隨機過程及其統計描述第1頁，課件共52頁，創作于2023年2月2

關鍵詞：

隨機過程 狀態和狀態空間 樣本函數 有限維分布函數 均值函數 方差函數 自相關函數 自協方差函數 互相關函數 互協方差函數 正態過程 獨立增量過程泊松過程維納過程第十章隨機過程及其統計描述第2頁，課件共52頁，創作于2023年2月

信號是個隨時間、空間、或其它某個參量變化的，攜帶某種信息的物理量。通常遇到最多的是時間信號，是隨時間變化的物理量。因此，人們用統計學方法建立隨機信號的數學模型→隨機過程。第3頁，課件共52頁，創作于2023年2月

下面由一個試驗實例來建立隨機過程的概念。舉例：在相同條件下，對同一雷達接收機的內部噪聲電壓（或電流）經過大量的重復測試后，設觀測到的所有的可能結果有m種，記錄下m個不相同的波形。S第4頁，課件共52頁，創作于2023年2月定義：這里對每一個tT,X(t)是一隨機變量.T叫做參數集.常把t看作為時間,稱X(t)為時刻t時過程的狀態,而X(t1)=x(實數)說成是t=t1時過程處于狀態x,對于一切tT,X(t)所有可能取的一切值的全體稱為隨機過程的狀態空間.第5頁，課件共52頁，創作于2023年2月t固定，變化：X(ti,ζ)隨機變量（狀態）。

t固定，

固定：X(ti,ζk)一個確定的值。

t變化，固定：X(t,ζk)確定的時間函數(隨機過程的樣本函數）

t變化，變化：X(t,ζ

)隨機過程（一族時間函數的總體，

或隨時間變化的隨機變量）下標i和k，分別表示確定的某個時刻i和確定的某個樣本k。對隨機過程而言：一般，隨機變量寫成:X,Y,Z。隨機過程寫成:X(t),Y(t),Z(t)

樣本函數寫成:x(t),y(t),z(t)或X1(t)……Xn(t)

第6頁，課件共52頁，創作于2023年2月7

例1：拋擲一枚硬幣的試驗，樣本空間是S={H,T}，現定義：1234第7頁，課件共52頁，創作于2023年2月8

第8頁，課件共52頁，創作于2023年2月9

第9頁，課件共52頁，創作于2023年2月10

第10頁，課件共52頁，創作于2023年2月

例5：考慮拋擲一顆骰子的試驗：第11頁，課件共52頁，創作于2023年2月12隨機過程的分類：隨機過程可根據參數集T和任一時刻的狀態分為四類，參數集T可分為離散集和連續集兩種情況，任一時刻的狀態分別為離散型隨機變量和連續型隨機變量兩種：連續參數連續型的隨機過程，如例2，例3連續參數離散型的隨機過程，如例1，例4離散參數離散型的隨機過程，如例5離散參數連續型的隨機過程，第12頁，課件共52頁，創作于2023年2月13§2隨機過程的統計描述一維分布函數族刻畫了隨機過程在各個個別時刻的統計特性。第13頁，課件共52頁，創作于2023年2月科爾莫戈羅夫定理：為了描述隨機過程在不同時刻狀態之間的統計聯系,第14頁，課件共52頁，創作于2023年2月15

例1：拋擲一枚硬幣的試驗，定義一隨機過程：第15頁，課件共52頁，創作于2023年2月16

第16頁，課件共52頁，創作于2023年2月

隨機過程的數字特征一、數學期望如果將過程X(t)中的

t

看成是固定的，則

X(t)就是一個隨機變量，它隨機的取值x，其在

t

時刻取x值的概率密度為

。據期望的定義：mX(t)

描述了X(t)所有樣本函數在各個時刻擺動的中心－－即X(t)在各個時刻的狀態(隨機變量)的數學期望。第17頁，課件共52頁，創作于2023年2月

二、隨機過程X(t)的均方值和方差同理，把過程X(t)中的t視為固定時，

X(t)為時刻t的狀態（隨機變量）。其二階原點矩：將t視為變量時，即為過程X(t)的均方值。同理，過程X(t)的方差：過程X(t)的均方差：第18頁，課件共52頁，創作于2023年2月故離散型隨機過程Y(t)的數學期望為：對離散型隨機過程Y(t),t∈T.若所有狀態取值的樣本空間為S＝{y1,y2,…,ym}。均方值為：方差為：表示狀態Y(t)取t時刻值為yi的概率。第19頁，課件共52頁，創作于2023年2月三、隨機過程的自相關函數下面兩個隨機過程

