第三章由已知分布的隨機抽樣隨機抽樣及其特點直接抽樣方法挑選抽樣方法復合抽樣方法復合挑選抽樣方法替換抽樣方法隨機抽樣的一般方法隨機抽樣的其它方法作業3.由巳知分布的隨機抽樣第三章由已知分布的隨機抽樣

本章敘述由己知分布抽樣的各主要方法，并給出在粒子輸運問題中經常用到的具體實例。3.由巳知分布的隨機抽樣隨機抽樣及其特點

由巳知分布的隨機抽樣指的是由己知分布的總體中抽取簡單子樣。隨機數序列是由單位均勻分布的總體中抽取的簡單子樣，屬于一種特殊的由已知分布的隨機抽樣問題。本章所敘述的由任意已知分布中抽取簡單子樣，是在假設隨機數為已知量的前提下，使用嚴格的數學方法產生的。為方便起見，用XF表示由己知分布F(x)中產生的簡單子樣的個體。對于連續型分布，常用分布密度函數f(x)表示總體的己知分布，用Xf表示由己知分布密度函數f(x)產生的簡單子樣的個體。另外，在抽樣過程中用到的偽隨機數均稱隨機數。3.由巳知分布的隨機抽樣直接抽樣方法

對于任意給定的分布函數F(x)，直接抽樣方法如下：其中，ξ1，ξ2，…，ξN為隨機數序列。為方便起見，將上式簡化為：若不加特殊說明，今后將總用這種類似的簡化形式表示，ξ總表示隨機數。3.由巳知分布的隨機抽樣證明

下面證明用前面介紹的方法所確定的隨機變量序列X1，X2，…，XN具有相同分布F(x)。對于任意的n成立，因此隨機變量序列X1，X2，…，XN具有相同分布F(x)。另外，由于隨機數序列ξ1，ξ2，…，ξN是相互獨立的，而直接抽樣公式所確定的函數是波雷爾（Borel）可測的，因此，由它所確定的X1，X2，…，XN也是相互獨立的（[P.R.Halmos,Measuretheory,N.Y.VonNosrtand,1950]§45定理2）。3.由巳知分布的隨機抽樣離散型分布的直接抽樣方法

對于任意離散型分布：其中x1，x2，…為離散型分布函數的跳躍點，P1，P2，…為相應的概率，根據前述直接抽樣法，有離散型分布的直接抽樣方法如下：該結果表明，為了實現由任意離散型分布的隨機抽樣，直接抽樣方法是非常理想的。3.由巳知分布的隨機抽樣例1.二項分布的抽樣

二項分布為離散型分布，其概率函數為：其中，P為概率。對該分布的直接抽樣方法如下：3.由巳知分布的隨機抽樣例2.泊松(Possion)分布的抽樣

泊松(Possion)分布為離散型分布，其概率函數為：其中，λ>0。對該分布的直接抽樣方法如下：3.由巳知分布的隨機抽樣例3.擲骰子點數的抽樣

擲骰子點數X=n的概率為：選取隨機數ξ，如則在等概率的情況下，可使用如下更簡單的方法：其中［］表示取整數。3.由巳知分布的隨機抽樣例4.碰撞核種類的確定

中子或光子在介質中發生碰撞時，如介質是由多種元素組成，需要確定碰撞核的種類。假定介質中每種核的宏觀總截面分別為Σ1，Σ2，…，Σn，則中子或光子與每種核碰撞的概率分別為：其中Σt＝Σ1＋Σ2＋…＋Σn。碰撞核種類的確定方法為：產生一個隨機數ξ，如果則中子或光子與第I種核發生碰撞。3.由巳知分布的隨機抽樣例5.中子與核的反應類型的確定

假設中子與核的反應類型有如下幾種:彈性散射，非彈性散射，裂變，吸收，相應的反應截面分別為Σel，Σin，Σf，Σa。則發生每一種反應類型的概率依次為：其中反應總截面Σt＝Σel＋Σin＋Σf＋Σa。3.由巳知分布的隨機抽樣

