上海塘沽學校2022-2023學年高一數學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P、Q分別是棱AA1、CC1的中點，則過點B、P、Q的截面是()A．三角形

B．菱形但不是正方形

C．正方形

D．鄰邊不等的矩形參考答案：B2.如圖，在△ABC中，，P是BN上的一點，若，則實數m的值為（）A． B． C．1 D．3參考答案：A【考點】平面向量的基本定理及其意義．【分析】根據題意，設=λ，將向量表示成向量、的一個線性組合，再結合題中向量的等式，建立關于m、λ的方程組，解之即可得到實數m的值．【解答】解：∵，∴設=λ，（λ＞0）得=+∴m=且=，解之得λ=8，m=故選：A3.下列命題中，正確的命題的個數是

（

）

a.若角α在第二象限，且sinα=，cosα=，則tanα=

b.無論α為何角，都有sin2α+cos2α=1

c．總存在一個角α，使得sinα+cosα=1

d．總存在一個角α，使得sinα=cosα=A.0個

B.1個

C.2個

D.3個參考答案：C略3.已知，則的值為A．

B.

C.

D.參考答案：D略5.已知數列{an}是由正數組成的等比數列，Sn為其前n項和.已知，則(

)A. B. C.

D.參考答案：C【分析】將已知條件化成等比數列基本量的形式，構成和的方程，解方程求得基本量；再利用等比數列求和公式求得結果.【詳解】由等比數列性質可得：又是由正數組成的等比數列

且，

本題正確選項：【點睛】本題考查等比數列求和問題，關鍵是能夠通過已知條件構成關于等比數列基本量的方程，求解得到首項和公比.6.直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓上，則面積的取值范圍是A.[2,6] B.[4,8]C. D.參考答案：A分析：先求出A，B兩點坐標得到再計算圓心到直線距離，得到點P到直線距離范圍，由面積公式計算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點,則點P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點睛：本題主要考查直線與圓，考查了點到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題．7.在數列的每相鄰兩項中插入3個數，使它們與原數構成一個新數列，則新數列的第69項

(

)

(A)是原數列的第18項

(B)是原數列的第13項

(C)是原數列的第19項

(D)不是原數列中的項參考答案：A略8.若奇函數f（x）在[3，7]上是增函數，且最小值是1，則它在[﹣7，﹣3]上是（）A．增函數且最小值是﹣1 B．增函數且最大值是﹣1C．減函數且最大值是﹣1 D．減函數且最小值是﹣1參考答案：B【考點】奇偶性與單調性的綜合．【分析】由奇函數在關于原點對稱的區間上單調性一致及奇函數定義可選出正確答案．【解答】解：因為奇函數f（x）在區間[3，7]上是增函數，所以f（x）在區間[﹣7，﹣3]上也是增函數，且奇函數f（x）在區間[3，7]上有f（x）min=f（3）=1，則f（x）在區間[﹣7，﹣3]上有f（x）max=f（﹣3）=﹣f（3）=﹣1，故選B．9.已知，若，則的值是（）A. B.或 C.，或 D.參考答案：D該分段函數的三段各自的值域為，而∴∴；10.圖中曲線分別表示，，，的圖象，

的關系是（

）A.0<a<b<1<d<c B.0<b<a<1<c<dC.0<d<c<1<a<b D.0<c<d<1<a<b參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.正四棱錐S－ABCD的底面邊長為2，高為2，E是邊BC的中點，動點P在表面上運動，并且總保持PE⊥AC，則動點P的軌跡的周長為_____參考答案：12.的值是

參考答案：13.不等式的解集為或，則實數a的取值范圍______．參考答案：[0,1]【分析】由題意可得和是方程的根，根據判別式大于等于0，直接比較和a的大小即可，即可求出結果.【詳解】由題意可得和是方程的根，又，所以，故.【點睛】本題主要考查了解一元二次不等式，一元二次方程有根的判定，屬于中檔題.14.=．參考答案：4【考點】根式與分數指數冪的互化及其化簡運算．【專題】計算題；函數的性質及應用．【分析】=+1+=4．【解答】解：=+1+=+1+=4，故答案為：4．【點評】本題考查了指數冪的運算，屬于基礎題．15.已知sin（700+α）=，則cos（2α）=

.參考答案：略16.設函數f(x)＝cosx，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2013)＋f(2014)＝________。參考答案：

略17.已知數列中，其前項和滿足：（1）試求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.

參考答案：（1）

即

這個式子相加得，又所以.

