山西省呂梁市海洪中學高三數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知命題，使得；命題，若，則.下列命題為真命題的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B2.若關于x的方程（x﹣2）2ex+ae﹣x=2a|x﹣2|（e為自然對數的底數）有且僅有6個不等的實數解，則實數a的取值范圍是（）A．（，+∞） B．（e，+∞） C．（1，e） D．（1，）參考答案：D【考點】根的存在性及根的個數判斷．【分析】令g（x）=|x﹣2|ex，則方程有6解等價于g2（x）﹣2ag（x）+a=0有6解，判斷g（x）的單調性得出g（x）=t的根的分布情況，得出方程t2﹣2at+a=0的根的分布情況，利用二次函數的性質列不等式組解出a的范圍．【解答】解：∵（x﹣2）2ex+ae﹣x=2a|x﹣2|，∴（x﹣2）2e2x﹣2a|x﹣2|ex+a=0，令g（x）=|x﹣2|ex=，則g′（x）=，∴當x≥2或x＜1時，g′（x）＞0，當1＜x＜2時，g′（x）＜0，∴g（x）在（﹣∞，1）上單調遞增，在（1，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，∴當x=1時，g（x）取得極大值t（1）=e，又x→﹣∞時，g（x）→0，g（2）=0，x→+∞時，g（x）→+∞，作出g（x）的函數圖象如圖所示：令g（x）=t，由圖象可知：當0＜t＜e時，方程g（x）=t＜有3解；當t=0或t＞e時，方程g（x）=t有1解；當t=e時，方程g（x）=t有2解；當t＜0時，方程g（x）=t無解．∵方程（x﹣2）2e2x﹣2a|x﹣2|ex+a=0有6解，即g2（x）﹣2ag（x）+a=0有6解，∴關于t的方程t2﹣2at+a=0在（0，e）上有2解，∴，解得1＜a＜．故選D．3.若且角的終邊經過點，則點的橫坐標是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D4.已知變量滿足約束條件若恒成立，則實數的取值范圍為(

)A.(-∞,-1]

B.

[-1,+∞)

C.

[-1,1]

D.[-1,1)參考答案：【知識點】簡單線性規劃．E5C

解析：由題意作出其平面區域，則x+2y≥﹣5恒成立可化為圖象中的陰影部分在直線x+2y=﹣5的上方，則實數a的取值范圍為[﹣1，1]．故答案為：[﹣1，1]．【思路點撥】由題意作出其平面區域，則x+2y≥﹣5恒成立可化為圖象中的陰影部分在直線x+2y=﹣5的上方，從而解得．5.有A、B、C、D、E、F6個集裝箱，準備用甲、乙、丙三輛卡車運送，每臺卡車一次運兩個．若卡車甲不能運A箱，卡車乙不能運B箱，此外無其它任何限制；要把這6個集裝箱分配給這3臺卡車運送，則不同的分配方案的種數為（）A．168 B．84 C．56 D．42參考答案：D【考點】計數原理的應用．【分析】根據題意，分兩種情況討論：①甲運B箱，先從C、D、E、F四箱中取出1箱，由甲運輸，再將剩余的四箱中取出2箱由有乙運輸，最后剩余的2箱由丙運輸，②甲不運B箱，先從C、D、E、F四箱中取出2箱，由甲運輸，再計算乙、丙的運輸方法，由分步計數原理可得兩種情況的分配方案的數目，進而由分類計數原理，將兩種情況的數目相加，可得可得答案．【解答】解：根據題意，分兩種情況討論：①甲運B箱，先從C、D、E、F四箱中取出1箱，由甲運輸，有C41種方案，再將剩余的四箱中取出2箱由有乙運輸，有C42種情況，剩余的2箱由丙運輸，有C22種方案；此時有C41?C42?C22種分配方案；②甲不運B箱，先從C、D、E、F四箱中取出2箱，由甲運輸，此時乙可選的由3箱，有C32種方案，剩余的2箱由丙運輸，有C22種方案，此時有C42?C32?C22種方案；∴不同的分配方案共有C41?C42?C22+C42?C32?C22=42（種），故選D．6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A.

B.

C.

