微分方程建模的若干問題2011年7月29日數學建模培訓班講稿

微分方程模型的建模基本步驟

翻譯或轉化.在實際問題中，有許多表示導數的常用詞，例如“速度”、“速率”、“增長率”、“衰變率”、“邊際”等等，要會進行翻譯成未知函數的導數工作。針對語言敘述的情況，找出其中涉及的原則或物理定律，轉化為文字方程。（2）建立瞬時表達式.在自變量有微小變化時，建立各種因變量變化量之間的相等或近似相等關系，然后令自變量微小變化量趨于零，得到上述相等或近似相等關系的瞬時表達式，即微分方程,屬連續性模型。

(3)確定定解條件.找出關于系統在某一特定時刻或邊界上的信息，它們獨立于微分方程而成立。利用它們來確定需要知道的特定的未知函數。（4）在微分方程解出后，解函數包含一些未知常數，例如比例系數、微分方程中的參數等。通常應利用已有實際數據來確定這些常數。確定的方法是數理統計中的線性回歸或非線性回歸方法。一、常微分方程建模實例盛水的容器底部有一小洞，水通過該小洞流出，需時多少水能流完？

容器中液體流完所需時間的計算模型建模過程

設在任何時刻t,水面高度為y=y(t),

該高度處容器的截面積S為高度y的已知函數S=S(y).記初始時刻水面高度為h,即y(0)=h.

考察時段[t,t+Δt]內，液面高度變化導致液體體積的改變量近似值為:S(y)·[y(t)－y(t+Δt)].根據托利策利定理，水流出小洞的速度v與水面高度

y應有關系：設容器出口面積為已知常數A,容器的收縮比為c，在時段[t,t+Δt]內流出的液體體積近似值為：流出液體體積的近似值應等于容器中液體體積減少近似值，故有：

。

練習1：如果容器為一個錐形漏斗，錐頂角為45度，錐高為10公分，容器收縮比為0.745,錐孔面積為A=0.25cm2,求出裝滿漏斗的液體流完所需時間為多少？練習2：牛奶裝在聚乙烯軟袋中，牛奶在B點的一個小洞倒出，空氣由A點剪開的小洞入，由于A點有洞，奶袋限定有一個不變的最大傾角θ=10o，流出孔面積B=0.258cm2,容器收縮比為c=0.745,牛奶容量為V=0.568升，袋高a=12.7cm,袋寬b=15.2cm,求牛奶流完所需的時間。B

A提示：開始時，牛奶可分成兩部分，上部近似于一個斜橢圓柱，其底面積近似于一個面積為S0的橢圓；下部近似于一個底面積為橢圓S0的斜橢圓錐。

參考答案T≈27.7秒。人工腎通過一層醫用薄膜與需要帶走廢物的血管相通.

人工腎中通以某種液體,其流動方向與血液在血管中的流動方向相反,血液中的廢物透過薄膜單向滲透進入人工腎.

人工腎工作模型

（ref.數學模型，姜啟源等著,pp.175)

(1)試建立人工腎在單位時間內帶走廢物數量的計算模型

(2)藉此模型如何利用一些實測數據將醫用薄膜的滲透率測定出來（即進行數學模型中的參數測定工作）。用面積為s的薄膜將容器分成體積分別為VA與VB

(VA>VB)的兩部分，在這兩部分中分別注入該物質的兩種不同濃度的溶液，在VB中測出不同時刻t1,t2,…,tn

時的物質溶液的濃度CB(t1)，CB(t2)，…,CB(tn),實測數據為：VA=VB=100cm3,s=10cm2

ti

1002003004005006007008009001000CB(ti)4.544.995.355.655.96.16.266.336.56.59利用這些實測數據來測出該醫用薄膜的滲透率。

ku

:血管中血流速度

(cm/s)

kv

：人工腎中流速

(cm/s)

血管

人工腎

xx+dx

建模假設：

(1)設血管和人工腎中液體的流速ku

和kv

均為常數;

人工腎總長度為L；（1）

先利用微分方程方法建立計算模型.

