2021-2022學年廣西壯族自治區河池市寨岑中學高二數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數f（x）=（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f（x）＞﹣x?f′（x），則實數b的取值范圍是（）A．（﹣∞，） B． C． D．（﹣∞，3）參考答案：C【考點】6B：利用導數研究函數的單調性．【分析】求導函數，問題轉化為b＜x+，設g（x）=x+，只需b＜g（x）max，結合函數的單調性可得函數的最大值，故可求實數b的取值范圍．【解答】解：∵f（x）=x＞0，∴f′（x）=，∴f（x）+xf′（x）=，∵存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，∴1+2x（x﹣b）＞0∴b＜x+，設g（x）=x+，∴b＜g（x）max，∴g′（x）=，當g′（x）=0時，解得：x=，當g′（x）＞0時，即＜x≤2時，函數單調遞增，當g′（x）＜0時，即≤x＜時，函數單調遞減，∴當x=2時，函數g（x）取最大值，最大值為g（2）=，∴b＜，故選C．2.在調查中發現480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲．下列說法正確的是

()參考答案：C3.已知，則等于

A．0

B．-4

C．-2

D．2參考答案：B略4.總體由編號為00，01，02，…48，49的50個個體組成．利用下面的隨機數表選取8個個體，選取方法是從隨機數表第6行的第9列和第10列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第8個個體的編號為（）附：第6行至第9行的隨機數表：A．16 B．19 C．20 D．38參考答案：B【考點】簡單隨機抽樣．【分析】從隨機數表第6行的第9列和第10列數字開始由左到右依次選取兩個數字，符合條件依次為：33，16，20，38，49，32，11，19，故可得結論．【解答】解：從隨機數表第6行的第9列和第10列數字開始由左到右依次選取兩個數字，符合條件依次為：33，16，20，38，49，32，11，19故第8個數為19．故選：B．【點評】本題主要考查簡單隨機抽樣．在隨機數表中每個數出現在每個位置的概率是一樣的，所以每個數被抽到的概率是一樣的．5.運行以下程序框圖，若輸入的，則輸出的y的范圍是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，0] C．[0，1] D．（0，1]參考答案：C【考點】程序框圖．【分析】根據x的范圍，分別求出對于的y=cosx和y=sinx的范圍，取補集即可．【解答】解：x∈[﹣，0]時，y=cosx，故y=cosx∈[0，1]，x∈（0，]，y=sinx，故y=sinx∈（0，1]，故選：C．6.若△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC=（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】余弦定理．【分析】通過正弦定理求出，a：b：c=2：3：4，設出a，b，c，利用余弦定理直接求出cosC即可．【解答】解：因為sinA：sinB：sinC=2：3：4所以a：b：c=2：3：4，設a=2k，b=3k，c=4k由余弦定理可知：cosC===﹣．故選A．【點評】本題是基礎題，考查正弦定理與余弦定理的應用，考查計算能力．7.為了解1000名學生的學習情況，采用系統抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則分段的間隔為（）A．50 B．40 C．25 D．20參考答案：C【考點】系統抽樣方法．【專題】概率與統計．【分析】根據系統抽樣的定義，即可得到結論．【解答】解：∵從1000名學生中抽取40個樣本，∴樣本數據間隔為1000÷40=25．故選：C．【點評】本題主要考查系統抽樣的定義和應用，比較基礎．8.(文)直線a與平面α所成的角為30o，直線b在平面α內，若直線a與b所成的角為，則

