靜態電磁場靜電場第1頁，課件共68頁，創作于2023年2月2．靜態電磁場(積分形式）第2頁，課件共68頁，創作于2023年2月2.1.1靜電場的基本方程

D=

其媒質的構成方程為:D=

E微分形式:積分形式:顯然，靜電場是有散(有源)、無旋場。

第3頁，課件共68頁，創作于2023年2月2.1.2靜電場的有散性(高斯定理)在真空中，高斯定理:其微分形式為：

第4頁，課件共68頁，創作于2023年2月上圖表明：靜電場是有散(有源)場。若場中某點▽E>0，則

>0

(正電荷)，該點電力線向外發散，且為“源”的所在處；若某點▽E<0，則<0

(負電荷)，電力線從周圍向該點匯集，是“匯”的所在處；若某點的▽E=0，則=0(無電荷)，電力線既不自該點發出，也不向該點匯集，而是通過該點，因此該點不存在場源。▽

E<0，<0圖2-1散度與場源的關系▽

E>0，>0▽

E=0，=0第5頁，課件共68頁，創作于2023年2月例2-1已知真空中半徑為a的球形空間內分布有呈球對稱形態的電荷，它在其球形分布區域內外產生的空間電場分布分別為和。試求該電荷分布。解：根據高斯定理，并按題設場強E的分布特征，應在球坐標系中展開散度表達式（見附錄二）。因題設

，故有：

第6頁，課件共68頁，創作于2023年2月2.1.3靜電場的無旋性這表明靜電場的旋度處處為零，靜電場為無旋場，其電力線不是閉合曲線。圖電場力作功與路徑無關對右圖閉合曲線作曲線積分，并應用斯托克斯定理，得：即表明在靜電場中，電場力作功與路徑無關，僅取決于起點和終點的位置。第7頁，課件共68頁，創作于2023年2月例2-2試求由例2-1所給定的該靜電場的旋度。解：利用球坐標系中旋度表達式（見附錄二）。由于電場強度E(r)僅有Er分量，且Er與坐標變量θ、φ無關，因此在整個場空間中應有顯然，這是靜電場無旋性的必然結果。第8頁，課件共68頁，創作于2023年2月2.2自由空間中的電場2.2.1電位函數的引入

因為E=0，由矢量恒等式()=0，E(r)可以表示為:

式中，稱為標量函數(r)為靜電場的標量電位函數，簡稱電位。上式表明，自由空間中任一點靜電場的電場強度E等于該點電位梯度的負值。另外，由亥姆霍茲定理，有：式中R=|r

r

|=[(xx

)2+(yy

)2+(zz

)2]1/2

第9頁，課件共68頁，創作于2023年2月由靜電場的基本方程，得：

A(r)=0顯然，亥姆霍茲定理再次證實了。第10頁，課件共68頁，創作于2023年2月由E求的關系式將電荷q由P點移到Q點時，電場力所作的功為：由梯度和方向導數的關系，上式改寫為：因此如取Q點為電位參考點，則P點的電位定義為：工程應用中，常取大地表面為電位參考點，而在理論分析時，任意點P的電位可設為：第11頁，課件共68頁，創作于2023年2月2．電位函數的表達式

點電荷：

線電荷：面電荷：

體電荷：第12頁，課件共68頁，創作于2023年2月3．電場強度的表達式

因為代入前式，得

點電荷：線電荷：面電荷：體電荷：

第13頁，課件共68頁，創作于2023年2月對于具有對稱結構的靜電場問題，可以利用高斯定理求解電場強度。如處于坐標原點的點電荷產生的電場。因此寫成矢量形式對于無界自由空間的點電荷系統，應用疊加原理，合成的電場強度為：第14頁，課件共68頁，創作于2023年2月思路二：先求電場強度，再利用，求電位。