(2)廢物從血管進入人工腎的滲透速度與它在血管中的濃度和人工腎中的濃度之差成正比，比例系數為常數λ（1/s);建模過程

u(x):在點x處，血管中的廢物濃度(g/cm);

v(x):在點x處，人工腎中的廢物濃度(g/cm)

ku

:血管中血流速度(cm/s)

kv

：人工腎中流速(cm/s)

血管

人工腎

xx+dx在血管的微小段

[x,x+?x]

上，利用微元法，應有：這小段中，單位時間內血管中廢物減少量(g/s)

=單位時間內血管中廢物排出量(g/s)

而等式左端=ku

?[u(x)-u(x+?x)]，等式右端=在單位時間內單位長度廢物排出量

乘以該小段長度?x于是有：

ku

?[u(x)-u(x+?x)]=λ[u(x)–v(x)]??x

因為根據假設，在單位時間內單位長度廢物排出量與薄膜兩側的廢物濃度成正比，故在單位時間內單位長度廢物排出量

=λ[u(x)–v(x)](g/scm)

對人工膜一側有類似的結論:在單位時間內

血管中廢物增加量=血管中廢物進入量(g/s)

等式左端=kv

?[v(x)-v(x+?x)]等式右端=λ[u(x)–v(x)]??x

kv

?[v(x)-v(x+?x)]=λ[u(x)–v(x)]??xku

?[u(x)-u(x+?x)]=λ(u(x)–v(x))?

?xkv

?[v(x)-v(x+?x)]=λ(u(x)–v(x))?

?x

ku

u’(x)=-λ(u(x)–v(x))kv

v’(x)=-λ(u(x)–v(x))這樣，聯立起來有：利用Mathmatica

軟件求解此微分方程組：運用定解條件

u(0)=u0,v(L)=0，

所以，單位時間內帶走廢物的總數量：

（2）再說明如何利用實驗的實測數據來確定這種醫用薄膜的滲透率λ

用面積為s的薄膜將容器分成體積分別為VA與VB

(VA>VB)的兩部分，在這兩部分中分別注入該物質的兩種不同濃度的溶液，在VB中測出不同時刻t1,t2,…,tn

時的物質溶液的濃度CB(t1)，CB(t2)，…,CB(tn),擬利用這些實測數據由此來測出該醫用薄膜的滲透率λ

。實測數據為：VA=VB=100cm3,s=10cm2

ti

1002003004005006007008009001000CB(ti)4.544.995.355.655.96.16.266.336.56.59

建模過程:

在[t,t+Δt]時段上，A側物質質量減少數為：VA·[CA(t)-CA(t+Δt)],

A側向B側滲透物質質量數為：

s·v·Δt=s·λ·[CA(t)–CB(t)]·Δt,由質量守恒定律

B側物質質量增加數為：VB·[CB(t+Δt)-CB(t)],滲透到B側物質質量數為：s·λ·[CA(t)–CB(t)]·Δt

其中CA(0)=c1和CB(0)=c2分別是開始時薄膜兩側的溶液濃度。利用Mathmatica

軟件求解此微分方程組其中（λ=0.01012,b=0.003）或者，對b,k

運用最小二乘法：

原模型的解具體為其中問題變成：合理確定用藥時間間隔的問題（ref.AFirstCourseinMathematicalModeling,Giordano著,中譯本，pp.308)

病人開處方中用藥的劑量（單位：毫克/毫升）已知時，相應的每次用藥時間間隔（單位：小時）的確定是一個十分重要問題。一般而言，藥物在體內的濃度低于已知數量L

時藥性會無效，而高于已知數量H

時則會發生危險。根據藥理學的臨床研究，藥物在體內因吸收而導致藥物濃度隨時間減少的變化率大小（絕對值）與當時的藥物濃度有關。藥物濃度大（小），藥物濃度變化率的減少也大（小）；如給藥方式為快速靜脈注射時，試建立此時的數學模型并確定出：（1）每隔T小時藥用劑量為已知值

Q毫克/毫升時，體內藥物剩余濃度的最終極限值U；（2）最佳用藥時間間隔

T

的確定方式（計算公式）。記u（t）：藥物在體內的濃度；T：用藥時間間隔建模假設：藥物在體內因吸收而導致藥物濃度隨時間減少的變化率大小（絕對值）與藥物濃度有關，藥物濃度大（小），變化率減少也大（小）；