反應類型的確定方法為：產生一個隨機數ξ

3.由巳知分布的隨機抽樣連續型分布的直接抽樣方法

對于連續型分布，如果分布函數F(x)的反函數

F－1(x)存在，則直接抽樣方法是：3.由巳知分布的隨機抽樣例6.在［a，b］上均勻分布的抽樣

在［a，b］上均勻分布的分布函數為：則3.由巳知分布的隨機抽樣例7.β分布β分布為連續型分布，作為它的一個特例是：其分布函數為：

則3.由巳知分布的隨機抽樣例8.指數分布

指數分布為連續型分布，其一般形式如下：其分布函數為：

則因為1－ξ也是隨機數，可將上式簡化為3.由巳知分布的隨機抽樣

連續性分布函數的直接抽樣方法對于分布函數的反函數存在且容易實現的情況，使用起來是很方便的。但是對于以下幾種情況，直接抽樣法是不合適的。分布函數無法用解析形式給出，因而其反函數也無法給出。分布函數可以給出其解析形式，但是反函數給不出來。分布函數即使能夠給出反函數，但運算量很大。下面敘述的挑選抽樣方法是克服這些困難的比較好的方法。3.由巳知分布的隨機抽樣挑選抽樣方法

為了實現從己知分布密度函數f(x)抽樣，選取與f(x)取值范圍相同的分布密度函數h(x)，如果則挑選抽樣方法為：>3.由巳知分布的隨機抽樣

即從h(x)中抽樣xh，以的概率接受它。下面證明xf

服從分布密度函數f(x)。證明：對于任意x

3.由巳知分布的隨機抽樣3.由巳知分布的隨機抽樣

使用挑選抽樣方法時，要注意以下兩點：選取h(x)時要使得h(x)容易抽樣且M的值要盡量小。因為M小能提高抽樣效率。抽樣效率是指在挑選抽樣方法中進行挑選時被選中的概率。按此定義，該方法的抽樣效率E為：所以，M越小，抽樣效率越高。3.由巳知分布的隨機抽樣

當f(x)在［0，1］上定義時，取h(x)=1，Xh=ξ，此時挑選抽樣方法為>3.由巳知分布的隨機抽樣例9.圓內均勻分布抽樣

令圓半徑為R0，點到圓心的距離為r，則r的分布密度函數為分布函數為容易知道，該分布的直接抽樣方法是3.由巳知分布的隨機抽樣

由于開方運算在計算機上很費時間，該方法不是好方法。下面使用挑選抽樣方法：取則抽樣框圖為＞≤3.由巳知分布的隨機抽樣

顯然，沒有必要舍棄ξ1＞ξ2的情況，此時，只需取就可以了，亦即另一方面，也可證明與具有相同的分布。3.由巳知分布的隨機抽樣復合抽樣方法

在實際問題中，經常有這樣的隨機變量，它服從的分布與一個參數有關，而該參數也是一個服從確定分布的隨機變量，稱這樣的隨機變量服從復合分布。例如，分布密度函數是一個復合分布。其中Pn≥0，n=1，2，…，且

fn(x)為與參數n有關的分布密度函數，n=1，2，…，參數n服從如下分布3.由巳知分布的隨機抽樣

復合分布的一般形式為：其中f2(x/y)表示與參數y有關的條件分布密度函數，F1(y)表示分布函數。 復合分布的抽樣方法為:首先由分布函數F1(y)或分布密度函數f1(y)中抽樣YF1或Yf1，然后再由分布密度函數f2(x/YF1)中抽樣確定Xf2(x/YF)

證明：所以，Xf所服從的分布為f

(x)。3.由巳知分布的隨機抽樣例10.指數函數分布的抽樣

指數函數分布的一般形式為：引入如下兩個分布密度函數：3.由巳知分布的隨機抽樣

則使用復合抽樣方法，首先從f1(y)中抽取y

再由f2(x/YF1)中抽取x

3.由巳知分布的隨機抽樣復合挑選抽樣方法

考慮另一種形式的復合分布如下：其中0≤H(x,y)≤M，f2(x/y)表示與參數y有關的條件分布密度函數，F1(y)表示分布函數。抽樣方法如下：>3.由巳知分布的隨機抽樣

