第三節一、隱函數的導數二、由參數方程所確定的函數的導數隱函數和由參數方程所確定的函數的導數

第二章

2023/7/151一、隱函數的導數1.定義注1°如：若由方程可確定y是

x

的函數,函數y為由此方程所確定的隱函數

.則稱2°確定了一個隱函數：y=y(x)解出，則稱此隱函數可顯化；2023/7/152例13°確定了一個隱函數：但不能顯化.y=y(x),

x(-,0),事實上，總有唯一確定的y0

，2023/7/153例2問題:

隱函數不易顯化或不能顯化時如何求其導數?解(方法1)(方法2)2023/7/154另一方面，一方面，2023/7/155隱函數求導方法:兩邊對

x

求導(含導數y

的方程)用復合函數求導法則，直接對方程兩邊求導，2.隱函數求導法則2023/7/156解解得求由方程所確定的隱函數y的導數方程兩邊對x求導,由原方程知例32023/7/157

先在方程兩邊取對數,然后利用隱函數的求導方法求出導數.3.隱函數求導法的應用

——對數求導法(1)方法不易求導易求導2023/7/158(2)適用范圍按指數函數求導公式按冪函數求導公式注意:取對數得兩邊求導：2023/7/159例4求的導數.解兩邊對x

求導求冪指函數導數用對數求導法(方法1)對數求導法兩邊取對數,化為隱式方程：2023/7/1510(方法2)復合函數求導法注××??2023/7/1511例5解2023/7/1512例6兩邊對x

求導：2023/7/1513二、由參數方程所確定的函數的導數例如，消去參數問題:消去參數困難或無法消去參數時，如何求函數的導數?2023/7/1514結論(由參數方程所確定的函數的求導公式)則由參數方程所單調且連續的反函數且能構成復合確定的函數可導，函數：且2023/7/1515定點的軌跡稱為擺線,一個半徑為a的圓在定直線上滾動時,圓周上任一所確定的函數y=y(x)

的導數解

例7計算由擺線的參數方程:2023/7/1516擺線簡介：即半徑為a

的圓周沿直線無滑動地滾動時,M的軌跡即為擺線.其上定點2023/7/1517解例8先寫出曲線的參數方程：2023/7/1518

皮肌炎是一種引起皮膚、肌肉、心、肺、腎等多臟器嚴重損害的，全身性疾病，而且不少患者同時伴有惡性腫瘤。它的1癥狀表現如下：1、早期皮肌炎患者，還往往伴有全身不適癥狀，如-全身肌肉酸痛，軟弱無力，上樓梯時感覺兩腿費力；舉手梳理頭發時，舉高手臂很吃力；抬頭轉頭緩慢而費力。皮肌炎圖片——皮肌炎的癥狀表現2023/7/1520例9解,求設方程組兩邊同時對t求導,得2023/7/15212023/7/1522內容小結直接對方程兩邊求導2.

對數求導法:適用于冪指函數及某些用連乘,連除,乘方,開方表示的函數由參數方程所確定的函數求導法用極坐標方程給出的函數求導轉化1.

隱函數求導法則2023/7/1523思考題求提示:

分別用對數求導法求答案:2023/7/1524備用題

例3-1解2023/7/15252023/7/1526例3-2求橢圓在點處的切線方程.解

橢圓方程兩邊對

x

求導故切線方程為即2023/7/1527例3-3在x=0處的導數解

方程兩邊對

x

求導得由原方程得x=0時y=0,故確定的例3-3求由方程隱函數2023/7/1528求其反函數的導數.解(方法1)(方法2)等式兩邊同時對求導例3-4設2023/7/1529例4-1解2023/7/15302023/7/1531設解等式兩邊取對數得求例6-12023/7/1532解例7-12023/7/1533例7-2拋射體運動軌跡的參數方程為求拋射體在時刻t

的運動速度的大小和方向.解

先求速度大小:速度的水平分量為鉛直分量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線方向):2023/7/1534設

為切線傾角,則在剛射出(即t=0)時,傾角為達到最高點的時刻高度落地時刻拋射