思路一：先求電位，再利用，求電場強度。4．電位和電場強度的求解思路

例2-3：真空中有限長直線段l上均勻分布線電荷密度為

的電荷，如圖所示。求線外中垂面上任意場點P處的電場強度。

圖有限長直線電荷沿方向的電場第15頁，課件共68頁，創作于2023年2月[解]：采用圓柱坐標系，令z軸與線電荷重合，原點置于線段

l的中點。

利用變量代換z

=

tg，dz

=

sec2

d，代入上式，最終解得

式中，。第16頁，課件共68頁，創作于2023年2月相當于電量為

l的點電荷產生的電場。如果>>1，這可以視為無限長直的線電荷，此時，則

討論：如果<<1，這意味著或者l很小或者

很大，此時

，則

顯然，這正是高斯定理給出的結果。

第17頁，課件共68頁，創作于2023年2月例2-4：求真空中球狀分布電荷所產生的空間電場強度和電位分布，設電荷體密度為

[解]：由高斯定理，當r

a時

當r>a時，

第18頁，課件共68頁，創作于2023年2月設無限遠處為電位參考點，當r

a時

當r>a時，

基于位函數的分析若場源為n個點電荷，應用疊加原理，任一場點(r)處的電位為：第19頁，課件共68頁，創作于2023年2月例2-5設真空中電荷在半徑為a的圓盤形平面域中均勻分布，其電荷面密度分布函數為σ。試求：（1）與該均勻帶電園盤形平面相垂直的軸線上的電位分布；（2）軸線上的電場強度解：典型的圓環狀電荷上的元電荷在軸線上任一場點P處引起的元電位為：

所以：第20頁，課件共68頁，創作于2023年2月（2）應用圓柱坐標系的梯度表達式（附錄二），可得電場強度為：（2）應用圓柱坐標系的梯度表達式（附錄二），可得電場強度為：第21頁，課件共68頁，創作于2023年2月圖電偶極子例2-6求電偶極子產生的空間電場強度與電位分布。[解]：定義電偶極矩p(簡稱電矩，即p=qd，d為正負電荷間的距離，且規定d的方向由負電荷指向正電荷)表征其特性。在電介質中的場與電磁波輻射場等問題的分析中，電偶極子作為基本激勵單元具有實際應用價值。僅考慮r>>d的情況，現采用球坐標系，設原點在電偶極子的中心，z軸與d相重。應用疊加原理，任意點的電位為當r很大時，r1、r2和r三者將近乎平行，此時r2

r1dcos，r1r2r2代入上式，得第22頁，課件共68頁，創作于2023年2月應用球坐標系中的梯度公式，得任意點的電場強度為

可見，電偶極子的電位與距離平方成反比，電場強度的大小與距離的三次方成反比。此外，其電位或電場強度均與方位角

相關。

第23頁，課件共68頁，創作于2023年2月2.2.4電力線和等位面（線）

電力線(E線)的概念是法拉第提出的，是用圖形描繪電場分布的有效工具之一。E線定義為其上任一點的切線方向應與該點電場強度方向相一致，即

E

dl=0

在直角坐標系下，有

可得E線的微分方程為

上式便是E線的微分方程，而該微分方程的解答就是描繪E線的函數關系式。通常，E線的函數關系式可一般性地記為(x,y,z)=C，取不同的C值，即可獲得一系列E線的分布，從而直觀地描繪了電場場強E(r)的空間分布。第24頁，課件共68頁，創作于2023年2月等位面是用圖形描繪電場分布的另一種有效工具。根據電場強度的定義，等位面分布愈密，該處電場場強愈高，且電力線與等位面正交。

利用本節例3的結果，可以畫出電偶極子遠區的等電位線和電力線場圖。電偶極子遠區電位分布為可得等位線方程為

r2=k1cos取決于不同的k1值，畫出不同的等位線。在0

</2范圍內，

>0；而在/2<

時，

<0，其等位線關于

=/2呈鏡象對稱。基于電偶極子電場的軸對稱性，將等位線繞z軸旋轉便得空間三維的等位面分布，其中z=0(即

=/2)的平面為零電位面。由利用球坐標系微元關系式，得E線的微分方程為第25頁，課件共68頁，創作于2023年2月代入電偶極子遠區電場強度的Er和E分量，得

=〉解得lnr=2ln(sin)+lnk2可得E線等位線方程為r=k2sin2z＋－圖電偶極子遠區場圖取不同的k2值，可畫出不同的電力線(E線)。下圖畫出了電偶極子遠區場圖。第26頁，課件共68頁，創作于2023年2月2.3導體和電介質1．導體

