學(xué)案2古典概型與幾何概型11、不為五斗米折腰。12、芳菊開林耀，青松冠巖列。懷此貞秀姿，卓為霜下杰。13、歸去來兮，田蜀將蕪胡不歸。14、酒能祛百慮，菊為制頹齡。15、春蠶收長絲，秋熟靡王稅。學(xué)案2古典概型與幾何概型學(xué)案2古典概型與幾何概型11、不為五斗米折腰。12、芳菊開林耀，青松冠巖列。懷此貞秀姿，卓為霜下杰。13、歸去來兮，田蜀將蕪胡不歸。14、酒能祛百慮，菊為制頹齡。15、春蠶收長絲，秋熟靡王稅。①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有

;②每個基本事件出現(xiàn)的可能性

.（2）古典概型的概率公式:對于古典概型，任何事件的概率為P（A）=

.3.幾何概型（1）如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的

成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為

.有限個相等A包含的基本事件的個數(shù)基本事件的總數(shù)長度（面積或體積）幾何概型（2）在幾何概型中，事件A的概率的計(jì)算公式如下：P（A）=

.4.隨機(jī)數(shù)是

隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個范圍內(nèi)的每一個數(shù)的

一樣，它有很廣闊的應(yīng)用，可以幫助我們

和

一些試驗(yàn).構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）在一定范圍內(nèi)機(jī)會安排模擬下列命題正確的個數(shù)為_______.(1)擲兩枚硬幣，可能出現(xiàn)“兩個正面”“兩個反面”“一正一反”3種結(jié)果;(2)某袋中裝有大小均勻的三個紅球、兩個黑球、一個白球，那么每種顏色的球被摸到的可能性相同;考點(diǎn)1基本事件辨析(3)從-4、-3、-2、-1、0、1、2中任取一數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同;(4)分別從3名男同學(xué)、4名女同學(xué)中各選一名當(dāng)代表，那么每個同學(xué)當(dāng)選的可能性相同;(5)5個人抽簽，甲先抽，乙后抽，那么乙與甲抽到某號中獎簽的可能性肯定不同.【分析】弄清基本事件的個數(shù)及概率計(jì)算公式.【解析】所有命題均不正確.（1）應(yīng)為4種結(jié)果，還有一種是“一反一正”.（2）摸到紅球的概率為，摸到黑球的概率為，摸到白球的概率為.（3）取到小于0的數(shù)字的概率為，不小于0的數(shù)字的概率為.（4）男同學(xué)當(dāng)選的概率為，女同學(xué)當(dāng)選的概率為.（5）抽簽有先有后，但每人抽到某號的概率是相同的.其理由是：假設(shè)5號簽為中獎簽，甲先抽到中獎簽的概率為；乙接著抽，其抽中5號簽的概率為×=.以此類推，丙抽中5號簽的概率為××=.

【評析】弄清一次試驗(yàn)的意義以及每個基本事件的含義是解決問題的前提，正確把握各個事件的相互關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.古典概型要求所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，強(qiáng)調(diào)所有結(jié)果中每一結(jié)果出現(xiàn)的概率都相同.把一枚骰子拋6次，設(shè)正面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為x.(1)求出x的可能取值情況（即全體基本事件）;(2)下列事件由哪些基本事件組成（用x的取值回答）:①x的取值為2的倍數(shù)（記為事件A）；②x的取值大于3（記為事件B）;③x的取值不超過2(記為事件C);④x的取值是質(zhì)數(shù)(記為事件D).(3)判斷上述事件是否為古典概型，并求其概率.（1）1,2,3,4,5,6.(2)①事件A為2,4,6.②事件B為4,5,6.③事件C為1,2.④事件D為2,3,5.(3)是古典概型，其中P(A)==,P(B)==,P(C)==,P(D)==.將骰子先后拋骰2次,計(jì)算:(1)一共有多少種不同的結(jié)果?(2)其中向上的數(shù)字之和是5的結(jié)果有多少種?(3)向上的數(shù)字之和是5的概率是多少?考點(diǎn)2古典概型【分析】首先弄清基本事件的個數(shù),而且每個基本事件發(fā)生的概率是相等的,可以用古典概型概率公式P(A)==求解.事件A包含的基本事件數(shù)試驗(yàn)的基本事件總數(shù)【解析】(1)先后拋擲兩次骰子的基本事件總數(shù)如下表:一共有6×6=36(種)不同的結(jié)果.1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)(3)由于骰子是均勻的,將它拋擲2次的所有36種結(jié)果是等可能出現(xiàn)的,其中向上的數(shù)之和是5的結(jié)果(記為事件A)有4種,因此,所求的概率P(A)==.(2)在(1)問的36種結(jié)果中,向上的數(shù)字之和是5的結(jié)果有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4種,(其中(1,4)表示第1次拋擲后向上的數(shù)為1,第2次拋擲后向上的數(shù)為4,其他類似)上面的結(jié)果可用圖10-2-1表示,其中不在虛線框內(nèi)的各數(shù)為相應(yīng)的2次拋擲后向上的數(shù)之和不為5.