證明：抽樣效率為：E=1/M3.由巳知分布的隨機抽樣

為了實現某個復雜的隨機變量y的抽樣，將其表示成若干個簡單的隨機變量x1，x2，…，xn

的函數 得到x1，x2，…，xn的抽樣后，即可確定y的抽樣，這種方法叫作替換法抽樣。即替換抽樣方法3.由巳知分布的隨機抽樣例11.散射方位角余弦分布的抽樣

散射方位角φ在［0,2π］上均勻分布，則其正弦和余弦sinφ和cosφ服從如下分布： 直接抽樣方法為：3.由巳知分布的隨機抽樣

令φ=2θ，則θ在［0,π］上均勻分布，作變換 其中0≤ρ≤1，0≤ρ≤π，則

(x,y)表示上半個單位圓內的點。如果(x,y)在上半個單位圓內均勻分布，則θ在［0,π］上均勻分布，由于3.由巳知分布的隨機抽樣

因此抽樣sinφ和cosφ的問題就變成在上半個單位圓內均勻抽樣(x,y)的問題。 為獲得上半個單位圓內 的均勻點，采用挑選法，在 上半個單位圓的外切矩形內 均勻投點（如圖）。 舍棄圓外的點，余下的就是所要求的點。 抽樣方法為： 抽樣效率

E=π/4≈0.785>3.由巳知分布的隨機抽樣

為實現散射方位角余弦分布抽樣，最重要的是在上半個單位圓內產生均勻分布點。下面這種方法，首先在單位圓的半個外切正六邊形內產生均勻分布點，如圖所示。3.由巳知分布的隨機抽樣

于是便有了抽樣效率更高的抽樣方法： 抽樣效率>≤3.由巳知分布的隨機抽樣例12.正態分布的抽樣

標準正態分布密度函數為： 引入一個與標準正態隨機變量X獨立同分布的隨機變量Y，則（X,Y）的聯合分布密度為： 作變換3.由巳知分布的隨機抽樣

則（ρ,φ）的聯合分布密度函數為： 由此可知，ρ與φ相互獨立，其分布密度函數分別為 分別抽取ρ，φ

：3.由巳知分布的隨機抽樣

從而得到一對服從標準正態分布的隨機變量X和Y： 對于一般的正態分布密度函數N(μ,σ2)的抽樣，其抽樣結果為：3.由巳知分布的隨機抽樣例13.β分布的抽樣

β分布密度函數的一般形式為： 其中n，k為整數。為了實現β分布的抽樣，將其看作一組簡單的相互獨立隨機變量的函數，通過這些簡單隨機變量的抽樣，實現β分布的抽樣。設x1，x2，…，xn

為一組相互獨立、具有相同分布F(x)的隨機變量，ζk為x1，x2，…，xn

按大小順序排列后的第k個，記為：3.由巳知分布的隨機抽樣

則ζk的分布函數為： 當F(x)=x

時， 不難驗證，ζk的分布密度函數為β分布。因此，β分布的抽樣可用如下方法實現： 選取n個隨機數，按大小順序排列后取第k個，即3.由巳知分布的隨機抽樣隨機抽樣的一般方法

加抽樣方法減抽樣方法乘抽樣方法乘加抽樣方法乘減抽樣方法對稱抽樣方法積分抽樣方法3.由巳知分布的隨機抽樣加抽樣方法

加抽樣方法是對如下加分布給出的一種抽樣方法：其中Pn≥0，

，且

fn(x)為與參數n有關的分布密度函數，n=1，2，…。 由復合分布抽樣方法可知，加分布的抽樣方法為:首先抽樣確定n’，然后由fn’(x)中抽樣x，即：3.由巳知分布的隨機抽樣例14.多項式分布抽樣

