一國若想從最低級的野蠻狀態過渡到最高程度的豐饒，所需要的僅僅是和平、輕松的稅收和可以容忍的公正原則的執行，其他一切都可以從事物的自然進程中產生?！獊啴?斯密第一講索羅增長模型7/20/20231問題提出什么因素決定了經濟增長？經濟增長的一般趨勢是什么？為什么國家或地區之間存在著收入差異？窮國能否趕上富國？7/20/20232一、索羅模型簡評幾乎對所有有關增長的分析，索羅模型是起點。索羅模型的主要結論：長期人均產出惟一來源于技術進步；實物資本的積累既不能解釋不同時間上人均產出的巨大增長，也無法解釋地域上不同人均產出的巨大差距。主要缺陷：模型把收入差異的其他潛在來源或者當作外生，因而無法用模型解釋（如技術進步）；或者當作不存在（如資本產生正的外部性）。7/20/20233以后所介紹的增長模型都有相同的一般均衡結構：家庭擁有經濟中的所有投入和資產，家庭自主決策。企業雇傭投入品進行生產。家庭出售投入品，企業出售產品，形成市場。7/20/20234二、索羅模型的假設1、投入與產出索羅模型關注四個變量：產出Y、資本K、勞動L，以及知識或勞動的有效性A。生產函數：Y(t)=F(K(t),A(t)L(t))式中t表示時間。AL被稱為有效勞動。以勞動力增加的形式引入的技術進步被稱為勞動增加型技術進步，或者被稱為哈羅德中性。7/20/20235二、索羅模型的假設1、投入與產出思考：如果知識進入的形式不是Y=F(K,AL)（哈羅德中性），而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（?？怂怪行裕Y果會有何不同？可以證明只有勞動增進型技術進步被證明與穩態的存在相一致7/20/20236第一，每種投入的邊際產品為正且遞減。第二，規模報酬不變。F(λK,λAL)=λF(K,AL)第三，稻田條件：滿足這三個條件的生產函數被稱為新古典生產函數。因此，索羅增長模型又被稱為新古典增長模型。2、關于生產函數的假設7/20/20237根據規模報酬不變假設可以得到于是生產函數可以寫出以下集約形式（intensiveform)：y=f(k)其中y=Y/AL單位有效勞動的產出，k=K/AL單位有效勞動的資本模型的集約形式7/20/20238稻田條件意味著，在資本存量充分小時資本的邊際產出十分大，當資本存量很大時，其會變得很小。其作用在于確保經濟的路徑不發散。即根據假設1得到：假設的含義7/20/20239邊際產出資本的邊際產出有效勞動的邊際產出勞動的邊際產出如果市場是完全競爭的，并且不存在外部性，資本獲得其邊際產出每單位有效勞動的資本獲得的總產出是kf’(k)7/20/202310曲線的斜率即為資本的邊際產出。遞減的斜率反映了遞減的資本邊際報酬。（假定外生不變的儲蓄率s，c表示消費）kf(k)0新古典生產函數f(k)sf(k)f(k)sf(k)c圖形表示7/20/202311資本、勞動和知識的存量隨時間的變化而變化。瞬時增長率的定義：勞動增長率為n：技術進步率為g：t時勞動力：t時技術存量：產出在消費和投資之間分割，那么儲蓄等于投資。儲蓄率s為外生且不變，資本折舊率為δ。資本變化＝投資－折舊。3、生產投入的演化7/20/202312三、模型的動態學1、k的動態學在索羅模型中，勞動和技術是外生的，因此，我們重點分析資本的變化。單位有效勞動資本存量的變化：每單位有效勞動的實際投資有效折舊：為保持k在現有水平所必須進行的投資。k增加k下降k不變7/20/2023132、穩態穩態：如果所有變量都以某一固定不變的速度增長或者均為零增長的狀況，即平衡增長（balancedgrowth):如果各主要的總量指標彼此間保持相同的比例，這樣的經濟增長成為平衡增長。在我們討論的大多數增長模型中，穩定狀態的路徑也是平衡增長的路徑。7/20/2023142、穩態單位有效勞動資本存量的變化：kf(k)f(k)sf(k)(n＋g+δ)kk*A索洛－斯旺模型在A點，實際投資與有效折舊相等，資本存量不變，經濟達到穩態：單位有效勞動的k*,y*,c*固定不變。消費為：c*＝f(k*)-sf(k*)=f(k*)-(n+g+δ）k*7/20/2023152、穩態穩態均衡圖示因為k*

