第1課時函數(shù)的表示法必備知識·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思在初中我們學(xué)習(xí)了哪些表示函數(shù)的方法？解析法用___________表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系列表法列出_____來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系圖象法用_____表示兩個變量之間的關(guān)系2.本質(zhì)：兩個變量對應(yīng)關(guān)系的三種不同方式的表示.3.應(yīng)用：表示函數(shù)的兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.數(shù)學(xué)表達(dá)式表格圖象【思考】函數(shù)的三種表示方法各有哪些優(yōu)缺點(diǎn)？提示：表示方法優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)列表法不需要計算就可以直接看出與自變量對應(yīng)的函數(shù)值只能表示自變量可以一一列出的函數(shù)關(guān)系圖象法能形象直觀地表示出函數(shù)的變換情況只能近似地求出函數(shù)值，而且有時誤差較大解析法(1)簡明、全面地概括了變量間的關(guān)系，從“數(shù)”的方面揭示了函數(shù)關(guān)系；(2)可以通過解析式求出任意一個自變量所對應(yīng)的函數(shù)值不夠形象、直觀，而且并不是所有的函數(shù)都能用解析法表示出來【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)(1)任何一個函數(shù)都可以用圖象法表示出來. ()(2)任何一個函數(shù)都可以用解析法表示出來. ()(3)函數(shù)的圖象一定是連續(xù)不斷的曲線. ()提示：(1)×.如函數(shù)f(x)=就不能畫出函數(shù)的圖象.(2)×.如時間與空氣質(zhì)量指數(shù)的函數(shù)關(guān)系就無法用解析法表示.(3)×.如y=的圖象就是不連續(xù)的曲線.2.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，其中點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(0，3)，(3，0)，則f(f(0))= ()

【解析】選C.結(jié)合題圖可得f(0)=3，則f(f(0))=f(3)=0.3.(教材二次開發(fā)：例題改編)某商場新進(jìn)了10臺彩電，每臺售價3000元，試求售出臺數(shù)x(x為正整數(shù))與收款數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系，用解析法表示y=____.

【解析】用解析法表示y=3000x，x∈{1，2，3，…，10}.答案：3000x，x∈{1，2，3，…，10}關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一函數(shù)的表示方法(數(shù)學(xué)建模)【題組訓(xùn)練】1.已知x∈Q時，f(x)=1；x為無理數(shù)時，f(x)=0，我們知道函數(shù)表示法有三種：①列表法，②圖象法，③解析法，那么該函數(shù)y=f(x)應(yīng)用_______表示(填序號).

2.某問答游戲的規(guī)則是：共5道選擇題，基礎(chǔ)分為50分，每答錯一道題扣10分，答對不扣分.試分別用列表法、圖象法、解析法表示一個參與者的得分y與答錯題目道數(shù)x(x∈{0，1，2，3，4，5})之間的函數(shù)關(guān)系.【解析】1.因?yàn)镼和無理數(shù)的元素?zé)o法具體表示，所以①列表法，②圖象法，都無法建立x和y之間的對應(yīng)關(guān)系，所以不能表示函數(shù)y=f(x).③利用解析法表示為f(x)=答案：③2.(1)列表法，列出參賽者得分y與答錯題目道數(shù)x(x∈{0，1，2，3，4，5})之間的函數(shù)關(guān)系為：x012345y50403020100(2)圖象法，畫出參賽者得分y與答錯題目道數(shù)x(x∈{0，1，2，3，4，5})之間的函數(shù)關(guān)系如圖：(3)解析法，參賽者得分y與答錯題目道數(shù)x(x∈{0，1，2，3，4，5})之間的函數(shù)關(guān)系為：y=50-10x，x∈{0，1，2，3，4，5}.【解題策略】關(guān)于函數(shù)的三種表示方法三種表示方法用不同方式表示出了函數(shù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，各有優(yōu)缺點(diǎn)，在解題的過程中，可以選取最適合的方法表示函數(shù).【補(bǔ)償訓(xùn)練】某公共汽車，行進(jìn)的站數(shù)與票價關(guān)系如表：行進(jìn)的站數(shù)123456789票價111222333此函數(shù)的關(guān)系除了列表之外，能否用其他方法表示？【解析】設(shè)票價為y元，行進(jìn)的站數(shù)為x，解析法：y=圖象法：類型二函數(shù)的圖象及其應(yīng)用(直觀想象)【典例】1.(2020·徐州高一檢測)函數(shù)y=的圖象的大致形狀是()