D.參考答案：A7.已知上是單調增函數，則a的最大值是

A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：D8.設函數則不等式的解集是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A9.滿足且的集合的個數是（

）A

1B

2

C

3

D

4參考答案：B略10.直線截圓所得劣弧所對圓心角為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.表面積為12π的圓柱，當其體積最大時，該圓柱的底面半徑與高的比為

．參考答案：12.已知函數f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1處取得極大值10，則的值為———參考答案：略13.設橢圓的兩個焦點分別為，，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點，若為等腰直角三角形，則橢圓離心率等于__________．參考答案：設到位于軸上方，坐標為，∵為等腰直角三角形，∴，即，即，∵，∴，，∴．14.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b=1，a=2c，則sinC的最大值為

．參考答案：考點：余弦定理；正弦定理．專題：解三角形．分析：由a=2c，得到c對的角C為銳角，利用余弦定理表示出cosC，把a=2c，b=1代入變形后利用基本不等式求出cosC的最小值，即可確定出sinC的最大值．解答： 解：∵△ABC中，b=1，a=2c，∴C為銳角，cosC====c+≥2×=，當且僅當c=，即c=時取等號，∴cosC的最小值為，∵sinC=，∴sinC的最大值為，故答案為：點評：此題考查了余弦定理，以及基本不等式的運用，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．15.某單位有840名職工,現采用系統抽樣抽取42人做問卷調查,將840人按1,2,…,840隨機編號,則抽取的42人中,編號落入區間[61,120]的人數為

．參考答案：316.若實數x，y滿足約束條件則z＝lny－lnx的最小值是________．參考答案：－ln317.若x，y滿足x+1≤y≤2x，則2y–x的最小值是__________．參考答案：3分析：作可行域，根據目標函數與可行域關系，確定最小值取法.詳解：作可行域，如圖，則直線過點A(1,2)時，取最小值3.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分14分）本大題共有2小題，第1小題7分，第2小題7分。已知二次函數（且），設關于的方程的兩個實根分別為x1和x2，滿足，且拋物線的對稱軸為。（1）求證：；（2）求證：。參考答案：（1）設，由，，可得，同向不等式相加：得。（2）由（1）可得，故。又拋物線的對稱軸為，由，∴。即。19.上海某工廠以x千克/小時的速度勻速生產某種產品，每一小時可獲得的利潤是元，其中.（1）要使生產該產品2小時獲得的利潤不低于30元，求x的取值范圍；（2）要使生產900千克該產品獲得的利潤最大，問：該廠應選取何種生產速度？并求最大利潤.參考答案：（1）；（2），4575元.【分析】（1）直接解不等式計算得到答案.（2）計算得到，根據二次函數知識得到最值.【詳解】（1），即整理可得：，解得：或(舍去）所以：（2）要使生產900千克該產品獲得的利潤最大時為y，所以當取最大值為4575元.【點睛】本題考查了不等式和函數最值的應用，意在考查學生的應用能力.20.（本小題滿分13分）某工廠甲、乙兩個車間包裝同一種產品，在自動包裝傳送帶上每隔一小時抽一包產品，稱其重量（單位：克）是否合格，分別記錄抽查數據，獲得重量數據莖葉圖（如右）.（Ⅰ）根據樣本數據，計算甲、乙兩個車間產品重量的均值與方差，并說明哪個車間的產品的重量相對穩定；（Ⅱ）若從乙車間6件樣品中隨機抽取兩件，求所抽取兩件樣品重量之差不超過2克的概率．參考答案：解：（Ⅰ）設甲、乙兩個車間產品重量的均值分別為

、，方差分別為

、，

則，

……1分

，

……2分

，

……4分

，

……6分由于，所以甲車間的產品的重量相對穩定；……7分（Ⅱ）從乙車間６件樣品中隨機抽取兩件，結果共有15個：

．………………9分設所抽取兩件樣品重量之差不超過２克的事件為A，則事件A共有4個結果：．

………………11分所以．

………………13分21.(本小題滿分14分)已知A(-2，0)，B(2，0)為橢圓C的左、右頂點，F為其右焦點，P是橢圓C上異于A，B的動點，且APB面積的最大值為2．(I)求橢圓C的方程及離心率；(II)直線AP與橢圓在點B處的切線交于點D，當直線AP繞點A轉動時，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關系，并加以證明．參考答案：（Ⅰ）由題意可設橢圓的方程為，．由題意知解得，．……………..3故橢圓的方程為，離心率為．……5（Ⅱ）以為直徑的圓與直線相切．

證明如下：由題意可設直線的方22.已知函數f（x）=sinx﹣2sin2 （1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在區間[0，]上的最小值． 參考答案：【考點】三角函數的周期性及其求法；兩角和與差的正弦函數；三角函數的最值． 【專題】三角函數的圖像與性質． 【分析】（1）由三角函數恒等變換化簡函數解析式可得f（x）=2sin（x+）﹣，由三角函數的周期性及其求法即可得解； （2）由x∈[0，]，可求范圍x+∈[，π]，即可求得f（x）的取值范圍，即可得解． 【解答】解：（1）∵f（