導體內部E=0，是一個等位體，導體表面必與其外側的電力線正交，電荷以面電荷密度的形式分布在導體表面，且其分布密度取決于導體表面的曲率。第27頁，課件共68頁，創作于2023年2月2．電介質的極化

極化現象：束縛電荷在外電場作用下的響應。含位移極化和取向極化。無論哪種極化現象，其結果均使束縛電荷的分布發生變化，導致極化電場。極化電場與外電場相疊加，便形成有電介質存在時的合成電場。電極化強度矢量：極化后形成的每單位體積內電偶極矩的矢量和，即

(C/m2)

實驗結果表明，大多數電介質的電極化強度P與電介質中的合成電場強度E成正比，即P=e0E式中，e稱為電介質的電極化率，它是一個無量綱的正實數。第28頁，課件共68頁，創作于2023年2月介質的分類：當電極化率與電場方向無關時，稱為各向同性介質，否則，稱為各向異性介質；當電極化率為常數時，稱為均勻介質，否則為非均勻介質；當電極化率的值不隨電場強度的量值變化，稱為線性介質，反之為非線性介質。圖電介質的極化電場(b)束縛電荷建立的電場(a)束縛電荷分布的示意圖束縛電荷（極化電荷）密度：第29頁，課件共68頁，創作于2023年2月設圖示中V內的電極化強度為P(r)，則體積元dV內的等效電偶極子的電偶極矩為∑p=P(r)dV，它在遠區P點處產生的電位為由于

因此，體積V內所有電偶極矩在P點產生的合成電位為又由矢量恒等式得第30頁，課件共68頁，創作于2023年2月可以看出，面積分中的(P

en)相當于一種面電荷密度，體積分中的(-P)相當于一種體電荷密度。由此，定義極化電荷的面密度與體密度分別為P

=PenP=-▽P顯然，均勻介質其內部無極化電荷分布，P

=0，極化電荷只出現在介質的表面上。此外，介質極化后整體極化電荷分布的總和應等于零，即極化電荷在真空中所產生的極化電場：第31頁，課件共68頁，創作于2023年2月2.4電介質中的電場

2.4.1電位移矢量由高斯定理，得整理得

▽(0E+P)=

定義電位移矢量：D=0E+P=0(1+e)E=

E

其中，

=0(1+e)=r0，r

=

/0

=(1+e)第32頁，課件共68頁，創作于2023年2月2.4.2介電常數

上式分別給出了介質的介電常數和相對介電常數。從而電介質中電場問題可簡潔地歸結為場量D、E或位函數

的定解問題。

例1：同軸電纜其長度L遠大于截面半徑，已知內、外導體半徑分別為a和b。其間充滿介電常數為的介質，將該電纜的內外導體與直流電壓源U0相聯接。試求：(1)介質中的電場強度E；(2)介質中Emax位于哪里？其值多大？圖同軸電纜的電場第33頁，課件共68頁，創作于2023年2月圖同軸電纜的電場[解]：（1）設內、外導體沿軸線方向線電荷密度分別為+

和-。由應用高斯定理，得即

所以

(a<<b)