【評析】本題前兩問都用了圖表的方法給出了先后兩次拋擲骰子的所有結(jié)果和兩次點(diǎn)數(shù)之和的各種情況,比用列舉法給出顯得更加直觀、清晰，這種方法可有效地防止重復(fù)和遺漏，不失為一種好的方法，如再問兩次點(diǎn)數(shù)之和為4的倍數(shù)的概率是多少，兩次點(diǎn)數(shù)之和出現(xiàn)概率最高的是哪種結(jié)果等，都是盡收眼底，大家要好好把握此法.有編號為A1,A2,…,A10的10個零件,測量其直徑(單位:cm),得到下面數(shù)據(jù):編號直徑A1A2A3A4A5A6A7A8A9A101.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直徑在區(qū)間［1.48,1.52］內(nèi)的零件為一等品.(1)從上述10個零件中,隨機(jī)抽取1個,求這個零件為一等品的概率;(2)從一等品零件中,隨機(jī)抽取2個:①用零件的編號列出所有可能的抽取結(jié)果;②求這2個零件直徑相等的概率.【解析】(1)由所給數(shù)據(jù)可知,一等品零件共有6個.設(shè)“從10個零件中,隨機(jī)抽取1個為一等品”為事件A,則P(A)=.(2)①一等品零件的編號為A1,A2,A3,A4,A5,A6.從這6個一等品零件中隨機(jī)抽取2個,所有可能的結(jié)果有:{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共有15種.②“從一等品零件中,隨機(jī)抽取的2個零件直徑相等”(記為事件B)的所有可能結(jié)果有:{A1,A4},{A1,A6},{A4,A6},{A2,A3},{A2,A5},{A3,A5},共有6種,所以P(B)=.【分析】乘客必須在6分鐘內(nèi)的某一時刻到達(dá)才能上車,或者必須在最后的1分鐘內(nèi)的某一時刻到達(dá)才能立即上車,乘客在某一時刻到達(dá)站臺都是一個基本事件,而這基本事件是無限的,于是不能用古典概型計(jì)算,應(yīng)考慮用幾何概型計(jì)算.已知某地鐵列車每5分鐘一班,在車站停1分鐘,求乘客到達(dá)站臺立即上車的概率.考點(diǎn)3與長度、時間有關(guān)的幾何概型

【解析】如圖,當(dāng)乘客在AB段的任何時刻到達(dá)能上車,將AB段記為區(qū)域D,其表示的時間為6分鐘,僅當(dāng)乘客在CB段的任何時刻到達(dá)才能立即上車(記該事件為A),將CB段記為區(qū)域d,其表示的時間為1分鐘,由于乘客在AB段的任何時刻到達(dá)的結(jié)果有無限多個,且都是等可能的,故由幾何概型的概率計(jì)算公式得P(A)=.

【評析】我們將每個事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn),該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會都一樣,而一個隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點(diǎn),這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解.如圖所示,在直角坐標(biāo)系內(nèi),射線OT落在30°角的終邊上,任作一條射線OA,則射線OA落在∠yOT內(nèi)的概率為___.【答案】【解析】如題圖,因?yàn)樯渚€OA在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的,則OA落在∠yOT內(nèi)的概率為.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對值不大于2的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，E是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，向D中隨機(jī)投一點(diǎn)，則落在E中的概率是_______________.考點(diǎn)4與面積、體積有關(guān)的幾何概型【分析】考查幾何概型.

【評析】幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，既包含本例中的面積，也可以包含線段的長度、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān).在區(qū)間［-1,1］上任取兩數(shù)x和y,組成有序數(shù)對(x,y),記事件A為“x2+y2<1”，則P（A）=_________.【解析】1.用列舉法把古典概型試驗(yàn)的基本事件一一列出來,然后再求出事件A中的基本事件,利用公式P(A)=求出事件A的概率.這是一個形象、直觀的好方法，但列舉時必須按照某一順序做到不重復(fù)，不遺漏.

2.幾何概型具有無限性和等可能性兩個特點(diǎn).無限性是指在一次試驗(yàn)中,基本事件的個數(shù)可以是無限的;等可能性是指每一個基本事件發(fā)生的可能性是均等的.因此,用幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路是相同的,同屬于“比例解法”，即隨機(jī)事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的圖形長度（面積或體積）”與“試驗(yàn)的基本事件所占總長度（面積或體積）”之比來表示.1.利用集合的觀點(diǎn)研究古典概型的概率設(shè)在一次試驗(yàn)中,等可能出現(xiàn)的n個結(jié)果構(gòu)成一個集合I,包含m個結(jié)果的事件A對應(yīng)于I的含有m個元素的子集A,則事件A發(fā)生的概率為P(A)=.2.求古典概型的概率的基本步驟為：(1)算出所有基本事件的個數(shù)n.(2)求出事件A包含的所有基本事件數(shù)m.(3)代入公式，求出P(A).3.幾何概型中的三種基本度量為長度、面積和體積，在解題時要準(zhǔn)確把握，要把問題向它們作合理地轉(zhuǎn)化，要注意古典概型與幾何概型的區(qū)別（基本事件的有限性和無限性），正確選用