多項式分布密度函數的一般形式為：將f(x)改寫成如下形式：則該分布的抽樣方法為：3.由巳知分布的隨機抽樣例15.球殼內均勻分布抽樣

設球殼內半徑為R0，外半徑為R1，點到球心的距離為r，則r的分布密度函數為分布函數為 該分布的直接抽樣方法是3.由巳知分布的隨機抽樣

為避免開立方根運算，作變換： 則x∈[0,1]，其分布密度函數為： 其中3.由巳知分布的隨機抽樣

則x及r的抽樣方法為：≤≤>>3.由巳知分布的隨機抽樣減抽樣方法

減抽樣方法是對如下形式的分布密度所給出的一種抽樣方法：其中A1、A2為非負實數，f1(x)

、f2(x)均為分布密度函數。 減抽樣方法分為以下兩種形式：

以上兩種形式的抽樣方法，究竟選擇哪種好，要看f1(x)

、f2(x)哪一個容易抽樣，如相差不多，選用第一種方法抽樣效率高。3.由巳知分布的隨機抽樣

（1）將f

(x)表示為令m表示f2(x)／f1(x)的下界，使用挑選法，從f1(x)中抽取Xf1

抽樣效率為：>3.由巳知分布的隨機抽樣

（2）將f

(x)表示為使用挑選法，從f2(x)中抽取Xf2

抽樣效率為：>3.由巳知分布的隨機抽樣例16.β分布抽樣 β分布的一個特例： 取A1＝2，A2＝1，f1(x)＝1，f2(x)＝2x，此時m＝0，則根據第一種形式的減抽樣方法，有 或＞≤＞≤3.由巳知分布的隨機抽樣

由于1－ξ1可用ξ1代替，該抽樣方法可簡化為： 對于ξ2＞ξ1的情況，可取Xf＝ξ1

，因此 與β分布的推論相同。＞≤3.由巳知分布的隨機抽樣

如下形式的分布稱為乘分布：其中H(x)為非負函數，

f1(x)為任意分布密度函數。 令M為H(x)的上界，乘抽樣方法如下：抽樣效率為：乘抽樣方法≤＞3.由巳知分布的隨機抽樣例17.倒數分布抽樣

倒數分布密度函數為： 其直接抽樣方法為： 下面采用乘抽樣方法，考慮如下分布族： 其中i=1，2，…，該分布的直接抽樣方法為：3.由巳知分布的隨機抽樣

利用這一分布族，將倒數分布f(x)表示成:

其中， 乘法分布的抽樣方法如下:

該分布的抽樣效率為：＞≤3.由巳知分布的隨機抽樣例18.麥克斯韋(Maxwell)分布抽樣

麥克斯韋分布密度函數的一般形式為： 使用乘抽樣方法，令 該分布的直接抽樣方法為：3.由巳知分布的隨機抽樣

此時 則麥克斯韋分布的抽樣方法為:

