2022年四川省遂寧市大安中學(xué)高二數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.等差數(shù)列中，，則

(

)A.

B.

C.

0

D.

參考答案：B根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可知，等差數(shù)列中，，而對(duì)于故可知選B.2.用反證法證明命題：“己知a、b是自然數(shù)，若a+b≥3，則a、b中至少有一個(gè)不小于2”，提出的假設(shè)應(yīng)該是（）A．a(chǎn)、b中至少有二個(gè)不小于2 B．a(chǎn)、b中至少有一個(gè)小于2C．a(chǎn)、b都小于2 D．a(chǎn)、b中至多有一個(gè)小于2參考答案：C【考點(diǎn)】FC：反證法．【分析】根據(jù)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立，而要證明題的否定為：“a、b都小于2”，從而得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立，而命題：“己知a、b是自然數(shù)，若a+b≥3，則d、b中至少有一個(gè)不小于2”的否定為“a、b都小于2”，故選C．3.用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí)，反設(shè)正確的是（

）A.假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度；

B.假設(shè)三內(nèi)角都大于60度；C.假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度；

D.假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度參考答案：B4.在空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（1，3，－5）關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A．（－1，3，－5）

B．（1，－3，5）

C．（1，3，5）

D．（－1，－3，5）參考答案：C5.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別是雙曲線的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：A6.若條件p：,條件q：,則p是q的

(

)A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件C．充要條件

D．既非充分條件也非必要條件參考答案：B7.已知命題p：對(duì)任意，則

（

）

A．存在使 B．存在使

C．對(duì)任意有

D．對(duì)任意有參考答案：B略8.直線的傾斜角和斜率分別是（

）A．

B．

C．，不存在

D．，不存在

參考答案：C

解析：垂直于軸，傾斜角為，而斜率不存在9.某校高二年級(jí)航模興趣小組共有10人，其中有女生3人，現(xiàn)從這10人中任意選派2人去參加一項(xiàng)航模比賽，則有女生參加此項(xiàng)比賽的概率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A“恰有一名女生當(dāng)選”為事件A，“恰有兩名女生當(dāng)選”為事件B，顯然A、B為互斥事件．從10名同學(xué)中任選2人共有10×9÷2=45種選法（即45個(gè)基本事件），而事件A包括3×7個(gè)基本事件，事件B包括3×2÷2=3個(gè)基本事件，故P=P（A）+P（B）=+==故選：A．

10.下面是電影《達(dá)芬奇密碼》中的一個(gè)片段:女主角欲輸入一個(gè)由十個(gè)數(shù)字按一定規(guī)律組成的密碼,但當(dāng)她果斷地依次輸入了前八個(gè)數(shù)字11235813,欲輸入最后兩個(gè)數(shù)字時(shí)她猶豫了,也許是她真的忘記了最后的兩個(gè)數(shù)字、也許…….請(qǐng)你依據(jù)上述相關(guān)信息推測(cè)最后的兩個(gè)數(shù)字最有可能的是（

）

A.21

B.20

C.13

D.31參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）過(guò)點(diǎn)且平行于極軸的直線的極坐標(biāo)方程為．參考答案：【考點(diǎn)】Q4：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】解：法一：先將極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)表示，過(guò)且平行于x軸的直線為，再化成極坐標(biāo)表示．法二：在極坐標(biāo)系中直接構(gòu)造直角三角形由其邊角關(guān)系得方程．【解答】解：法一：先將極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)表示，化為，過(guò)且平行于x軸的直線為，再化成極坐標(biāo)表示，即．法二：在極坐標(biāo)系中，直接構(gòu)造直角三角形由其邊角關(guān)系得方程．設(shè)A（ρ，θ）是直線上的任一點(diǎn)，A到極軸的距離AH==，直接構(gòu)造直角三角形由其邊角關(guān)系得方程．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程求解，屬于基礎(chǔ)題．12.已知線段為雙曲線的實(shí)軸,點(diǎn)在雙曲線上,且,若,則雙曲線的離心率是

.參考答案：.13.，則____________．參考答案：略14.若變量x、y滿足約束條件，則z=x﹣2y的最大值為．參考答案：3【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．

【專(zhuān)題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合．【分析】先畫(huà)出滿足約束條件的可行域，并求出各角點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入目標(biāo)函數(shù)，即可求出目標(biāo)函數(shù)z=x﹣2y的最大值．【解答】解：滿足約束條件的可行域如下圖所示：由圖可知，當(dāng)x=1，y=﹣1時(shí)，z=x﹣2y取最大值3故答案為：3【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，其中根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，進(jìn)而求出角點(diǎn)坐標(biāo)，利用“角點(diǎn)法”解題是解答本題的關(guān)鍵．15.設(shè).若曲線與直線所圍成封閉圖形的面積為,則____.參考答案：略16.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)是6，高為，這個(gè)正四棱錐的側(cè)面積是

．參考答案：略17.設(shè)函數(shù)，觀察：，，，，…，根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)且時(shí)，

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖某市現(xiàn)有自市中心O通往正西和北偏東30°方向的兩條主要公路，為了解決該市交通擁擠問(wèn)題，市政府決定修建一條環(huán)城公路．分別在通往正西和北偏東30°方向的公路上選用A、B兩點(diǎn)，使環(huán)城公路在A、B間為直線段，要求AB路段與市中心O的距離為10km，且使A、B間的距離|AB|最小．請(qǐng)你確定A、B兩點(diǎn)的最佳位置．參考答案：令|OA|＝a，|OB|＝b，則在△AOB中，∠AOB＝120°.∴|OC||AB|＝absin120°.∴|AB|＝.①