可以假定：藥物濃度減少的變化率與藥物濃度成正比：已假定給藥方式為快速靜脈注射，即藥物瞬間到達體內：模型(1)建立：求解：第一次用藥后最終殘余藥物濃度：第二次用藥最初時刻時的藥物濃度：第二次用藥后的時段（0,T)內微分方程模型：求解：第二次用藥后最終殘余藥物濃度：第三次用藥后時段（0,T)內的微分方程模型：第三次用藥最初時刻時的藥物濃度：求解：第三次用藥后最終殘余藥物濃度：以此類推，第n次用藥后最終殘余藥物濃度：問題（1）體內藥物剩余濃度的最終極限值U

應為：為了使得用藥時間間隔越長越好（既不頻繁服藥，也不耽誤及時服藥），應該考慮每次用藥最初時刻時的藥物濃度在上升，但都不能超過最高藥物濃度H,故我們應有要求：第一次用藥最初時刻時的藥物濃度為：第二次用藥最初時刻時的藥物濃度為：第三次用藥最初時刻時的藥物濃度為：

﹒﹒﹒﹒，一般地第n次用藥最初時刻時的藥物濃度為：即：求解T,即得問題（2）中最佳用藥時間間隔

T

的計算公式：這樣，需要成立：模型（2）建立：

建模假設如改為：藥物在體內因吸收而導致藥物濃度隨時間減少的變化率大小（絕對值）與藥物濃度有關，假定

藥物濃度減少的變化率的對數值與藥物濃度成正比：求解：第一次用藥后最終殘余藥物濃度：第二次用藥最初時刻時的藥物濃度：第二次用藥后的時段（0,T)內微分方程模型：第二次用藥后的時段（0,T)內的藥物濃度：第二次用藥后最終殘余藥物濃度：第三次用藥最初時刻時的藥物濃度：第三次用藥后時段（0,T)內的微分方程模型：第三次用藥后的時段（0,T)內的藥物濃度：第三次用藥后最終殘余藥物濃度：用歸納法，類似可得第n次用藥后最終殘余藥物濃度：（1）每隔T小時,藥用劑量為Q時，體內藥物剩余濃度的最終極限值為了確定最佳用藥時間間隔，應考慮：一次用藥量盡可能充分，即每次用藥時間間隔盡可能長，但必須應保證即（2）最佳用藥時間間隔T的計算公式為

進一步可思考的問題：如給藥方式為恒速靜脈點滴或口服藥片時，模型將如何變化？又如何求解？（ref.數學模型（第三版），姜啟源等著,pp.153,第五章§5.4）野豬的生態管理問題（ref.AFirstCourseinMathematicalModeling,Giordano著,中譯本，pp.323，改編稿)一、某森林地區有野豬生存。在自然環境中，已知野豬的數量降到數量a以下,野豬就會滅絕；而野豬數量超過數量b以上，野豬就會因疾病和缺乏足夠食物而下降到b。現在，該地區野豬數量已偏多，影響到該地區村落居民的正常生活和農作物生長，地區管理部門決定發放捕獵野豬許可證，用以控制該森林地區的野豬數量（一張許可證只能捕獵一頭野豬）。（1）試建立一個野豬在自然環境中繁衍的數學模型；（2）求解（1）中數學模型，并借此預測長時間后野豬數量將是多少；（3）為了野豬不致滅絕而使當地生態環境受到破壞，管理部門應發放多少張捕獵野豬許可證？二、若該地區在某天突然發生地震，導致地震后的生存環境變差；（1）這時自然繁衍數學模型將如何變化？（2）從地震前某時刻開始到地震后某時刻終止，試畫出“地震前后”野豬數量曲線圖，藉以說明野豬的數量在環境變化影響中是如何變動的。（3）針對地震對野豬生態環境的不同影響，結合你們建立的數學模型，討論管理部門應部署何種必要的管理措施，采取何種合適的生態管理對策，寫出一份給當地管理部門的建議報告。野豬數

表示在

t時刻，野豬每天增加（減少）頭數，即變化率一、（1）在自然環境中繁衍的數學模型：

建模假設：野豬數的變化率與現有野豬數超出或低于滅絕消亡線a的數量有關，超出或低于的數量越大變化率增加或減少也大；可以假定：野豬數變化

x’(t)與x(t)–a

成正比;野豬數的變化率也與現有野豬數超出或低于飽和線b的數量有關，超出或低于的數量越大,野豬數變化率減少或增加也大；可以假定：野豬數變化率

x’(t)又與b–

x(t)

成正比;

模型求解：綜述之，可以得到：

i)時，

，

即在

t

0

時刻

一、（2）長時間后野豬數量的變化趨勢

a

消亡線數量，b

飽和線數量，c

初始時刻數量

將遞減趨于零，時

，

ii)

