1第二章離散傅里葉變換(DFT)宋華軍中國石油大學（華東）信控學院2傅里葉變換是解決實際問題的工具，被作為信號分析的基礎工具而廣泛使用。傅里葉（J.B.J.Fourier法國數學家）被世人銘記的最大貢獻記載在1807年《熱的傳播》中，和1822年出版的“熱分析理論”一書中。Fourier（1768-1830）31753年，Bernoulli就推斷一振動的弦可以表示成正弦加權和的形式，但是他未能給出所需的加權系數。Jean-Baptiste-JosephFourier于1768年3月出生在法國的Auxerre，當他8歲時不幸成了一名孤兒，Fourier對數學產生了濃厚的興趣。21歲那年，Fourier在巴黎學術界論述了有關數值方程解的著名論作，這一工作使他在巴黎的數學界出名。Fourier41798年，拿破侖侵略埃及，在侵略隊伍中一些有名的數學家和科學家，Fourier就是其中的一位。回國后，Fourier被任命為格勒諾布爾伊澤爾省的長官，就是在此期間，Fourier完成了其經典之作Theorieanalytiquedelachaleur（熱能數學原理）在該著作中，他證明了任一周期函數都可以表示成正弦函數和的形式，其中正弦函數的頻率為周期頻率的整數倍。Fourier5傅里葉特殊貢獻：任何周期函數都可以表示為不同頻率的正弦、或余弦和的形式。無論函數多復雜，只要是周期的，并滿足一定條件，都可以用正弦、或余弦的和表現。甚至曲線有限的非周期函數。6離散傅里葉變換不僅具有明確的物理意義，相對于DTFT更便于用計算機處理。直至上個世紀六十年代，由于數字計算機的處理速度較低以及離散傅里葉變換的計算量較大，離散傅里葉變換長期得不到真正的應用，快速離散傅里葉變換算法的提出，才得以顯現出離散傅里葉變換的強大功能并被廣泛地應用于各種數字信號處理系統中。近年來，計算機的處理速率有了驚人的發展，同時在數字信號處理領域出現了許多新的方法，但在許多應用中始終無法替代離散傅里葉變換及其快速算法。7§2-1傅里葉變換的幾種形式結論：一非周期連續時間函數對應于一非周期連續頻率函數t時域x(t)、x(n)與頻域X(j)、X(ej)之間的變換關系一、連續時間與連續頻率的傅立葉變換8二、離散時間與連續頻率的傅里葉變換

即：時域離散序列的傅里葉變換結論：非周期的離散時間函數對應于周期性連續頻率函數。9三、連續時間與離散頻率的傅里葉表示（變換）

即周期性信號的傅里葉表示：

結論：周期性連續的時間函數對應于非周期的離散頻率函數10四、離散時間與離散頻率的傅里葉變換對傅里葉變換，t與f是對稱的因此在頻域上取樣將在時域上得到周期函數即：周期性的離散時間函數對應于周期性離散頻率函數

---離散傅里葉級數DFS12一、定義已知x(n)0≤n≤N-1有限長,則其傅里葉變換

§2-2離散傅里葉級數(DFS)記為：對頻域取樣，一周期內取樣N點，將使時域x(n)周期化為13ω被離散化：即：DFS系數具有周期性，周期為N14兩邊同乘并對一周期求和反變換：15161718

例設x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期，進行周期延拓，得到周期序列，周期為8，求的DFS。解：1920二、的物理意義即是在的一個周期所得序列的Z變換單位圓上等間隔取樣得到的。每循環一次，得到的一個周期21三、DFS的性質1、線性：兩個周期都是N的周期序列，兩個序列和的DFS系數，等于DFS系數之和222、序列移位

(1)時域移位(2)頻域移位令i=n+m證明：233、周期卷積（1）時域卷積兩個周期信號（序列）的卷積，只限在一個周期內卷積。2425周期卷積26周期卷積周期為5

~x(n)~h(n)nn27周期卷積~x(k)~h(0-k)k~y(0)n28周期卷積~x(k)~h(1-k)k~

y(1)n29周期卷積~x(k)~h(2-k)k~y(2)n30周期卷積~x(k)~h(3-k)k~y(3)n31周期卷積~x(k)~h(4-k)k~y(4)n32周期卷積~

y(n)n先計算主值區間