(

)A、0o<≤30o

B、0o<≤90o

C、30o≤≤90o

D、30o≤≤180o參考答案：C略9.已知P為拋物線y2=4x上一個動點，Q為圓x2+（y﹣4）2=1上一個動點，那么點P到點Q的距離與點P到拋物線的準線距離之和的最小值是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】拋物線的應用．【分析】先根據拋物線方程求得焦點坐標，根據圓的方程求得圓心坐標，根據拋物線的定義可知P到準線的距離等于點P到焦點的距離，進而問題轉化為求點P到點Q的距離與點P到拋物線的焦點距離之和的最小值，根據圖象可知當P，Q，F三點共線時P到點Q的距離與點P到拋物線的焦點距離之和的最小，為圓心到焦點F的距離減去圓的半徑．【解答】解：拋物線y2=4x的焦點為F（1，0），圓x2+（y﹣4）2=1的圓心為C（0，4），根據拋物線的定義可知點P到準線的距離等于點P到焦點的距離，進而推斷出當P，Q，F三點共線時P到點Q的距離與點P到拋物線的焦點距離之和的最小為：，故選C．【點評】本題主要考查了拋物線的應用．考查了學生轉化和化歸，數形結合等數學思想．10.如圖是一個算法流程圖，若輸入x的值為，則輸出的y的值是（）A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6參考答案：B【考點】EF：程序框圖．【分析】直接模擬程序的運行即得結論．【解答】解：初始值x=，不滿足x≥1，所以y=2+log2=2﹣log224=﹣2，故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知變量x，y滿足，則2x+y的最大值為．參考答案：8【考點】簡單線性規劃．【分析】作出不等式組對應的平面區域，設z=x+y，利用z的幾何意義，先求出z的最大值，即可得到結論．【解答】解：作出不等式組對應的平面區域如圖：設z=x+y，則y=﹣x+z，平移直線y=﹣x+z，由圖象可知當直線y=﹣x+z經過點A時y=﹣x+z的截距最大，此時z最大．由，解得，即A（1，2），代入z=x+y得z=1+2=3．即z=x+y最大值為3，∴2x+y的最大值為23=8．故答案為：8．【點評】本題主要考查線性規劃的應用以及指數函數的運算，利用z的幾何意義結合數形結合是解決本題的關鍵．12.已知是虛數單位，則

參考答案：-1+i略13.如圖是樣本容量為200的頻率分布直方圖。根據樣本的頻率分布直方圖估計，樣本數據落在【6，10】內的頻數為

。參考答案：6414.設F1，F2是橢圓的兩個焦點，P在橢圓上，且滿足，則的面積是

.參考答案：由題意，得，即，則，即，所以的面積為.

15.一個頻率分布表（樣本容量為50）不小心被損壞了一部分，只記得樣本中數據在[20，60）上的頻率為0.6，則估計樣本在「40，50），[50，60）內的數據個數之和是

． 參考答案：21【考點】頻率分布表． 【專題】計算題；概率與統計． 【分析】設分布在「40，50），[50，60）內的數據個數分別為x，y．根據樣本容量為50和數據在[20，60）上的頻率為0.6，建立關于x、y的方程，解之即可得到x+y的值． 【解答】解：根據題意，設分布在「40，50），[50，60）內的數據個數分別為x，y ∵樣本中數據在[20，60）上的頻率為0.6，樣本容量為50 ∴，解之得x+y=21 即樣本在「40，50），[50，60）內的數據個數之和為21 故答案為：21 【點評】本題給出頻率分布表的部分數據，要我們求表中的未知數據．著重考查了頻率分布表的理解和頻率計算公式等知識，屬于基礎題． 16.在中，角A、B、C所對的邊分別為若其面積，則角A=_____。參考答案：略17.如圖，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的右焦點為F，過F的直線l交橢圓于P，Q兩點(直線l與坐標軸不垂直)，若PQ的中點為N，O為坐標原點，直線ON交直線x=3于M.(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)求的最大值.參考答案：(1)聯立可得.設點的坐標為，點的坐標為，則，.于是有.因為的中點為，所以.因此的斜率為.因為直線交直線于，所以.故的斜率為，

即得.因此與垂直，.

………………6分(2)設.令，則.由于，故.因此(當時取到最大值，也即).綜上所述，的最大值為.

………………12分19.已知函數f（x）=x3﹣x．（1）求曲線y=f（x）在點M（1，0）處的切線方程；（2）求y=f（x）的單調區間．參考答案：【考點】6B：利用導數研究函數的單調性；6H：利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）求出函數的導數，求出切線的斜率，由點斜式方程，即可得到切線方程；（2）令f′（x）＞0得增區間，令f′（x）＜0得減區間．【解答】解：（1）函數f（x）=x3﹣x的導數f′（x）=3x2﹣1，則在點M（1，0）處的切線斜率為3﹣1=2，故曲線y=f（x）在點M（1，0）處的切線方程為y=2（x﹣1），即y=2x﹣2．（2）令f′（x）＞0得x＞或x＜﹣；令f′（x）＜0，則﹣＜x＜．故f（x）的增區間為（﹣∞，﹣）和（，+∞）；減區間為（﹣，）．20.有7名奧運會志愿者，其中志愿者通曉日語，通曉俄語，通曉韓語，從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個小組．（1）求被選中的概率；（6分）；（2）求不全被選中的概率．（6分）參考答案：用表示“被抽中”這一事件，則｛,,,｝,事件由4個基本事件組成，因而.（6分）（2）用表示“不全被選中”這一事件，則其對立事件表示“全被選中”這一事件，由于=｛,,｝,事件由3各基本事件組成，因而,由對立事件的概率公式得