又因為

則得

(a<<b)(2)最大場強位于內導體表面(

=a)，其值為第34頁，課件共68頁，創作于2023年2月例2一理想的平板電容器由直流電壓源U充電后又斷開電源，然后在兩極板間插入一厚度等于d的均勻介質板，其相對介電常數εr=6忽略極板的邊緣效應，試求：(1)插入介質板前后平行板間各點的電場強度E、電位移矢量D和電位以及極板上的電荷分布；(2)介質板表面和內部的極化電荷分布解(1)此問題是典型的平行平面場問題，故在插入介質板前的電場強度為：電位移矢量取負極板的電位為零，則板間任一點的電位為：第35頁，課件共68頁，創作于2023年2月根據高斯定理，做一圓柱形高斯面S，則：因而得插入介質板后，電容器的電荷保持不變，則：得而電場強度為：則板間任一點的電位為：第36頁，課件共68頁，創作于2023年2月(2)介質極化，可得介質中的極化強度為：故可得介質板上下兩端面上極化電荷面密度為：而介質板中極化電荷的體密度為：故合成電場是自由電荷與極化電荷共同在真空中產生效應的疊加，即第37頁，課件共68頁，創作于2023年2月圖E切向分量的邊界條件2.4.3邊界條件

介質分界面上的邊界條件：

跨越分界面的一狹小的矩形回路l如圖所示，且令l2→0而l1足夠地短。求電場強度在l上的環量，有即

E1t=E2t

或

en(E2-E1)=0

上式表明，在介質分界面上電場強度的切向分量是連續的。第38頁，課件共68頁，創作于2023年2月圖D法向分量的邊界條件跨越分界面的一個扁平圓柱體S如圖所示，令兩個底面S足夠小且平行于分界面，圓柱面高度l→0。求電位移矢量在圓柱面的通量，有式中分界面上法線方向單位矢量en規定為由介質1指向介質2，

是分界面上可能存在的自由電荷面密度。從而得D2n-D1n=

或en(D2

-D1

)=

一般兩種介質分界面上不存在自由電荷(=0)，此時有D1n

=D2n

或en(D2

-D1

)=0上式表明，在介質分界面上電位移矢量的法向分量是連續的。第39頁，課件共68頁，創作于2023年2月對于兩種線性且各向同性介質，應用上述邊界條件，得E1sin1

=E2sin2，1E1cos1

=2E2cos2兩式相除，得上式綜合表述了場量在介質分界面上遵循的物理規律，稱為靜電場的折射定律。

圖E切向分量的邊界條件第40頁，課件共68頁，創作于2023年2月導體表面上的邊界條件：設導體為媒質1、導體外介質為媒質2，并考慮到導體內部電場強度和電位移矢量均為零且其電荷只能分布在導體表面，得

E1t=E2t

=0，D2n-D1n=D2n

=式中，

是導體表面的電荷面密度。上式說明在導體表面相鄰處的電場強度E和電位移D都垂直于導體表面，且電位移的量值等于該點的電荷面密度(需注意en是導體表面的外法線單位矢量）。一般寫為

Et

=0或

enE=0；

Dn

=

或enD=第41頁，課件共68頁，創作于2023年2月4．邊界條件的電位表達介質分界面：由于介質分界面上E1t=E2t，顯然可以得出

1=2即電位在介質分界面上是連續的。又由于D2n-D1n=

和最后可以得出，邊界條件的電位表示為1=2，

導體表面上的邊界條件：

=C

，式中，C是由所論靜電場導體系統決定的常數。

第42頁，課件共68頁，創作于2023年2月圖平板電容器例2：圖示平行板電容器，其極板間介質由兩種絕緣材料組成，介質的分界面與極板平行。設電容器外施電壓為U0，試求：(1)兩絕緣材料中的電場強度；(2)極板上的電荷面密度。

[解]：(1)在電壓U0下，并應用分界面的邊界條件，得

(2)極板A上的電荷面密度為

極板B上的電荷面密度為

=-D2n=-2E2

=-

第43頁，課件共68頁，創作于2023年2月

討論：本例中，設r2r1，則E1E2。在實際中，如果因制造工藝上的不完善性，使極板與絕緣材料間留有一空氣層，設絕緣材料的相對介電常數為r2，則空氣層中電場強度E1將為絕緣材料中電場強度E2的r2倍，這很容易由于空氣層被擊穿而導致電容器的損壞。第44頁，課件共68頁，創作于2023年2月2.5邊值問題1．泛定方程