時，

將隨

t

趨于無窮而遞增趨于b

，

即

iii)

，

將隨

t趨于無窮而遞減趨于

b，

即

一、（3）假設該地區捕獵強度為

r（頭/天），

在擬定的時段中，發放m

張捕獵許可證后，獵人為了使用完這些捕獵許可證，需時天;

在考慮有捕獵因素時，野豬繁衍數學模型應修改為：發放捕獵野豬許可證的張數m,使得在t*=m/r

時刻的野豬數滿足i)當捕獵強度

r足夠大，使得x’(t)<0時,則管理部門應該控制

ii)當捕獵強度

r不夠大時,則管理部門應采取措施加強地區的捕獵強度來達到控制該森林地區的野豬數量過多。二、該地區在某天突然發生地震，導致地震后的生存環境變差，具體應反映在兩個數據上：

i)最大生存數

b

變小為b*;ii)地震發生時刻

所對應的野豬數

迅即變小;(1)在區間段（

<t<+∞）上，自然繁衍數學模型將變為：其中從地震前某時刻開始到地震后某時刻終止，“地震前后”野豬數量曲線函數應是一個分段函數：(2)根據地震發生后，野豬的剩余數c*的大小情況，此函數曲線示意圖如下：i)b*>c*≥

a

情況c*ab*ii)c*<a

情況c*ab*

iii)c*>b*

情況c*ab*b（3）為了討論在地震后給管理部門提出應采取何種必要的管理措施，較為關鍵的是須調查出地震后野豬的殘存數量c*的大小，這可以通過抽樣方法進行。二、偏微分方程建模實例在某個區間上求解常微分方程，其（通）解的幾何形象通常是在

x–y平面上的一組覆蓋在這個區間上“平行互不相交”的“積分”曲線。為了決定一個特解，通常也就只要在這區間上某一點處知道該函數的具體取值，或者說，知道該積分曲線在x-y平面中通過哪一點即可。這也就是所謂“初始條件”的幾何解釋。例如，常微分方程的通解：

初始條件：積分曲線在x-y平面中通過點（1，4）。●偏微分方程的若干常識而求解一個偏微分方程，情況卻要復雜得多。以二元函數的偏微分方程為例作一說明。首先，對于一個二元函數偏微分方程的求解范圍應是一個明確給定的平面區域（有界或無界）。其次，在某個區域上求解一個偏微分方程，其（通）解的幾何形象通常是在三維空間上的一組覆蓋在這個區域上的“曲面”。這些“曲面”已無相互“平行”之類的特性。例如：定義在全平面二元函數

u(x,y)的偏微分方程

至少有解函數：和解函數它們的二元函數曲面分別是“橢圓曲面”和“馬鞍面”；具體形象如下：為了決定一個滿足某個偏微分方程特定的（特）解，僅僅知道該曲面在三維空間中通過哪一點的信息是遠遠不夠的。通常，需要了解在這區域“邊界”上該二元函數的具體取值信息，或者說，為了求解一個偏微分方程的定解問題（數學模型），除了給定偏微分方程，還需要“給定”

該偏微分方程的“邊界條件”。偏微分方程數學模型=偏微分方程+邊界條件至于什么是求解區域的“邊界”，這種邊界上未知函數如何給值，

是一個很復雜的數學理論問題，通常稱為微分方程模型的適定性問題（解是否存在，解是否唯一，解對邊界數據的連續依賴性等問題）研究。不同類型的偏微分方程對區域“邊界”有不同的提法，解的邊界數據也有很多給法，下面將結合具體數學模型來體會之。熱量（物質）擴散模型

建模假設：(1)細桿長度為l，其材料是均勻的，即細桿的密度ρ（克/厘米3

），比熱系數c（卡/克·度）均為常數；

(2)桿中熱量傳導服從Fourier定律，即單位時間內通過單位面積的熱量與溫度關于位置量x的下降率成正比，比例系數（導熱率）為常數k;

(3)桿的左段溫度為u(0,t)=u1,桿的右段溫度為

u(l,t)=u2,u1>u2,均為已知常數；(4)細桿的初始溫度分布為已知函數u(x,0)=φ

(x).

