2022年山東省濟寧市時莊中學高三數學理知識點試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設定義域為（0，+∞）的單調函數f（x），對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=e的一個解，則x0可能存在的區間是（）A．（0，1） B．（e﹣1，1） C．（0，e﹣1） D．（1，e）參考答案：D【考點】函數零點的判定定理；導數的運算．【專題】函數的性質及應用．【分析】由題意知：f（x）﹣lnx為常數，令f（x）﹣lnx=k（常數），則f（x）=lnx+k．由f[f（x）﹣lnx]=e+1，得f（k）=e+1，又f（k）=lnk+k=e+1，所以f（x）=lnx+e，再用零點存在定理驗證，【解答】解：由題意知：f（x）﹣lnx為常數，令f（x）﹣lnx=k（常數），則f（x）=lnx+k．由f[f（x）﹣lnx]=e+1，得f（k）=e+1，又f（k）=lnk+k=e+1，所以f（x）=lnx+e，f′（x）=，x＞0．∴f（x）﹣f′（x）=lnx﹣+e，令g（x）=lnx﹣+﹣e=lnx﹣，x∈（0，+∞）可判斷：g（x）=lnx﹣，x∈（0，+∞）上單調遞增，g（1）=﹣1，g（e）=1﹣＞0，∴x0∈（1，e），g（x0）=0，∴x0是方程f（x）﹣f′（x）=e的一個解，則x0可能存在的區間是（1，e）故選：D．【點評】本題考查了函數的單調性，零點的判斷，構造思想，屬于中檔題．2.已知是虛數單位，若復數是純虛數，則實數等于A．

B．

C．

D．

參考答案：A，要使復數為純虛數，所以有，解得，選A.3.若為虛數單位，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D試題分析：.故選D．考點：復數的運算．4.從一群游戲的孩子中隨機抽出k人，每人分一個蘋果，讓他們返回繼續游戲。過一會兒，再從中任取m人，發現其中有n個孩子曾分過蘋果，估計參加游戲的孩子的人數為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B5.已知橢圓，為左、右焦點，、、、分別是其左、右、上、下頂點，直線交直線于點，若為直角，則此橢圓的離心率為A．

B．

C．

D．參考答案：B略6.直線與曲線

的公共點的個數為(A)1

(B)2

(C)3

(D)4參考答案：答案：D解析:將代入得：，顯然該關于的方程有兩正解，即x有四解，所以交點有4個，故選擇答案D。7.點且與雙曲線只有一個交點的直線有A.1條

B.2條

C.3條

D.4條參考答案：D8.設集合≤x≤2},B=,則=（）

A.［1,2］

B.［0,2］

C.［1,4］

D.［0,4］參考答案：B9.在中，“”是“為鈍角三角形”的（

）A．充分必要條件

B．必要不充分條件

C．充分不必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A試題分析：由題設條件可知中必有一個是負數,即三個內角中必有一個是鈍角,所以是鈍角三角形,是充分條件;反之,若三角形是鈍角三角形,則的積必為負數,即是必要條件,應選答案A.考點：解三角形．【易錯點晴】本題以解三角形的問題的形式為背景，考查的是充分必要條件的有關知識及推理判斷的能力.解答好本題的關鍵是搞清楚鈍角三角形的概念是什么?其外延是什么?其實鈍角三角形的概念是有一個內角是鈍角即可了.解答這個問題的過程中常常會出現三個內角都是鈍角的錯誤,將銳角三角形的概念和鈍角三角形的概念混淆在一起,從而誤判得出不正確的答案.10.設雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左右頂點分別為A1，A2，左右焦點分別為F1，F2，以F1F2為直徑的圓與雙曲線左支的一個交點為P，若以A1A2為直徑的圓與PF2相切，則雙曲線C的離心率為（）A． B．C．2 D．參考答案：B【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】根據雙曲線的定義和以及圓的有關性質可得PF1=2a，PF2=4a，再根據勾股定理得到a，c的關系式，即可求出離心率．【解答】解：如圖所示，由題意可得OQ∥F1P，OQ=OA2=a，OF2=C，F1F2=2c，∴==，∴PF1=2a，∵點P為雙曲線左支的一個點，∴PF2﹣PF1=2a，∴PF2=4a，∵以F1F2為直徑的圓與雙曲線左支的一個交點為P，∴∠F1PF2=90°∴（2a）2+（4a）2=（2c）2，∴=3，∴e==，故選：B【點評】此題要求學生掌握定義：到兩個定點的距離之差等于|2a|的點所組成的圖形即為雙曲線．考查了數形結合思想、本題凸顯解析幾何的特點：“數研究形，形助數”，利用幾何性質可尋求到簡化問題的捷徑．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.現有7名志愿者，其中只會俄語的有3人，既會俄語又會英語的有4人.從中選出4人擔任“一帶一路”峰會開幕式翻譯工作，2人擔任英語翻譯，2人擔任俄語翻譯，共有

種不同的選法.參考答案：6012.對于函數f（x），方程f（x）=x的解稱為f（x）的不動點，方程f[f（x）]=x的解稱為f（x）的穩定點．①設函數f（x）的不動點的集合為M，穩定點的集合為N，則M?N；②函數f（x）的穩定點可能有無數個；③當f（x）在定義域上單調遞增時，若x0是f（x）的穩定點，則x0是f（x）的不動點；上述三個命題中，所有真命題的序號是

．參考答案：①②③【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】若M=?，則M?N顯然成立；若M≠?，由t∈M，證明t∈N，說明①正確；舉例說明②正確；利用反證法說明③正確．【解答】解：①若M=?，則M?N顯然成立；