2.已知函數(shù)f(x)=x2-2x(-1≤x≤2).(1)畫出f(x)圖象的簡圖.(2)根據(jù)圖象寫出f(x)的值域.【思路導(dǎo)引】1.分x>0，x<0兩種情況作出判斷.2.先作出圖象，再根據(jù)圖象寫值域.【解析】1.選C.函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，當(dāng)x>0時，y==-x；當(dāng)x<0時，y==x，則對應(yīng)的圖象為C.2.(1)f(x)圖象的簡圖如圖所示.

(2)觀察f(x)的圖象可知，f(x)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是[-1，3]，即f(x)的值域是[-1，3].【解題策略】畫函數(shù)圖象的兩種常見方法(1)描點(diǎn)法：一般步驟：①列表——先找出一些(有代表性的)自變量x，并計算出與這些自變量相對應(yīng)的函數(shù)值f(x)，用表格的形式表示出來；②描點(diǎn)——從表中得到一系列的點(diǎn)(x，f(x))，在坐標(biāo)平面上描出這些點(diǎn)；③連線——用光滑曲線把這些點(diǎn)按自變量由小到大的順序連接起來.(2)變換作圖法：常用的有水平平移變換、豎直平移變換、翻折變換等.【跟蹤訓(xùn)練】作出下列函數(shù)的圖象并寫出其值域.(1)y=-x，x∈{0，1，-2，3}.(2)y=，x∈[2，+∞).【解析】(1)列表x-2013y20-1-3函數(shù)圖象只是四個點(diǎn)(-2，2)，(0，0)，(1，-1)，(3，-3)，其值域?yàn)閧0，-1，2，-3}.(2)列表x234…y1

…當(dāng)x∈[2，+∞)時，圖象是反比例函數(shù)y=的一部分，觀察圖象可知其值域?yàn)?0，1].【拓展延伸】關(guān)于圖象變換的常見結(jié)論有哪些？提示：(1)y=f(x)與y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱.(2)y=f(x)與y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱.(3)y=f(x)與y=-f(-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，0)對稱.(4)y=f(|x|)是保留y=f(x)的y軸右邊的圖象，去掉y軸左邊的圖象，且將右邊圖象沿y軸對折而成.(5)y=|f(x)|是保留y=f(x)的x軸上方的圖象，將x軸下方的圖象沿x軸對折且去掉x軸下方的圖象而成.【拓展訓(xùn)練】已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=f(|x|)的圖象為 ()【解析】選B.函數(shù)y=f(|x|)=，x≥0時，函數(shù)y=f(|x|)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象相同，當(dāng)x<0時，f(x)的圖象與x>0時的圖象關(guān)于y軸對稱.所以函數(shù)y=f(|x|)的圖象為：.類型三求函數(shù)的解析式(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)

角度1待定系數(shù)法

【典例】一輛中型客車的營運(yùn)總利潤y(單位：萬元)與營運(yùn)年數(shù)x(x∈N)的變化關(guān)系如表所示，要使總利潤達(dá)到最大值，則該客車的營運(yùn)年數(shù)是_______，營運(yùn)10年的總利潤是_______萬元.

x/年468…y是x的二次函數(shù)7117…【思路導(dǎo)引】由一元二次函數(shù)的對稱性可得最大值時的年數(shù)；求出函數(shù)的解析式，計算營運(yùn)10年的總利潤.【解析】由表格數(shù)據(jù)可知，f(4)=f(8)=7.f(6)>f(8)，則二次函數(shù)開口向下，且對稱軸為x=6，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x=6時，營運(yùn)總利潤y最大為11；設(shè)y=a(x-6)2+11，則a(4-6)2+11=7，解得a=-1，所以當(dāng)x=10時，y=-5.答案：6-5角度2代入法

【典例】若則f(x)=_______.

