吉林省四平市梨樹(shù)縣孟家?guī)X鎮(zhèn)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.參考答案：2.已知點(diǎn)F是雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)，過(guò)F且垂直于x軸的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線(xiàn)的離心率P的取值范圍是

A．（1，+∞）

B．（1，2）C．（1，l+）

D．（2，1+）參考答案：B3.若α∈（，π）且3cos2α=4sin（﹣α），則sin2α的值為（）A． B．﹣ C．﹣ D．參考答案：C【考點(diǎn)】二倍角的余弦；兩角和與差的正弦函數(shù)．【專(zhuān)題】三角函數(shù)的求值．【分析】由條件化簡(jiǎn)可得3（cosα+sinα）=2，平方可得1+sin2α=，從而解得sin2α的值．【解答】解：∵α∈（，π），且3cos2α=4sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）=4（cosα﹣sinα），化簡(jiǎn)可得：3（cosα+sinα）=2，平方可得1+sin2α=，解得：sin2α=﹣，故答案為：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩角和差的正弦公式、二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．4.函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：D【考點(diǎn)】奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性；三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的圖象． 【專(zhuān)題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合． 【分析】的圖象由奇函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位而得，所以它的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）中心對(duì)稱(chēng)，再由正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心公式，可得函數(shù)y2=2sinπx的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心也是點(diǎn)（1，0），故交點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，且每一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2．由此不難得到正確答案． 【解答】解：函數(shù)，y2=2sinπx的圖象有公共的對(duì)稱(chēng)中心（1，0），作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖 當(dāng)1＜x≤4時(shí)，y1＜0 而函數(shù)y2在（1，4）上出現(xiàn)1.5個(gè)周期的圖象， 在和上是減函數(shù)； 在和上是增函數(shù)． ∴函數(shù)y1在（1，4）上函數(shù)值為負(fù)數(shù)，且與y2的圖象有四個(gè)交點(diǎn)E、F、G、H 相應(yīng)地，y1在（﹣2，1）上函數(shù)值為正數(shù)，且與y2的圖象有四個(gè)交點(diǎn)A、B、C、D 且：xA+xH=xB+xG═xC+xF=xD+xE=2，故所求的橫坐標(biāo)之和為8 故選D 【點(diǎn)評(píng)】發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖象公共的對(duì)稱(chēng)中心是解決本題的入口，討論函數(shù)y2=2sinπx的單調(diào)性找出區(qū)間（1，4）上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是本題的難點(diǎn)所在． 5.在三棱錐P﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，PA=PC=2，AC中點(diǎn)為M，cos∠PMB=，則此三棱錐的外接球的表面積為（）A． B．2π C．6π D．π參考答案：C【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】利用條件，判斷AB，PB，BC互相垂直，可得三棱錐的外接球的直徑，即可求出三棱錐的外接球的表面積．【解答】解：由題意，AC=2，BM=1，PM=，∵cos∠PMB=，∴PB=，∴AB，PB，BC互相垂直，∴三棱錐的外接球的直徑為，∴三棱錐的外接球的表面積為=6π，故選C．6.把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得函數(shù)圖象的解析式為(

)

A．

B．

C. D．參考答案：B7.下列說(shuō)法正確的是(

)A．命題“?x0∈R，x02+x0+2013＞0”的否定是“?x∈R，x2+x+2013＜0”B．命題p：函數(shù)f（x）=x2﹣2x僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則命題p是真命題C．函數(shù)在其定義域上是減函數(shù)D．給定命題p、q，若“p且q”是真命題，則?p是假命題參考答案：D【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】A．對(duì)存在命題的否定，應(yīng)把存在一個(gè)改為對(duì)任意的，再把結(jié)論取反面；B．零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)圖象可知，應(yīng)有三個(gè)交點(diǎn)；C．中函數(shù)的減區(qū)間為（﹣∞，0）和（0，+∞），但整個(gè)區(qū)間不是遞減；D．“p且q”是真命題，則p和q都是真命題；【解答】解：A．對(duì)存在命題的否定，應(yīng)把存在一個(gè)改為對(duì)任意的，再把結(jié)論取反面，應(yīng)是“?x∈R，x2+x+2013≤0”，故錯(cuò)誤；B．做出x2和2x的圖象可知，應(yīng)有三個(gè)交點(diǎn)，故錯(cuò)誤；C．中函數(shù)的減區(qū)間為（﹣∞，0）和（0，+∞），但在其定義域上不是減函數(shù)，故錯(cuò)誤；D．“p且q”是真命題，則p為真命題，得?p是假命題，故正確，故選D．【點(diǎn)評(píng)】考查了存在命題的否定，函數(shù)零點(diǎn)的概念，單調(diào)區(qū)間的理解和且命題的概念．屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)牢記．8.已知向量、、滿(mǎn)足，且，則、、中最小的值是（