一根均勻細桿，初始時刻桿上溫度不均勻，桿的兩端始終維持一定的溫度，試建立桿上每一點x處關于時間t的溫度分布模型.建模過程

取細桿的一小段[x,x+Δx],設細桿的截面積為s0

厘米2

，記q(x,t)為熱流密度（卡/秒·厘米2,

單位時間內通過單位面積的熱量），（ρ·Δx·s0）·c·[u(x,t+Δt)–u(x,t)]（卡），則在Δt

時間內，沿x方向流入小段[x,x+Δx]的總熱量數近似為：q(x,t)·s0·Δt（卡）,流出小段[x,x+Δx]的總熱量數近似為：

q(x+Δx,t)·s0·Δt（卡）,流入小段與流出小段的熱量差使得小段的溫度升高，這個熱量差可以根據下式計算：根據熱量守恒定律，流入小段[x,x+Δx]的總熱量

-

流出小段[x,x+Δx]的總熱量=溫度升高所需熱量

利用Fourier定律，有：

根據此問題的現實意義，易見：當桿的兩端所維持的溫度已知，桿的初始溫度分布函數也已知時，問題的解函數u(x,t)是惟一可確定的；或者說上述偏微分方程的定解條件（不多不少）應是：

這個方程稱為熱傳導方程

熱傳導方程+初始條件+邊界條件組成了有限桿長上溫度分布的適定性數學模型：

如果只討論有限時段

T上溫度分布的適定性數學模型，則有

t

x

l

0

數學上可嚴格論證：這樣的初、邊值問題是適定的。

即問題的解是存在、唯一的，且連續依賴于初邊值數據。

（注意：上述求解區域邊界t=0上未知函數給出的數據，顧名思義，通常稱之為給出了“初值”。）

T

如果這根均勻細桿是無窮長的，初始時刻桿上溫度為，則桿上每一點x處關于時間t的溫度分布的適定性模型是：定解模型中只需初始條件，這符合現實意義。稱為熱傳導方程的Cauchy問題。

其解的解析表達式是：如果考慮一塊無窮大均勻薄片，初始時刻薄片上溫度不均勻，這時薄片上每一點(x,y)處關于時間t

的溫度u(x,y,t)分布（二維熱傳導）模型則為：

Ref.1999年美國大學生數學建模競賽試題“Locatethepollutionsource”,

浙大曾獲美國大學生數學建模競賽特等獎兼美國運籌與管理科學學會獎

(Informs獎)。

弦振動模型在[a,b]上繃緊的弦，將之垂直拉起然后放開，弦發生上下震動，試求出上下方向上位移u(x,t)的規律.

建模假設：(1)假定弦是均勻的，柔軟的，處在直線繃緊狀態下；弦只能作微小橫振動；(3)弦的線密度為常數ρ。

為了說明偏微分方程模型定解問題的復雜性，定解條件如何提，模型問題才能適定，再來看一個實際問題，其本身也是一個二階偏微分方程的典型案例。(2)初始時刻弦處于靜止狀態；

建模過程

取一小段弦[x,x+Δx],應有：T1·cosɑ1=T2·cosɑ2T2·sinɑ2

-T1·sinɑ1=ρ·Δx·utt

（NewtonLaw）

cosɑ1≈1,cosɑ2≈1,sinɑ2≈tgɑ2=ux(x+Δx,t),

α2

α1

T1

xx+ΔxT2sinɑ1≈tgɑ1=ux(x,t),

根據問題假設，弦的兩端固定，故應有

弦垂直拉起剛放手時，即t=0時，該弦上各點位移已知，故有為已知函數弦垂直拉起剛放手時，即t=0時，該弦各點處于靜止狀態，即

t

x

b

0

偏微分方程理論研究告訴我們：這樣的初、邊值問題

是適定的。這在最后一節偏微分方程數值解原理分析中也會得到印證。

a綜合之，構成如下弦振動數學模型：

休漁期魚群分布規律模型

建立實行休漁政策下近海魚群分布情況的數學模型。建模假設：(1)海岸線近似為直線；魚群只沿垂直于海岸線方向向外游動；故問題的空間維數可取為一維；海岸0外海x

(2)

規定休漁區域在沿海l

公里以內；休漁邊界x=

l

外，魚群將全部被外海漁船打盡；

(3)

任何地點x、任何時刻

t

的魚群密度分布函數

u(x,t)

為可微函數；

(4)初始時刻的魚群密度分布函數u(x,0)為已知函數

u0(x)；

(5)t時刻、x處魚群密度

u(x,t)的增長速度為已知函數f(u);