若M≠?，設t∈M，則f（t）=t，f（f（t））=f（t）=t，∴t∈N，故M?N，∴①正確；②取f（x）=x，則方程f（x）=x的解有無數個，即不動點有無數個，∵不動點一定是穩定點，∴函數f（x）的穩定點可能有無數個，故②正確；③設x0是f（x）的穩定點，則f（f（x0））=x0，設f（x0）＞x0，f（x）是R上的增函數，則f（f（x0））＞f（x0），∴x0＞f（x0），矛盾；若x0＞f（x0），f（x）是R上的增函數，則f（x0）＞f（f（x0）），∴f（x0）＞x0矛盾．故f（x0）=x0，∴x0是函數f（x）的不動點，故③正確．∴正確命題的序號是①②③．故答案為：①②③．13.已知函數有兩個零點，則實數b的取值范圍是

.參考答案：(0,2)；14.設

參考答案：8略15.已知函數則

.參考答案：4.16.如圖所示，邊長為1的正三角形ABC中，點M，N分別在線段AB，AC上，將沿線段MN進行翻折，得到右圖所示的圖形，翻折后的點A在線段BC上，則線段AM的最小值為_______．參考答案：【分析】設，，在中利用正弦定理得出關于的函數，從而可得的最小值．【詳解】解：設，，則，，∴，在中，由正弦定理可得，即，∴，∴當即時，取得最小值．故答案為：．【點睛】本題考查正弦定理解三角形的應用，屬中檔題．17.的展開式中，常數項為，則

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在一次數學考試中，從甲、乙兩個班級各抽取10名同學成績進行統計分析，兩班成績的莖葉圖如圖4所示，成績不小于90分為及格。

（1）從每班抽取的同學中各抽取一人，求至少有一人及格的概率；

（2）從甲班10人中抽取一人，乙班10人中抽取兩人，三人中及格人數記為X，求X的分布列和期望。參考答案：19.(本題滿分13分)

某旅游景區的觀景臺P位于高為的山峰上(即山頂到山腳水平面M的垂直高度)，山腳下有一段位于水平線上筆直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且為以為底邊的等腰三角形.山坡面與山腳所在水平面M所成的二面角為，且.現從山腳的水平公路AB某處C0開始修建一條盤山公路，該公路的第一段,第二段,第三段,…,第n－1段依次為C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn－1Cn(如圖所示)，C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn－1Cn與AB所成的角均為，且.（1）問每修建盤山公路多少米，垂直高度就能升高100米?若修建盤山公路至半山腰(高度為山高的一半)，在半山腰的中心Q處修建上山纜車索道站，索道PQ依山而建(與山坡面平行，離坡面高度忽略不計)，問盤山公路的長度和索道的長度各是多少？（2）若修建盤山公路，其造價為萬元.修建索道的造價為萬元.問修建盤山公路至多高時，再修建上山索道至觀景臺，總造價最少?

參考答案：【知識點】函數模型及其應用B10(1)公路長為10xkm，索道長(2－x)km(2)高1km時，總造價最小，最小值為15a萬元.

(1)在盤山公路C0C1上任選一點D，作DE⊥平面M交平面M于E，過E作EF⊥AB交AB于F，連結DF，易知DF⊥C0F.sin∠DFE＝，sin∠DC0F＝.∵DF＝C0D，DE＝DF，∴DE＝C0D，所以盤山公路長度是山高的10倍，索道長是山高的倍，所以每修建盤山公路1000米，垂直高度升高100米.從山腳至半山腰，盤山公路為10km.從半山腰至山頂，索道長2.5km.

當x∈(0,1)時，y′＜0，函數y單調遞減；當x∈(1,2)時，y′>0，函數y單調遞增，∴x＝1，y有最小值，即修建盤山公路至山高1km時，總造價最小，最小值為15a萬元.

【思路點撥】根據函數關系求出山高，根據導數的單調性求出最小值。20.在中，角，，所對的邊分別為，，，且,.⑴求的值；⑵若，求的面積.參考答案：（1）在中，由，得為銳角，所以，所以，………………2分所以.………………4分

…………6分（2）在三角形中,由，所以，

………………8分由，…………10分由正弦定理,得，………12分所以的面積.…………14分21.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O為AC與BD的交點，E為棱PB上一點．（Ⅰ）證明：平面EAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱錐P﹣EAD的體積．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知得AC⊥PD，AC⊥BD，由此能證明平面EAC⊥平面PBD．（Ⅱ）由已知得PD∥OE，取AD中點H，連結BH，由此利用，能求出三棱錐P﹣EAD的體積．【解答】（Ⅰ）證明：∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PD．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．而AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，∴PD∥OE，∵O是BD中點，∴E是PB中點．取AD中點H，連結BH，∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，．∴==．22.如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分別是棱BC、CC1的中點．（Ⅰ）若線段AC上的點D滿足平面DEF∥平面ABC1，試確定點D的位置，并說明理由；（Ⅱ）證明：EF⊥A1C．參考答案：【考點】平面與平面平行的判定．【分析】（I）利用已知及面面平行的性質可得AB∥DE，由E是棱BC的中點，即可得D是線段AC的中點．（II）先證明A1C⊥AC1，又由（1）可得AB⊥A1C，可證A1C⊥面ABC1，即可證明A1C⊥BC1，又EF∥BC1，從而得證EF⊥A1C．【解答】（本題滿分為12分）解：（I）∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面