(2)AX=b有解,所以r(A)=r(A

b)又因為(1)有無窮多解,由性質2知(2)有非零解,所以r(A)<n,即r(A)=r(A

b)<

n.因為r(A)=r(A

b)所以(1)有解,又因為r(A)<n,所以(2)有無窮多解,由性質2知(1)有無窮多解.

注當A為方陣時AX=b有唯一解351.

AX=b與

PAX=Pb

是同解方程組.其