(6)t時刻、x處魚群數向外游動的擴散流量Φ(x,t)

與ux(x,t)成正比，比例系數為常數α2

：這個假設稱為Fick

定律，它類似于熱量擴散問題中的

Fourier法則。建模過程

單位時間里，任意區間段[a,b]段上魚群數的變化量為：

這個變化量可分為兩項之和，一項為單位時間里，殘留在[a,b]

段內的魚群數：另一項為單位時間里，[a,b]

段內的新生魚群數：由于區間段[a,b]是任意的，上述定積分中被積函數有連續性，故被積函數只能恒等于零，即這樣，問題定解的初邊值條件為：根據假設（4），初始時刻的魚群密度分布函數u(x,0)

為已知函數u0(x)：根據假設（2），休漁邊界x=

l外，魚群將全部被外海漁船打盡：顯然，魚群數向岸上游動的擴散流量Φ(0,t)為零，根據假設（6）：

故0lxt這個偏微分方程的初、邊值問題也是適定的，即問題的解是存在、唯一的，且連續依賴于初邊值數據自由邊界問題自由邊界問題是一類較為復雜的偏微分方程問題，這種類型的問題在各種各樣的應用中非常頻繁地出現，例如它可出現在物相變化過程、化學反應過程、生物擴散過程、土壤凍過程等等的物理、化學現象之中，甚至還出現在金融衍生物價格計算、抵押貸款評估研究等等的經濟現象之中。

（1）一相Stefan問題

考慮一根套在與四周完全絕緣隔熱的管子中而正在融化的細冰棍；其右端為冰，左端為融化而成的水。擬建立一個融化水區域上任意點處溫度隨時間演變的模型。

建模假設：（1）假定冰區域溫度恒等于零度；

（2）假定水區域中熱量傳導服從

Fourier

定律，即單位時間中高溫點到低溫點通過單位面積的熱流量大小與與溫度關于位置量x的下降率成正比；由此可推出以下等式：

（3）假定水的密度ρ、比熱c

、熱傳導系數

k

和為了融化冰為水的潛熱

L均為常數。取細棍的一小段[x,x+Δx],設細棍的截面積為s0

厘米2

；記q(x,t)

為熱流密度（卡/秒·厘米2,單位時間內通過單位面積的熱量），則在Δt時間內，沿x方向流入小段[x,x+Δx]的總熱量數近似為：q(x,t)·s0·Δt（卡）,流出小段[x,x+Δx]的總熱量數近似為：

q(x+Δx,t)·s0·Δt（卡）,流入小段與流出小段的熱量差使得小段中水的溫度升高，這個熱量差可以根據下式計算：（ρ·Δx·s0）·c·[u(x,t+Δt)–u(x,t)]（卡），這樣便可得：根據Fourier定律，有：在融化而成的水域里，水的溫度u(x,t)

服從熱傳導方程：ut=a2

uxx

,x(0,s0),t(0,+).為求解這個偏微分方程，還需知道左、右邊界值和初值。在左邊界上水溫為已知函數：u(0,t)=u1(t)>0;

假定水溫的初值為已知函數：u(x,0)=

u0(x)；由于右邊界端處的熱傳導，冰在不斷融化，故水域的右邊界是一條移動邊界，或稱為自由邊界。這條自由邊界本身也是需要求解的未知一元函數！0L冰水xts0x=s(t)易知，在移動的右邊界s(t)

上水溫函數應滿足：

u(s(t),t)=0；為了決定自由邊界的位置，還需導出邊界上另一個條件。t1t2t3t4設在Δt時段內，移動邊界向右移動了一段路程

Δx，

Δx為了融化邊界移動中消失的冰，需要一份熱量，其數量應是：在Δt時段內，從邊界左邊水域中傳入陰影冰區域內的總熱量根據Fourier定律，應是：上述兩者應該相等：

令Δt→0，可得：于是，融化水區域上任意點處溫度u(x,t)隨時間t

演變的模型為：xtx=s(t)0s0偏微分方程的理論研究可以證明這個問題也是適定的。

（2）兩相Stefan問題

如果在一相Stefan問題中將假設（1）冰區域溫度恒等于零度改為不恒等于零度，該區域中也有熱傳導過程，則一相Stefan問題就變成了兩相Stefan

問題。xtx=s(t)0s0L這個問題的適定性也已獲得證明。

（3）細胞體內氧氣的擴散與吸收問題

細胞體內氧氣的會向周邊擴散，在擴散的同時，細胞體也在吸收氧氣以維持生命；如果細胞得不到氧氣的供給將會死亡。建立一個描繪該擴散—吸收過程的數學模型。為簡單計，以下只考慮一個一維細胞體模型。