該分布的抽樣效率為：＞≤3.由巳知分布的隨機抽樣

在實際問題中，經常會遇到如下形式的分布：其中Hn(x)為非負函數，fn(x)為任意分布密度函數，n=1，2，…。不失一般性，只考慮n=2的情況：

將f(x)改寫成如下的加分布形式：乘加抽樣方法3.由巳知分布的隨機抽樣

其中3.由巳知分布的隨機抽樣

乘加抽樣方法為：該方法的抽樣效率為：>>>≤3.由巳知分布的隨機抽樣

這種方法需要知道P1的值(P2=1－P1），這對有些分布是很困難的。下面的方法可以不用計算P1

：對于任意小于1的正數P1

，令P2=1－P1

；

則采用復合挑選抽樣方法，有：3.由巳知分布的隨機抽樣

當取時，抽樣效率最高這時，乘加抽樣方法為：>>>≤3.由巳知分布的隨機抽樣

由于可知第一種方法比第二種方法的抽樣效率高。3.由巳知分布的隨機抽樣例19.光子散射后能量分布的抽樣

令光子散射前后的能量分別為

和（以m0c2

為單位，m0為電子靜止質量，c

為光速），， 則x

的分布密度函數為： 該分布即為光子散射能量分布，它是由著名的Klin－Nishina

公式確定的。其中K(α)為歸一因子：3.由巳知分布的隨機抽樣

把光子散射能量分布改寫成如下形式： 在［1,1+2α］上定義如下函數:3.由巳知分布的隨機抽樣

則有 使用乘加抽樣方法：3.由巳知分布的隨機抽樣

光子散射能量分布的抽樣方法為： 該方法的抽樣效率為：＞＞＞≤≤≤3.由巳知分布的隨機抽樣

乘減分布的形式為： 其中H1(x)、H2(x)為非負函數，f1(x)、f2(x)為任意分布密度函數。 與減抽樣方法類似，乘減分布的抽樣方法也分為兩種。乘減抽樣方法3.由巳知分布的隨機抽樣

（1）將f

(x)表示為 令H1(x)的上界為M1，的下界為m，使用乘抽 樣方法得到如下乘減抽樣方法：>3.由巳知分布的隨機抽樣

（2）將f

(x)表示為 令H2(x)的上界為M2，使用乘抽樣方法，得到另一種乘減抽樣方法：>3.由巳知分布的隨機抽樣例20.裂變中子譜分布抽樣

裂變中子譜分布的一般形式為： 其中A，B，C，Emin，Emax

均為與元素有關的量。令 其中λ為歸一因子，γ為任意參數。3.由巳知分布的隨機抽樣

相應的H1(E)，H2(E)為： 于是裂變中子譜分布可以表示成乘減分布形式:

容易確定H1(E)的上界為： 為提高抽樣效率，應取γ使得M1

達到最小，此時3.由巳知分布的隨機抽樣

取m＝0，令 則裂變中子譜分布的抽樣方法為:

抽樣效率＞≤3.由巳知分布的隨機抽樣

對稱分布的一般形式為： 其中f1(x)為任意分布密度函數，滿足偶函數對稱條件，H(x)為任意奇函數，即對任意x滿足： 對稱分布的抽樣方法如下：取η=2ξ－1對稱抽樣方法>≤3.由巳知分布的隨機抽樣

證明： 因為η=2ξ－1，η≤x

相當于ξ≤，因此3.由巳知分布的隨機抽樣例21.質心系各向同性散射角余弦分布抽樣

在質心系各向同性散射的假設下，為得到實驗室系散射角余弦，需首先抽樣確定質心條散射角余弦： 再利用下面轉換公式:

得到實驗室系散射角余弦μL。其中A為碰撞核質量，θC、θL

分別為質心系和實驗室系散射角。3.由巳知分布的隨機抽樣

為避免開方運算，可以使用對稱分布抽樣。 根據轉換公式可得： 依照質心系散射各向同性的假定，可得到實驗室系散射角余弦μL

的分布如下： 該密度函數中的第一項為偶函數，第二項為奇函數，因而是對稱分布。其中3.由巳知分布的隨機抽樣

從f1(μL)的抽樣可使用挑選法 然后再以 的概率決定接受或取負值。 上述公式涉及開方運算，需要進一步簡化。＞≤3.由巳知分布的隨機抽樣

注意以下事實：對于任意0≤a≤1

令 則上述挑選抽樣中的挑選條件簡化為： 另一方面，在即的條件下，η2/a

在［－1,1］上均勻分布，故可令η＝η2/a，則最終決定取正負值的條件簡化為：3.由巳知分布的隨機抽樣

于是，得到質心系各向同性散射角余弦分布的抽樣方法為：＞≤＞≤3.由巳知分布的隨機抽樣

如下形式的分布密度函數 稱為積分分布密度函數，其中f0(x，y)為任意二維分布密度函數，H(x)為任意函數。該分布密度函數的抽樣方法為：積分抽樣方法>3.由巳知分布的隨機抽樣

證明：對于任意x

3.由巳知分布的隨機抽樣例22.各向同性散射方向的抽樣

為了確定各向同性散射方向，根據公式： 對于各向同性散射，cosθ在［－1,1］上均勻分布，φ在［0,2π］上均勻分布。由于 直接抽樣需要計算三角函數和開方。3.由巳知分布的隨機抽樣

定義兩個隨機變量： 可以證明，當時，隨機變量x

和y

服從如下分布:

