河南省安陽市縣第四中學2022年高三數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），則向量與的夾角為（） A．30° B．45° C．60° D．90°參考答案：C【考點】空間向量的夾角與距離求解公式． 【分析】由題意可得：，進而得到與||，||，再由cos＜，＞=可得答案． 【解答】解：因為A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1）， 所以， 所以═0×（﹣1）+3×1+3×0=3，并且||=3，||=， 所以cos＜，＞==， ∴的夾角為60° 故選C． 【點評】解決此類問題的關鍵是熟練掌握由空間中點的坐標寫出向量的坐標與向量求模，以及由向量的數量積求向量的夾角，屬于基礎試題 2.已知向量，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C解析：本題考查向量的基本運算，屬于基礎題..故選C.3.已知函數f（x）的定義域為R，f′（x）為函數f（x）的導函數，當x∈[0．+∞）時，2sinxcosx﹣f′（x）＞0且?x∈R，f（﹣x）+f（x）+cos2x=1．則下列說法一定正確的是（）A．﹣f（﹣）＞﹣f（﹣） B．﹣f（﹣）＞﹣f（﹣）C．﹣f（）＞﹣f（） D．﹣f（﹣）＞﹣f（）參考答案：B【考點】導數的運算．【分析】令F（x）=sin2x﹣f（x），可得F′（x）=2sinxcosx﹣f′（x）＞0，x∈[0．+∞）時．可得F（x）在x∈[0，+∞）上單調遞增．又?x∈R，f（﹣x）+f（x）+cos2x=1．可得f（﹣x）=sin2x﹣2sin2x+f（x）=﹣[sin2x﹣f（x）]，F（x）為奇函數．進而得出答案．【解答】解：令F（x）=sin2x﹣f（x），則F′（x）=2sinxcosx﹣f′（x）＞0，x∈[0．+∞）時．∴F（x）在x∈[0，+∞）上單調遞增．又?x∈R，f（﹣x）+f（x）+cos2x=1．∴f（﹣x）+f（x）=2sin2x，∴sin2（﹣x）﹣f（﹣x）=sin2x﹣2sin2x+f（x）=﹣[sin2x﹣f（x）]，故F（x）為奇函數，∴F（x）在R上單調遞增，∴＞F．即＞﹣F，故選：B．4.已知函數f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.在曲線y＝f(x)與直線y＝1的交點中，若相鄰交點距離的最小值為，則f(x)的最小正周期為()A.

B.

C．π

D．2π參考答案：C5.在抽查某產品尺寸過程中，將其尺寸分成若干組，[a，b]是其中一組，已知該組上的直方圖高為h，則該組頻率為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：答案：D6.對任意復數，，定義，其中是的共軛復數．對任意復數，，，有如下四個命題：①；②；③；④．則真命題的個數是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B7.已知向量在x軸上一點P使有最小值，則P的坐標為（

）.A.（-3，0）

B.（2，0）

C.（3，0）

D.（4，0）參考答案：C略8.已知函數，則＝

A．2

B．1

C．-2

D．-1參考答案：C9.已知函數，若對任意實數，直線：都不是曲線的切線，則的取值范圍是（

）A．

B．C．

D．參考答案：A10.已知向量，，若∥，則實數的取值為（

）（A） （B） （C） （D）參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實數a，b，c滿足a2+b2=c2，c≠0，則的取值范圍為．參考答案：【考點】基本不等式．【專題】不等式的解法及應用．【分析】實數a，b，c滿足a2+b2=c2，c≠0，化為=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．可得k===，表示點P（2，0）與圓x2+y2=1上的點連線的在的斜率．利用直線與圓的位置關系即可得出．【解答】解：∵實數a，b，c滿足a2+b2=c2，c≠0，∴=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．∴k===，表示點P（2，0）與圓x2+y2=1上的點連線的直線的斜率．設直線l：y=k（x﹣2），則，化為，解得．∴的取值范圍為．故答案為：．【點評】本題考查了三角函數換元法、直線的斜率計算公式、直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式，考查了轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．12.下列五個函數中：①；②；③；④；⑤，當時，使恒成立的函數是

(將正確的序號都填上）.參考答案：②③13.的展開式中含的項的系數為

（結果用數值表示）參考答案：17

本題考查求解二項展開式中指定項系數問題.考查了對基礎知識的應用能力和計算求解能力.，令.所以所求系數為.14.