建模假設：（1）假定氧氣在細胞體中從氧氣濃度大的左邊擴散至濃度小的右邊；在擴散中，擴散流量

q

的大小與左、右兩點的氧氣濃度c

的差成正比；即：

（2）假定任何時刻，每單位立方體的細胞體吸收氧氣的速度為一常數D

；

（3）某一時刻起，斷絕氧氣供給；缺乏氧氣的細胞體即行死亡，不再參與氧氣擴散過程。（k為擴散系數）細胞體末端

氧氣

考慮細胞體在位置

x

處、長為Δx

的一段細胞上擴散和吸收氧氣情況。

在Δt

時段內，經擴散進入這段細胞內的氧氣數量是:經擴散流出這段細胞內的氧氣數量是:這段細胞內氧氣的變化量是：這段細胞氧氣的吸收量是：進入量、流出量、變化量和吸收量之間應有關系：根據假設（1），氧氣擴散、吸收方程0xts0在細胞體左端，在t=0

起斷絕氧氣輸入，故有：在細胞體右末端x=s

處，始終有條件：隨著氧氣的缺乏，右末端的細胞逐漸死亡，故有末端的位置隨時間而變動，形成一條自由邊界：

x=s(t).

氧氣擴散、吸收問題：

尋求未知函數對：{c(x,t)，s(t)}，使得它們滿足：在初邊至充分光滑情況下，這個問題的適定性也可證明。事實上，若該問題的充分光滑解為c(x,t)

，

令u(x,t)=ct(x,t),則有

已知u(x,t)后，即可得到：0xts0三.用差分法求解微分方程數值解的基本原理（一階向前偏心差分）；

（一階中心差分）；（一階向后偏心差分）；

其理論根據是和

1.用有限一階差分替代一階（偏）導數情況

（一階向前偏心差分）（一階中心差分）其理論根據是和

2.用有限二階差分替代二階（偏）導數情況

其理論根據是和（稱為二階中心差分）

3.常（偏）微分方程數值解的定義

對于函數y=f(x)，x?

[a,b],把區間[a,b]分成n(等)份,

已知分點為a,x1,x2,……,xn-1,b;計算出這些點上的函數值：f(a),f(x1)

,f(x2)

,……,f(xn-1)

,f(b);

這組數值就稱為一元函數y=f(x)，x?

[a,b]的數值解。

數值解的幾何意義：函數y=f(x)，x?

[a,b]的圖像是一條覆蓋在區間[a,b]上的平面曲線;依次把由數值解所能決定的

n+1個平面上的點

(a,f(a)),(x1,f(x1))

,……,(xn-1,f(xn-1)

)

,(b,f(b))

連成一條折線；顯然，

n

越大，函數曲線與平面折線就越近似地融為一體而不可分

。這就是一元函數數值解可無限逼近函數的幾何意義，盡管我們可以不知道該一元函數的解析表達式。

對于二元函數z=f(x,y)，(x,y)?

[a,b]U[c,d],把區域

[a,b]U[c,d]縱橫打上網格線，得到nm

個網格點：

(xi

,yj

),1≤i≤n,1≤j≤m;計算出這些網格點上的

二元函數值：

f(xi

,yj

),1≤i≤n,1≤j≤m;

這組數值就稱為二元函數z=f(x,y)，(x,y)?

[a,b]U[c,d]

的數值解。

數值解的幾何意義：二元函數z=f(x,y)，(x,y)?

[a,b]U[c,d]的圖像是一片覆蓋在區域[a,b]U[c,d]上的空間曲面;依次把由上述數值解所能決定的

nm

個三維空間上的點

(xi

,yj

,f(xi

,yj

)),1≤i≤n,1≤j≤m

張成一片網絡面；顯然，

n

，

m

越大，二元函數空間曲面與網絡面就越近似地融為一體而不可分。這就是上述二元函數數值解可無限逼近函數的幾何意義，盡管我們可以不知道該二元函數的解析表達式。令（N等分區間，步長h越小越精確），