）A. B. C. D.不能確定參考答案：B【分析】利用已知條件作差比較可知.【詳解】因?yàn)?所以,所以,所以,同理可得,,故最小.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積和比較法比較大小,屬于中檔題.9.已知點(diǎn)A（﹣1，0），B（1，0），過(guò)定點(diǎn)M（0，2）的直線(xiàn)l上存在點(diǎn)P，使得，則直線(xiàn)l的傾斜角α的取值范圍是（）A． B． C．D D．參考答案：A【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；直線(xiàn)的傾斜角．【專(zhuān)題】平面向量及應(yīng)用．【分析】先需要設(shè)出直線(xiàn)l的方程，所以需討論l是否存在斜率：存在斜率時(shí)l方程便為y=kx+2，這樣即可設(shè)出P（x，kx+2），所以能得到的坐標(biāo)，從而根據(jù)條件會(huì)得到關(guān)于x的不等式（1+k2）x2+4kx+3＜0，要滿(mǎn)足條件，該不等式便有解，從而△＞0，這樣便得到k，這樣即可求出此時(shí)l傾斜角α的范圍；而不存在斜率時(shí)，用與上面類(lèi)似的方法容易判斷出這種情況滿(mǎn)足條件，從而得到，這兩種情況的α求并集即可．【解答】解：如圖，（1）若l存在斜率，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+2；∴設(shè)P（x，kx+2）；∴=（﹣1﹣x，﹣kx﹣2）?（1﹣x，﹣kx﹣2）=（1+k2）x2+4kx+3＜0；∴該不等式有解；∴△=16k2﹣12（1+k2）＞0；解得k，或k；∴；∴，且；（2）若l不存在斜率，則l方程為x=0；∴設(shè)P（0，y）；∴；∴﹣1＜y＜1；即存在P點(diǎn)使；而此時(shí)；∴綜上得直線(xiàn)l的傾斜角的范圍是．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】考查直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，由點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，一元二次不等式是否有解和判別式△的關(guān)系，熟悉正切函數(shù)的圖象，知道傾斜角的取值范圍，注意不要漏了斜率不存在的情況．10.若方程的任意一組解都滿(mǎn)足不等式，則的取值范圍是（）A、B、C、D、參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，且滿(mǎn)足an2=S2n﹣1（n∈N+）．若不等式≤對(duì)任意的n∈N+恒成立，則實(shí)數(shù)λ的最大值為

．參考答案：考點(diǎn)： 等差數(shù)列的性質(zhì)．專(zhuān)題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析： 在已知遞推式中分別取n=1，2，聯(lián)立方程組求得首項(xiàng)和公差，求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步得到an+1，代入不等式≤后分n為偶數(shù)和奇數(shù)變形，分離參數(shù)λ后分別利用基本不等式求最值和函數(shù)單調(diào)性求最值，取交集后得到λ的取值范圍，則λ的最大值可求．解答： 解：在an2=S2n﹣1中，令n=1，n=2，得，即，解得a1=1，d=2，∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1，an+1=2n+1．①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，要使不等式≤恒成立，即需不等式恒成立，∵，等號(hào)在n=2時(shí)取得，∴此時(shí)λ需滿(mǎn)足λ≤25；②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要使不等式≤恒成立，即需不等式恒成立，∵隨n的增大而增大，∴n=1時(shí)，取得最小值﹣6．則λ≤﹣6﹣15=﹣21．綜合①、②可得λ的取值范圍是λ≤﹣21．∴實(shí)數(shù)λ的最大值為﹣21．故答案為：﹣21．點(diǎn)評(píng)： 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，訓(xùn)練了利用基本不等式和函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．12.C.（幾何證明選講）如圖，是圓O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，.是圓O的直徑，與圓交于B，，則

參考答案：13.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是AC1、A1B1的中點(diǎn)．點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，則總能使MP與BN垂直的點(diǎn)所構(gòu)成的軌跡的周長(zhǎng)等于

．參考答案：略14.設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．參考答案：（2,6）15.已知函數(shù)，則不等式1<f(x)<4的解集為_(kāi)_______．參考答案：(0,1]∪(3,4)16.設(shè)方程的根為，設(shè)方程的根為，則