又由余弦定理，|②

由①②知≥3ab. ∵ab＞0，∴ab≥400③

③代入①得|AB|＝≥20．當(dāng)a＝b時(shí)|AB|取得最小值．而a＝b時(shí)，△AOB為等腰三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝30°.∴a＝b＝20.∴A、B兩點(diǎn)的最佳位置是距市中心O均為20km處.略19.如圖，已知矩形BB1C1C所在平面與底面ABB1N垂直，在直角梯形ABB1N中，AN∥BB1，AB⊥AN，CB=BA=AN=BB1．（1）求證：BN⊥平面C1B1N；（2）求二面角C﹣C1N﹣B的大小．參考答案：【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LW：直線與平面垂直的判定．【分析】（1）證明BC⊥平面ABB1N，建立空間坐標(biāo)系，利用向量證明BN⊥NB1，NB⊥B1C1，故而得出結(jié)論；（2）求出兩平面的法向量，計(jì)算法向量的夾角即可得出二面角的大小．【解答】（1）證明：∵四邊形BB1C1C是矩形，∴BC⊥BB1，∵平面BB1C1C⊥底面ABB1N，平面BB1C1C∩底面ABB1N=BB1，BC?平面BB1C1C，∴BC⊥平面ABB1N，以B為原點(diǎn)，以BA，BB1，BC為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系B﹣xyz，設(shè)AB=1，則B（0，0，0），N（1，1，0），B1（0，2，0），C1（0，2，1），C（0，0，1）∴=（1，1，0），=（﹣1，1，0），=（0，0，1），∴=﹣1+1=0，=0，∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1，又NB1∩B1C1=B1，∴BN⊥平面C1B1N．（2）解：=（﹣1，1，1），=（﹣1，﹣1，1），=（0，2，0），設(shè)平面BNC1的法向量為=（x，y，z），則，=0，∴，令x=1得=（1，﹣1，2），同理可得平面CNC1的法向量為=（1，0，1），∴cos＜＞==．∴二面角C﹣C1N﹣B的大小為30°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面垂直的判定，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，空間角的計(jì)算，屬于中檔題．20.北京某高校在2016年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)分組，得到的頻率分布表如表所示．（1）求頻率分布表中n，p的值，并補(bǔ)充完整相應(yīng)的頻率分布直方圖；（2）為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績(jī)高的第4、5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，則第4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試？（3）在（2）的前提下，學(xué)校決定從6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受甲考官的面試，求第4組至多有1名學(xué)生被甲考官面試的概率參考答案：考點(diǎn)：古典概型抽樣頻率分布表與直方圖試題解析：（1）由題意可知，第2組的頻數(shù)n=0．35×100=35人，第3組的頻率p==0．30；（2）∵第4、5組共有30名學(xué)生，∴利用分層抽樣在30名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組分別為：第4組：×6=4人，第5組：×6=2人，∴第4、5組分別抽取4人、2人；（3）試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從六位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有15種滿足條件的事件是第4組至多有一名學(xué)生被考官甲面試有9種結(jié)果，∴至少有一位同學(xué)入選的概率為：=21.（13分）在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課上，老師給一個(gè)活動(dòng)小組安排了這樣的一個(gè)任務(wù)：設(shè)計(jì)一個(gè)方案，將一塊邊長(zhǎng)為4米的正方形鐵片，通過(guò)裁剪、拼接的方式，將它焊接成容積至少有5立方米的長(zhǎng)方體無(wú)蓋容器（只有一個(gè)下底面和側(cè)面的長(zhǎng)方體）.該活動(dòng)小組接到任務(wù)后，立刻設(shè)計(jì)了一個(gè)方案，如下圖所示，按圖1在正方形鐵片的四角裁去四個(gè)相同的小正方形后，將剩下的部分焊接成長(zhǎng)方體(如圖2).請(qǐng)你分析一下他們的設(shè)計(jì)方案切去邊長(zhǎng)為多大的小正方形后能得到的最大容積，最大容積是多少？是否符合要求？若不符合，請(qǐng)你幫他們?cè)僭O(shè)計(jì)一個(gè)能符合要求的方案，簡(jiǎn)單說(shuō)明操作過(guò)程和理由.參考答案：(1)設(shè)切去正方形邊長(zhǎng)為x，則焊接成的長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為4－2x，高為x，所以V1=(4－2x)2·x=4(x3－4x2＋4x)

(0<x<2)．………..………..2∴V1/=4(3x2－8x＋4)，………..………..………..3令V1/=0，即4(3x2－8x＋4)=0，解得x1=，x2=2(舍去)．--------4∵

V1在(0，2)內(nèi)只有一個(gè)極值，∴當(dāng)x=時(shí)，V1取得最大值．<5,即不符合要求.….….….6(2)重新設(shè)計(jì)方案如下：如圖①，在正方形的兩個(gè)角處各切下一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形；如圖②，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間；如圖③，將圖②焊成長(zhǎng)方體容器.新焊長(zhǎng)方體容器底面是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為3，寬為2，此長(zhǎng)方體容積V2=3×2×1=6，顯然V2>5．故第二種方案符合要求．

….….….….….….….13注：第二問(wèn)答案不唯一。22.

如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圓O所在的平面，AB＝4，BE＝1．(1)證明：平面ADE⊥平面ACD；(2)當(dāng)三棱錐C－ADE的體積最大時(shí)，求點(diǎn)C到平面ADE的距離．參考答案：見(jiàn)解析(1)證明：∵AB是直徑，∴BC⊥A