由

D=、D=E

，得

D=

E

=

E+E

=

對于均勻介質

為常數，得2

=-/上式稱為電位

的泊松方程，式中稱為拉普拉斯算子，在直角坐標系中

對于場中無自由電荷分布(

=0)的區域，泊松方程退化為拉普拉斯方程，即2

=0E=-由于，第45頁，課件共68頁，創作于2023年2月2．邊界條件

第一類邊界條件（狄利赫萊條件）：場域邊界S上的電位分布已知，即式中rb為相應邊界點的位置矢量。它與泛定方程構成第一類邊值問題。第二類邊界條件（紐曼條件）：場域邊界S上電位的法向導數分布已知，即當f2(rb)取零時，稱為第二類齊次邊界條件。它與泛定方程構成第二類邊值問題。第46頁，課件共68頁，創作于2023年2月第三類邊界條件（混合條件）：場域邊界S上電位及其法向導數的線性組合已知，即它與泛定方程構成第三類邊值問題。無限遠邊界條件：對于電荷分布在有限域的無邊界電場問題，在無限遠處有即電位

在無限遠處趨于零，(r)|r→=

0第47頁，課件共68頁，創作于2023年2月靜電場邊值問題：就是在給定的邊界條件下，求解滿足泊松方程或拉普拉斯方程的電位函數。介質分界面條件：當場域中存在多種媒質時，還必須引入不同介質分界面上的邊界條件，常稱為輔助的邊界條件。第48頁，課件共68頁，創作于2023年2月2.5.2直接積分法

對于一些具有對稱結構的靜電場問題，電位函數僅是一個坐標變量的函數。靜電場邊值問題可歸結為常微分方程的定解問題。這時可以直接積分求解電位函數。例1：圖示二塊半無限大導電平板構成夾角為的電極系統。設板間電壓為U0，試求導電平板間電場。圖角形電極系統[解]：本例為平行平面場問題，選極坐標系進行分析。顯然電位僅是變量的函數，可以寫出如下的第一類邊值問題：第49頁，課件共68頁，創作于2023年2月由給定的兩個邊界條件，得將泛定方程直接積分二次，得通解為=C1+C2

，C2=0所以

第50頁，課件共68頁，創作于2023年2月例2：求真空中球狀分布電荷所產生的空間電場強度和電位分布，設電荷體密度為[解]：設球狀電荷分布內、外的電位分別為

1和

2，顯然，

1滿足泊松方程，

2滿足拉普拉斯方程。由于電荷分布的球對稱性，選球坐標系，有

(0<r

a)

(r

a)

可解得

1和

2的通解為第51頁，課件共68頁，創作于2023年2月代入邊界條件，得C1=0，C4=0，C2=，C3=最終得電位函數的解為

(r

a)

(r

a)利用球坐標系中的梯度表達式，求得

(r

a)

(r

a)可見，以上結果與應用高斯定理求得的結果完全一致。邊界條件為第52頁，課件共68頁，創作于2023年2月2.5.3分離變量法

基本思路：當待求電位函數是二個或三個坐標變量的函數時，分離變量法是直接求解偏微分方程定解問題的一種經典方法。對于拉普拉斯方程對應的邊值問題，其步驟是：首先，結合場域邊界形狀，選用適當的坐標系；其次，設待求電位函數由兩個或三個各自僅含一個坐標變量的函數乘積組成，并代入拉普拉斯方程，借助于“分離”常數，將拉普拉斯方程轉換為兩個或三個常微分方程；第三，解這些常微分方程并以給定的定解條件決定其中的待定常數和函數后，即可解得待求的電位函數。一般而言，當場域邊界和某一正交曲線坐標系的坐標面相吻合時，分離變量法往往是一種簡便而有效的方法。第53頁，課件共68頁，創作于2023年2月直角坐標系中的平行平面場問題：設電位函數為(x，y)，滿足拉普拉斯方程：(x，y)=X(x)Y(y)設電位函數有分離變量形式，即代入拉普拉斯方程，整理得