定義區域為：3.由巳知分布的隨機抽樣

則w＝cosθ的分布可以用上述分布表示成積分分布的形式： 令，則屬于上述積分限內的y

一定滿足 條件。3.由巳知分布的隨機抽樣

各向同性散射方向的抽樣方法為： 抽樣效率為：＞≤3.由巳知分布的隨機抽樣隨機抽樣的其它方法

偏倚抽樣方法近似抽樣方法近似-修正抽樣方法多維分布抽樣方法指數分布的抽樣3.由巳知分布的隨機抽樣

使用蒙特卡羅方法計算積分 時，可考慮將積分I改寫為 其中f*(x)為一個與f(x)有相同定義域的新的分布密度函數。于是可以這樣計算積分I： 這里Xi

是從f*(x)中抽取的第i

個子樣。偏移抽樣方法3.由巳知分布的隨機抽樣

由此可以看出，原來由f(x)抽樣，現改為由另一個分布密度函數f*(x)抽樣，并附帶一個權重糾偏因子 這種方法稱為偏倚抽樣方法。 從f(x)中抽取的Xf

，滿足 而對于偏倚抽樣，有 一般情況下，Xf

是具有分布f(x)總體的簡單子樣的個體，只代表一個。Xf*

是具有分布f*(x)總體的簡單子樣的個體，但不代表一個，而是代表W(Xf*)個，這時Xf*是帶權W(Xf*)服從分布f(x)。3.由巳知分布的隨機抽樣

在實際問題中，分布密度函數的形式有時是非常復雜的，有些甚至不能用解析形式給出，只能用數據或曲線形式給出。如中子散射角余弦分布多數是以曲線形式給出的。對于這樣的分布，需要用近似分布密度函數代替原來的分布密度函數，用近似分布密度函數的抽樣代替原分布密度函數的抽樣，這種方法稱為近似抽樣方法。近似抽樣方法3.由巳知分布的隨機抽樣

設fa(x)≈f(x)，即fa(x)是f(x)的一個近似分布密度函數。對于階梯近似，有 其中，x0，x1，…，xn為任意分點。在此情況下，近似抽樣方法為：或階梯近似3.由巳知分布的隨機抽樣

對于梯形近似，有 其中，c

為歸一因子，fi

＝f(xi)，x0，x1，…，xn為任意分點。根據對稱抽樣方法，梯形近似抽樣方法為：梯形近似＞≤3.由巳知分布的隨機抽樣

除了上述這種近似外，近似抽樣方法還包括對直接抽樣方法中分布函數反函數的近似處理，以及用具有近似分布的隨機變量代替原分布的隨機變量。3.由巳知分布的隨機抽樣例23.正態分布的近似抽樣

我們知道，隨機數ξ的期望值為1/2，方差為1/12，則隨機變量 漸近正態分布，因此，當n

足夠大時便可用Xn

作為正態分布的近似抽樣。特別是n＝12時，有3.由巳知分布的隨機抽樣

對于任意分布密度函數f(x)，設fa(x)是f(x)的一個近似分布密度函數，它的特點是抽樣簡單，運算量小。令 則分布密度函數f(x)可以表示為乘加分布形式： 其中H1(x)為非負函數，f1(x)為一分布密度函數。 對f(x)而言，fa(x)是它的近似分布密度函數，而H1(x)f1(x)正好是這種近似的修正。近似-修正抽樣方法3.由巳知分布的隨機抽樣

近似-修正抽樣方法如下： 抽樣效率 由上述近似-修正抽樣方法可以看出，如果近似分布密度函數fa(x)選得好，m

接近1，這時有很大可能直接從fa(x)中抽取Xfa

，而只有很少的情況需要計算與f

(x)有關的函數H1(Xf1)。在乘抽樣方法中，每一次都要計算H(Xfa)＝f

(Xfa)／fa(Xfa)。因此，當f

(x)比較復雜時，近似-修正抽樣方法有很大好處。≤≤＞＞3.由巳知分布的隨機抽樣例24.裂變中子譜分布的近似-修正抽樣

裂