若，且，則參考答案：答案：715.我國齊梁時代的數學家祖暅（公元前世紀）提出了一條原理“冪勢既同，則積不容異．”這句話的意思是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任何平面所截，如果截得的兩個截面的面積總是相等，那么這兩個幾何體的體積相等．設由曲線和直線，所圍成的平面圖形，繞軸旋轉一周所得到的旋轉體為；由同時滿足，，，的點構成的平面圖形，繞軸旋轉一周所得到的旋轉體為，根據祖暅原理等知識，通過考察可以得到的體積為

．參考答案：．作出兩曲線所表示的可行區域知，的軸截面為一半徑為的半圓內切兩半徑為的小圓所形成，面積近似為的軸截面面積的兩倍，符合祖暅原理．又的體積為，于是所表示幾何體的體積應為．故填．【解題探究】本題以數學史中祖暅原理為命題背景，考查旋轉體的體積求解和類比推理能力．解題時首先由問題給出的圖形旋轉，求出旋轉體的體積，然后利用祖暅原理分析出旋轉體的體積與旋轉體的體積之間的關系，進而得到的體積．16.點為圓的弦的中點，則該弦所在直線的方程是__

__;參考答案：略17.已知雙曲線的一個焦點坐標為(，0)，則其漸近線方程為

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）設數列的前項和為.??（1）證明：為等比數列；??（2）證明：求數列的通項公式；??（3）確定與的大小關系，并加以證明.參考答案：解：（1）得，相減得，

…………

2分即，故。故數列為首項是、公比為的等比數列。

…………

4分?????（2）得，，，故，所以。

…………

8分?????（3），，即比較與的大小關系，，即比較與的大小。

…………

10分當時，，當時，。

因為當時，。故當時，，當時，。

…………

12分（也可用數學歸納法：當時，，結論成立；設時結論成立，即，則當時，，即時結論也成立。根據數學歸納法，對，不等式成立。）…………

12分略19.（13分）已知數列的前項和，滿足：.（Ⅰ）求數列的通項；（Ⅱ）若數列的滿足，為數列的前項和，求證：.參考答案：20.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求角B的大小；（2）若，求△ABC面積的最大值．參考答案：【考點】解三角形；三角函數的化簡求值；正弦定理的應用；余弦定理的應用．【專題】計算題．【分析】（1）利用向量數量積的運算法則化簡已知可得，然后利用正弦定理化簡后，根據sinA不為0得到cosB的值，根據B的范圍及特殊角的三角函數值即可求出B的度數；（2）根據向量的減法法則由得到即得到b的平方等于6，然后根據余弦定理表示出b的平方，把b的平方代入后，利用基本不等式即可求出ac的最大值，根據三角形的面積公式，利用ac的最大值及B的度數求出sinB的值，即可得到面積的最大值．【解答】解：（1）可化為：，即：，∴，根據正弦定理有，∴，即，因為sinA＞0，所以，即；（II）因為，所以，即b2=6，根據余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得，有基本不等式可知，即，故△ABC的面積，即當a=c=時，△ABC的面積的最大值為．【點評】此題考查學生靈活運用平面向量的數量積的運算法則，靈活運用正弦、余弦定理及三角形的面積公式化簡求值，是一道綜合題．21.

如圖，在四棱錐E-ABCD中，AB平面BCE，DC平面BCE，AB=BC=CE=2CD=2，．

(I)求證：平面ADE平面ABE;

(Ⅱ)求二面角A-EB-D的大小．

參考答案：略22.為了調查學生數學學習的質量情況，某校從高二年級學生（其中男生與女生的人數之比為9:11）中，采用分層抽樣的方法抽取n名學生依期中考試的數學成績進行統計.根據數學的分數取得了這n名同學的數據，按照以下區間分為八組：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧得到頻率分布直方圖如圖所示.已知抽取的學生中數學成績少于60分的人數為5人.（1）求n的值及頻率分布直方圖中第④組矩形條的高度；（2）如果把“學生數學成績不低于90分”作為是否達標的標準，對抽取的n名學生，完成下列2×2列聯表：據此資料，你是否認為“學生性別”與“數學成績達標與否”有關？（3）若從該校的高二年級學生中隨機抽取3人，記這3人中成績不低于120分的學生人數為X，求X的分布列、數學期望和方