顯然，上式兩邊在x和y取任意值時恒成立，即等式兩邊應該恒為同一常數。記該常數(常稱為分離常數)為，這樣，上式即轉化為兩個常微分方程。第54頁，課件共68頁，創作于2023年2月式中，分離常數可取0、mn2

>0和-mn2

<0，可分別得出如下三種形式的解，即當=0時 X(x)=A10+A20x； Y(y)=B10+B20y

當=mn2>0時X(x)=A1ncosh(mnx)

+A2nsinh(mnx)；Y(y)=B1ncos(mny)

+B2nsin(mny)當=-mn2

<0時 X(x)=A1ncos(mnx)

+A2nsin(mnx)；

Y(y)=B1ncosh(mny)

+B2nsinh(mny)當mn取不同值時，上述解的線性組合便構成了拉普拉斯方程的通解，即第55頁，課件共68頁，創作于2023年2月最后，可根據給定的定解條件，通過傅里葉級數展開方法，確定各個待定常數。第56頁，課件共68頁，創作于2023年2月例3：長直接地金屬槽的橫截面如圖所示，其側壁與底面電位均為零，頂蓋電位為0。求槽內電位分布。

[解]：依題意，本問題為第一類邊值問題，即圖接地金屬槽的橫截面0.800.600.400.20

=0

=0

=0

=0yoxab由于電位函數在x方向具有周期性、在y方向具有單調性，得A1n=0和A2n=0。通解為

第57頁，課件共68頁，創作于2023年2月由邊界條件，當x=0和y=0時，

=0，得A10=0，A1n=0，B10=0，B1n=0

即又因為當x=a時，

=0，得C0=0，

,(n=1,2,3,)

故得

最后，當y=b時，

=0

，代入上式，有

第58頁，課件共68頁，創作于2023年2月作傅里葉正弦級數展開，積分，得

又上式，得本問題的電位函數解答為本問題的等位線的分布如圖虛線所示。

圖接地金屬槽的橫截面0.800.600.400.20

=0

=0

=0

=0yoxab第59頁，課件共68頁，創作于2023年2月圓柱坐標系中的平行平面場問題：設電位函數為(，)，滿足拉普拉斯方程：令電位函數為(，)=R()Q()，代入上式，并理得式中n2為分離常數，上式轉化為下列兩個常微分方程：第60頁，課件共68頁，創作于2023年2月當n＝0時 R()=A10+A20ln

；Q()=B10+B20

當n

0時R()=A1nn

+A2n-n；Q()=B1ncos(n)

+B2nsin(n)

得電位函數的通解為由給定的邊界條件，即可確定上式中的各個待定常數，最終得到待求的電位函數。第61頁，課件共68頁，創作于2023年2月圖均勻外電場中的介質圓柱體例4：一個橫截面半徑為a，介電常數為1的長直介質圓柱體放置在均勻的外電中(場強為E0，方向與介質圓柱的軸線相垂直)，介質外的介電常數為2，如圖所示。求圓柱體放入后，場域中的電位和電場強度。[解]：采用圓柱坐標系，且令z軸與圓柱軸重合，外電場方向與x軸同向，如圖所示。分別以

1和

2表示圓柱內外的電位函數。首先，確定定解條件。選坐標原點為電位參考點，即

1=0，

=0

因而，均勻外電場E0=E0ex對應的電位函數為0=-xE0=-E0cos顯然，當時介質圓柱體產生的極化電場應當消失，在處的電位應與均勻外電場對應的電位0相一致，即2

=0

=-E0cos

，第62頁，課件共68頁，創作于2023年2月1=2在圓柱表面

=a處，介質分界面的邊界條件為由本例圖示可以看出，電場分布關于x軸對稱，即(,)=

(,-)，這意味著特解Q()是偶函數，所以，B10=

B20=B2n=0。另外，根據場的對稱性可以推知，y軸是電位等于零的等位線，即(，/2)＝0，也就是A10=A20=0,B1ncos(n/2)=0可