X(t)，

Y(t)它們的期望和方差都相同，mx(t)=mY(t)，x(t)=Y(t)。但從樣本函數看有明顯不同。x

(t)隨時間變化慢，不同時刻的兩個狀態X(t1),X(t2)之間的依賴性強（相關性強）。y(t)隨時間變化快，不同時刻的兩個狀態Y(t1),Y(t2)之間的依賴性弱（相關性弱）。因此期望和方差不能反應過程內部變化快慢、相關性強弱的狀況。第20頁，課件共52頁，創作于2023年2月一般用來描述隨機過程“任意兩個時刻的兩個狀態之間內在聯系”的重要數字特征

——自相關函數定義為：它反應了任意兩個時刻的狀態X(t1)與X(t2)之間的“相關程度”。

·狀態X(t1)與X(t2)之間的相關程度也可以用自協方差函數來描述：第21頁，課件共52頁，創作于2023年2月隨機過程的自相關系數定義為：注：隨機過程的期望、方差、自相關函數、協方差函數、自相關系數等存在的條件是：以后，所有例題都滿足上述兩個條件，不必再去驗證第22頁，課件共52頁，創作于2023年2月23第23頁，課件共52頁，創作于2023年2月24

~~第24頁，課件共52頁，創作于2023年2月25

第25頁，課件共52頁，創作于2023年2月26求它的均值函數和自相關函數。第26頁，課件共52頁，創作于2023年2月27(三)二維隨機過程的分布函數和數字特征第27頁，課件共52頁，創作于2023年2月28第28頁，課件共52頁，創作于2023年2月29

第29頁，課件共52頁，創作于2023年2月30§3泊松過程及維納過程第30頁，課件共52頁，創作于2023年2月31

獨立增量過程的性質：第31頁，課件共52頁，創作于2023年2月32綜上可得:第32頁，課件共52頁，創作于2023年2月第33頁，課件共52頁，創作于2023年2月(1)第34頁，課件共52頁，創作于2023年2月第35頁，課件共52頁，創作于2023年2月第36頁，課件共52頁，創作于2023年2月第37頁，課件共52頁，創作于2023年2月（4）協方差函數第38頁，課件共52頁，創作于2023年2月第39頁，課件共52頁，創作于2023年2月40若N(t)是強度為λ的泊松流，則增量的概率分布為：特別地，當t0=0時：第40頁，課件共52頁，創作于2023年2月如果強度l非均勻,即l是時間的函數l=l(t),t0.則稱泊松過程為非齊次的.對于非齊次泊松過程,用類似的方法,可得第41頁，課件共52頁，創作于2023年2月42第42頁，課件共52頁，創作于2023年2月等待時間及其概率分布

在較多的實際問題中,通常對質點的觀察,不是對時間間隔(t1,t2]中出現的質點計數,而是對記錄到某一預定數量的質點所需要的時間進行計時.例如,為研究含某種放射性元素的物質,常對它發射出來的粒子作計時試驗.

一般,設質點(或事件)依次重復出現的時刻

t1,t2,...,tn,...

是一強度為l的泊松流,{N(t),t0}為相應的泊松過程.第43頁，課件共52頁，創作于2023年2月以慣用記號記

W0=0,Wn=tn,n=1,2,....

Wn是一隨機變量,表示第n個質點(或事件第n次)出現的等待時間.如下圖所示.T1T2TkOW1W2Wk-1Wkt第44頁，課件共52頁，創作于2023年2月45第45頁，課件共52頁，創作于2023年2月點間間距及其概率分布

記Ti=Wi-Wi-1,i=1,2,...它也是一個連續型隨機變量,稱為相繼出現的第i-1個質點和第i個質點的點間間距.第46頁，課件共52頁，創作于2023年2月47點間間距及其概率分布

記Ti=Wi-Wi-1,i=1,2,...它也是一個連續型隨機變量,稱為相繼出現的第i-1個質點和第i個質點的點間間距.第47頁，課件共52頁，創作于2023年2月48

定理一：強度為λ的泊松流(泊松過程)的點間間距是相互獨立的隨 機變量，且服從同一指數分布定理二：如果任意相繼出現的兩個質點的點間間距是相互獨立， 且服從同一個指數分布：

這兩個定理刻畫出了泊松過程的特征，定理二告訴我們，要確定一個計數過程是不是泊松過程，只要用統計方法檢驗點間間距是否獨立，且服從同一個指數分布。則質點流構成強度為λ的泊松過程第48頁，課件共52頁，創作于2023年2月49(二)維納過程維納過程是布朗運動的數學模型以W(t)表示運動中一微粒從時刻t=0到時刻t>0的位移的橫坐標，且設W(0)=0。由于微粒的運動是受到大量隨機的、相互獨立的分子碰撞的結果，于是:

粒子在時段(s,t]上的位移可看作是許多微小位移的