【思路導(dǎo)引】令t=1+，換元求解析式.【解析】設(shè)t=1+，則t≠1，=t-1，因?yàn)樗詅(t)=(t-1)2-1=t2-2t，所以f(x)=x2-2x，(x≠1).答案：x2-2x，(x≠1)【變式探究】本例中若已知，試求函數(shù)的解析式及定義域.【解析】因?yàn)?-2，令t=x+，所以f(t)=t2-2，因?yàn)閤>0，所以t=x+≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立，所以f(x)=x2-2(x≥2).角度3解方程組法

【典例】已知2f(x)+f()=3x，求f(x).【思路導(dǎo)引】用替換x，代入后消去f().【解析】因?yàn)?f(x)+f()=3x，用替換x得2f()+f(x)=，消去f()得3f(x)=6x-，所以f(x)=2x-.【解題策略】根據(jù)已知的函數(shù)類型，設(shè)出函數(shù)的解析式，再根據(jù)條件求系數(shù)，常見的函數(shù)設(shè)法：正比例函數(shù)y=kx，k≠0反比例函數(shù)y=，k≠0一元一次函數(shù)y=kx+b，k≠0一元二次函數(shù)一般式：y=ax2+bx+c，a≠0頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k，a≠0兩點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)，a≠0已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，令t=g(x)，當(dāng)x比較容易解出時，可以解出x換元代入；當(dāng)x不容易解出時，可以考慮先構(gòu)造，如f(1+)=x2+=(x+)2-2，令t=x+，換元代入.換元法還要注意換元t的范圍.方程組法(消去法)，適用于自變量具有對稱規(guī)律的函數(shù)表達(dá)式，如互為相反數(shù)的f(-x)，f(x)的函數(shù)方程，通過對稱規(guī)律再構(gòu)造一個關(guān)于f(-x)，f(x)的方程，聯(lián)立解出f(x).【題組訓(xùn)練】φ(x)=f(x)+g(x)，其中f(x)是x的正比例函數(shù)，g(x)是x的反比例函數(shù)，且φ()=16，φ(1)=8，則φ(x)的解析式為_______.

【解析】設(shè)f(x)=mx(m≠0)，g(x)=(n≠0)，所以φ(x)=mx+，由φ()=16，φ(1)=8得解得故φ(x)=3x+，x≠0.答案：φ(x)=3x+，x≠02.已知f()=，那么f(x)=_______，定義域?yàn)開______.

【解析】由f()=可知，函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0，x≠-1}，用替換x，代入上式得：f(x)=答案：{x|x≠0，x≠-1}3.已知f(x)+2f(-x)=，求f(x).【解析】因?yàn)閒(x)+2f(-x)=，①用-x替換x得f(-x)+2f(x)=-，②②×2-①得3f(x)=--=-，所以f(x)=-.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知f(x)滿足f(x)=2f()+x，則f(x)的解析式為_______.

【解析】因?yàn)閒(x)=2f()+x，用替換x得f()=2f(x)+，代入上式得f(x)=解得f(x)=.答案：f(x)=課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.如圖是反映某市某一天的溫度隨時間變化情況的圖象.由圖象可知，下列說法中錯誤的是 ()

C.這天的最高溫度與最低溫度相差13℃D.這天21時的溫度是30℃【解析】選C.這天的最高溫度與最低溫度相差為36-22=14(℃).2.已知函數(shù)f(x)滿足：f()=8x2-2x-1，則f(x)=()4+3x24-3x24+x24-x2【解析】選A.令t=，t≥0，得x=，故有f(t)=8×-2×-1，整理得f(t)=2t4+3t2，即f(x)=2x4+3x2，x≥0.3.(教材二次開發(fā)：復(fù)習(xí)鞏固改編)已知函數(shù)f(x)=x-，且此函數(shù)的圖象過點(diǎn)(5，4)，則實(shí)數(shù)m的值為_______.

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x-的圖象過點(diǎn)(5，4)，所以4=5-，解得m=5.答案：54.已知函數(shù)y=f(x)的對應(yīng)關(guān)系如表所示，函數(shù)y=g(x)的圖象是如圖的曲線ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，則f(g(2))的值為___________.

x123f(x)230【解析】由函數(shù)g(x)的圖象知，g(2)=1，則f(g(