。參考答案：4略17.若x、y滿(mǎn)足條件，則z=x+3y的最大值是

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=alnx+x2（a為實(shí)常數(shù)）．（Ⅰ）若a=﹣2，求證：函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在上的最小值及相應(yīng)的x值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專(zhuān)題】計(jì)算題；證明題．【分析】（Ⅰ）將a=﹣2代入，然后求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），欲證函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)只需證導(dǎo)函數(shù)在（1，+∞）上恒大于零即可；（Ⅱ）先求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），然后討論a研究函數(shù)在上的單調(diào)性，將f（x）的各極值與其端點(diǎn)的函數(shù)值比較，其中最小的一個(gè)就是最小值．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=﹣2時(shí)，f（x）=x2﹣2lnx，當(dāng)x∈（1，+∞），，故函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．（Ⅱ），當(dāng)x∈，2x2+a∈．若a≥﹣2，f'（x）在上非負(fù)（僅當(dāng)a=﹣2，x=1時(shí)，f'（x）=0），故函數(shù)f（x）在上是增函數(shù)，此時(shí)min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，當(dāng)時(shí)，f'（x）=0；當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，此時(shí)f（x）是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，f'（x）＞0，此時(shí)f（x）是增函數(shù)．故min==若a≤﹣2e2，f'（x）在上非正（僅當(dāng)a=﹣2e2，x=e時(shí)，f'（x）=0），故函數(shù)f（x）在上是減函數(shù)，此時(shí)min=f（e）=a+e2．綜上可知，當(dāng)a≥﹣2時(shí)，f（x）的最小值為1，相應(yīng)的x值為1；當(dāng)﹣2e2＜a＜﹣2時(shí)，f（x）的最小值為，相應(yīng)的x值為；當(dāng)a≤﹣2e2時(shí)，f（x）的最小值為a+e2，相應(yīng)的x值為e【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，屬于中檔題．19.（本小題滿(mǎn)分18分）如圖，將圓分成個(gè)扇形區(qū)域，用3種不同顏色給每一個(gè)扇形區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域顏色互異，把不同的染色方法種數(shù)記為。求（Ⅰ）；（Ⅱ）與的關(guān)系式；（Ⅲ）數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明。

參考答案：解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，不同的染色方法種數(shù)

，……1分當(dāng)時(shí)，不同的染色方法種數(shù)

，……………2分當(dāng)時(shí)，不同的染色方法種數(shù)

，……………3分當(dāng)時(shí)，分扇形區(qū)域1，3同色與異色兩種情形∴不同的染色方法種數(shù)

?！?分（Ⅱ）依次對(duì)扇形區(qū)域染色，不同的染色方法種數(shù)為，其中扇形區(qū)域1與不同色的有種，扇形區(qū)域1與同色的有種∴…………………8分（Ⅲ）∵

∴………………將上述個(gè)等式兩邊分別乘以，再相加，得，∴，…………………13分從而?！?4分（Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

，當(dāng)時(shí)，

，故…………………18分w.20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求m的取值范圍．參考答案：（1）（2）【分析】(1)代入m的值，得到關(guān)于x的不等式組，解出即可；(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，當(dāng)時(shí)，，令，求出的最大值，求出m的范圍即可．【詳解】解：(1)當(dāng)時(shí)，，由，得或或，解得：或，故不等式的解集是；(2)當(dāng)時(shí)，，恒成立，即恒成立，整理得：，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，，令，，，，，故，故【點(diǎn)睛】本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想以及轉(zhuǎn)化思想，是一道常規(guī)題．21.本小題滿(mǎn)分14分)設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于，焦點(diǎn)為；以為焦點(diǎn)，離心率的橢圓與拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，與拋物線(xiàn)交于，如果弦長(zhǎng)等于三角形的周長(zhǎng)，求直線(xiàn)的斜率.（Ⅱ）求最小實(shí)數(shù)，使得三角形的邊長(zhǎng)是自然數(shù)．參考答案：解：（Ⅰ）已知，故橢圓方程為，即.依題意知直線(xiàn)存在斜率，設(shè)：

聯(lián)立

得

…………3分

直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，弦的中點(diǎn)，由韋達(dá)定理得

…………..5分則

………8分三角形的周長(zhǎng)由解得.

………9分（Ⅱ）設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸為，半焦距為，由題設(shè)有.又設(shè)，有設(shè)，對(duì)于拋物線(xiàn)，；對(duì)于橢圓，，即

…..12分由

解得