經驗證和也滿足該式，故（2）用分組求和的方法可得略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知圓C過兩點M（﹣3，3），N（1，﹣5），且圓心在直線2x﹣y﹣2=0上（1）求圓的方程；（2）直線l過點（﹣2，5）且與圓C有兩個不同的交點A、B，若直線l的斜率k大于0，求k的取值范圍；（3）在（2）的條件下，是否存在直線l使得弦AB的垂直平分線過點P（3，﹣1），若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】直線與圓的位置關系．【分析】（1）圓心C是MN的垂直平分線與直線2x﹣y﹣2=0的交點，CM長為半徑，進而可得圓的方程；（2）直線l過點（﹣2，5）且與圓C有兩個不同的交點，則C到l的距離小于半徑，進而得到k的取值范圍；（3）求出AB的垂直平分線方程，將圓心坐標代入求出斜率，進而可得答案．【解答】（本小題滿分12分）解：（1）MN的垂直平分線方程為：x﹣2y﹣1=0與2x﹣y﹣2=0聯立解得圓心坐標為C（1，0）R2=|CM|2=（﹣3﹣1）2+（3﹣0）2=25∴圓C的方程為：（x﹣1）2+y2=25…（2）設直線l的方程為：y﹣5=k（x+2）即kx﹣y+2k+5=0，設C到直線l的距離為d，則d=由題意：d＜5

即：8k2﹣15k＞0∴k＜0或k＞又因為k＞0∴k的取值范圍是（，+∞）…（3）設符合條件的直線存在，則AB的垂直平分線方程為：y+1=﹣（x﹣3）即：x+ky+k﹣3=0∵弦的垂直平分線過圓心（1，0）∴k﹣2=0

即k=2∵k=2＞故符合條件的直線存在，l的方程：x+2y﹣1=0…19.已知（a為常數）．（Ⅰ）若f（x）為奇函數，求實數a的值；

（Ⅱ）在Ⅰ的前提下，求f（x）的值域．參考答案：【考點】函數奇偶性的性質；函數的值域．【專題】函數思想；綜合法；函數的性質及應用．【分析】（Ⅰ）可看出該函數定義域為R，從而由f（x）為奇函數知f（0）=0，從而求出a=﹣2；（Ⅱ）先寫出f（x）=，根據3x＞0便可求出的范圍，進一步可求出的范圍，即得出f（x）的值域．【解答】解：（I）f（x）的定義域為R，f（x）為奇函數；∴；∴a=﹣2；（Ⅱ）；3x＞0；∴；∴﹣1＜f（x）＜1；∴f（x）的值域為（﹣1，1）．【點評】考查奇函數的定義，奇函數在原點有定義時有f（0）=0，指數函數的值域，以及根據不等式的性質求函數值域的方法．20.根據兩角的和的正弦公式，有：

①

②由①+②得，

③令，則，代入③得：(I)類比上述推理方法，根據兩角的和差的余弦公式，求證：；(Ⅱ)若的三個內角、、滿足試判斷的形狀.參考答案：證明：（I）由

①

②①-②得，

③令，則代入③得：（Ⅱ）為直角三角形，證明如下：由余弦的二倍公式得，，利用（I）證明的結論可知，，又已知所以，則，即因為，所以，即，所以為直角三角形.21.函數是定義在（﹣1，1）上的奇函數，且．（1）確定函數的解析式；（2）證明函數f（x）在（﹣1，1）上是增函數；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．參考答案：【考點】奇偶性與單調性的綜合．【分析】（1）根據奇函數性質有f（0）=0，可求出b，由可求得a值．（2）根據函數單調性的定義即可證明；（3）根據函數的奇偶性、單調性可去掉不等式中的符號“f”，再考慮到定義域可得一不等式組，解出即可．【解答】解：（1）因為f（x）為（﹣1，1）上的奇函數，所以f（0）=0，即b=0．又f（）=，所以=，解得a=1．所以f（x）=．（2）任取﹣1＜x1＜x2＜1，則f（x1）﹣f（x2）=﹣=，因為﹣1＜x1＜x2＜1，所以x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以函數f（x）在（﹣1，1）上是增函數；（3）f（t﹣1）+f（t）＜0可化為f（t﹣1）＜﹣f（t）．又f（x）為奇函數，所以f（t﹣1）＜f（﹣t），f（x）為（﹣1，1）上的增函數，所以t﹣1＜﹣t①，且﹣1＜t﹣1＜1②，﹣1＜t＜1③；聯立①②③解得，0＜t＜．所以不等式f（t﹣1）+f（t）＜0的解集為．22.成等差數列的三個正數的和等于15，并且這三個數分別加上2、5、13后成為等比數列{bn}中的b3、b4、b5．（Ⅰ）求數列{bn}的通項公式；（Ⅱ）數列{bn}的前n項和為Sn，求證：數列{Sn+}是等比數列．參考答案：考點： 等比關系的確定；等比數列的通項公式；等比數列的前n項和．專題： 等差數列與等比數列．分析： （I）利用成等差數列的三個正數的和等于15可設三個數分別為5﹣d，5，5+d，代入等比數列中可求d，進一步可求數列{bn}的通項公式（II）根據（I）及等比數列的前n項和公式可求Sn，要證數列{Sn+}是等比數列?即可．解答： 解：（I）設成等差數列的三個正數分別為