k

k*

k

7/20/2023163、穩態時的增長：平衡增長在穩態，k收斂于k*，單位有效勞動的產出也不變：根據單位有效工人產出的定義可以計算出總產出的增長速度：同樣方法可以計算出每個工人的產出Y/L、人均資本K/L和人均消費C/L具有相同的增長率：g。資本增長率消費C=（1-s）Y，因此，消費和產出具有相同的增長率，等于n+g。結論：索羅模型意味著，無論起點在何處，經濟總會收斂于一個平衡增長路徑：模型中的每個變量都以一個不變的速率增長。7/20/2023173、穩態時的增長：平衡增長當k=k*時，模型中的各個變量將如何變動？變量含義平衡增長速度備注證明絕對量K資本存量n+gk=K/ALL勞動力nA知識或技術gAL有效勞動n+gY總產出n+gF(cK,cAL)=cF(K,AL)C總消費n+gC=(1-s)Y相對量k(Y/AL)有效勞動的平均資本0K/L人均資本gy(Y/AL)有效勞動的人均產出0y=f(k)=Y/ALY/L人均產出gc(Y/AL)有效勞動的人均消費0c=(1-s)f(k)C/L人均消費gK/Y資本產出比07/20/202318四、儲蓄率變化的影響下面考察政策控制變量s的變動的影響:對穩態均衡的影響；兩個穩態均衡之間的動態路徑；對長期增長的影響程度；對長期增長的影響持續時間。7/20/202319四、儲蓄率變化的影響f(k)kf(k)s1f(k)(n+g+δ)kk1*y1*s2f(k)k2*y2*儲蓄率上升意味著更多的資源用于投資，實際投資線向上移動。導致實際投資大于有效折舊，因此，k持續上升到新的穩態值（不是立即跳躍到）。k1*k2*k1．儲蓄率變化的比較靜態均衡

7/20/202320四、儲蓄率變化的影響2．儲蓄率變化的動態影響

(1)對k的影響：先增加，并逐步收斂于新的更高水平。kt7/20/202321四、儲蓄率變化的影響2．儲蓄率變化的動態影響

(2)對Y/L的影響：先暫時性的增加，但隨后收斂于原來的平衡增長速度。

Y/L增長率t7/20/202322四、儲蓄率變化的影響(2)對Y/L的影響：先暫時性的增加，但隨后收斂于原來的平衡增長速度。

ln(Y/L)t結論：(1)儲蓄率的變化只會暫時性地影響增長率，而不會永久性地影響?；蛘哒f，儲蓄率的變化只有水平效應，而沒有增長效應。(2)只有技術進步率的變化有增長效應。(3)政策含義：投入驅動的增長不會持續。7/20/202323四、儲蓄率變化的影響(3)對消費的影響在穩態，c*=f(k*)-(n+g+δ）k*當MPK=n+g+δ時，消費達到最大。使消費達到最大化的資本存量被稱為資本的黃金律。f(k)kf(k)s1f(k)(n+g+δ)kk1*y1*s2f(k)k2*y2*7/20/202324黃金律和動態無效率

過度儲蓄的經濟被稱為動態無效率，因為降低儲蓄率不僅提高了穩態消費，也提高了轉移過程中的消費，即原來的人均消費路徑在所有時點都位于另一條可行的路徑之下。k0(n+g+δ)kf(k)s1f(k)k1*c1*sgf(k)kg*cg*動態無效率區域7/20/202325黃金律和動態無效率ssgoldcgoldc*縱軸表示對應于每一儲蓄率的人均消費的穩態水平。使人均穩態消費最大時的儲蓄率被稱為黃金律儲蓄率，以sgold表示。7/20/202326四、儲蓄率變化的影響穩態時，人均資本和人均產出不變儲蓄率變化對產出的長期影響變化得到產出的儲蓄率彈性產出的資本彈性3.儲蓄率變化對產出的長期影響

產出的資本彈性等于資本收入在總收入中所占的份額。7/20/202327四、儲蓄率變化的影響在多數國家，支付給資本的收入份額約為1/3。則產出的儲蓄率彈性約為0.5。當儲蓄率增加10%時，人均產出長期內僅變化5%。因此，儲蓄的顯著變化只會對平衡路徑上的產出產生中度的影響。7/20/202328四、儲蓄率變化的影響4．儲蓄率變化的影響時間注意“收斂系數”與s無關。舉例：假設，α=1/3，則λ=4%（表示k和y向k*和y*每年移動剩余距離的4%），因此走完平衡增長路徑距離（即消除與初始收入差距）的一半約需18年時間。因此，當儲蓄率增加10%時，人均產出長期內僅變化5%。第1年增長0.04(5%)=0.2%，18年后增長0.5(5%)=2.5%。結論：儲蓄率變化對人均產出變化的作用較緩慢。7/20/202329五、絕對收斂與條件收斂資本的邊際產出遞減意味著有著更低人均資本的經濟趨于在人均項上更快的增長。絕對收斂：窮國有著更快的人均增長率，因此窮國趨于追上富國。條件收斂：一個經濟離其自身的穩態值越遠，增長越快。巴羅認為索洛模型預測了條件收斂。7/20/202330五、絕對收斂與條件收斂非穩態圖示k*k增長率>0增長率<07/20/202331五、絕對收斂與條件收斂絕對收斂圖示增長率>0增長率<0kk*這表明k離k*越遠，其增長率（正或負）越大，λk<0?？梢宰C明索洛模型中的其他變量X的非均衡動態增長率（λX

）與λk保持比例或線形關系，例如

結論（索洛模型的收斂性）：每個經濟都收斂于其自身的穩態，而且這一收斂的速度與其離穩態的距離成反比，或者說，經濟離其自身的穩態值越遠，其增長率就越快。7/20/202332五、絕對收斂與條件收斂條件收斂的圖示：結論：當窮國人均初始資本存量較小，而富國的儲蓄率較高時，富國會比窮國有更高的增長率。因此，一旦控制了穩態的決定的情況下，條件收斂將成立。

k(0)poor

k(0)rich

k*poor

k*rich

7/20/202333五、絕對收斂與條件收斂每單位效率工人資本變化：圍繞k*的一階泰勒展開式：上式的解析解意味著k與穩態值k*之間的距離以λ的速度減少。收斂速度：7/20/202334五、絕對收斂與條件收斂在穩態的鄰域內，產出和資本具有相同的增長速度?？梢宰C明舉例：假設，α=1/3，則λ=4%（表示k和y向k*和y*每年移動剩余距離的4%），因此走完平衡增長路徑距離（即消除與初始收入差距）的一半約需18年時間。證明：收斂速度：7/20/202335六、索羅模型與增長理論的核心問題索羅模型中人均產出(Y/L)差別的兩個來源：人均資本（K/L）的差異勞動效率或技術A的差異索羅模型的核心結論：資本積累的差異不能解釋收入的巨大差別。直接解釋：如果兩國人均產出差別為X倍，則人均資本差別為Xα倍。這與現實不符。間接解釋：在競爭市場，資本的收入等于其邊際產出，人均資本的差別意味著資本報酬的巨大差別，即窮國的資本報酬遠遠高于富國，資本將流向窮國。這與現實不符。7/20/202336數學證明7/20/202337數學證明舉例：(1)根據C-D生產函數，y=f(k)=kα,一般的α=1/3，設窮國變量帶*，若y/y*=X=10,求解：k/k*=?(2)若y/y*=X=10，α=1/3，求解：MPK/MPK*=?7/20/202338七、增長因素分析法對生產函數進行全微分可以得到產出增長率的決定公式R為索羅殘值生產率增長率等于產出增長率減去勞動力增長率7/20/202339八、對索洛模型的總結和評論

1．主要結論（1）無論從任何一點出發，經濟向平衡增長路徑收斂，在平衡增長路徑上，每個變量的增長率都是常數。（2）在其他外生變量相似的條件下，人均資本低的經濟有更快的人均資本的提高，人均收入低的經濟有更高的增長率。（3）人均產出（Y/L）的增長來源于人均資本存量和技術進步，但只有技術進步才能夠導致人均產出的永久性增長。（4）通過調節儲蓄率可以實現人均最優消費和最優