廣東省潮州市國(guó)立高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)

A．(-∞，2)

B．(-∞，]

C．(0,2)

D．[,2)參考答案：B略2.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，主視圖與側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，俯視圖為正方形，則該幾何體的全面積為（

）

A、4

B、8

C、12

D、4+4

參考答案：C略3.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．π B．π C．8π D．16π參考答案：B【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個(gè)圓柱挖去一個(gè)同底等高的圓錐，分別計(jì)算柱體和圓錐的體積，相減可得答案．【解答】解：由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個(gè)圓柱挖去一個(gè)同底等高的圓錐，圓柱和圓錐的底面直徑為4，故底面半徑為2，故底面面積S=4π，圓柱和圓錐的高h(yuǎn)=2，故組合體的體積V=（1﹣）Sh=，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀．4.如圖1，△ABC是等腰三角形，其中∠A=90°，且DB⊥BC，∠BCD=30°，現(xiàn)將△ABC沿邊BC折起，使得二面角A﹣BC﹣D大小為30°（如圖2），則異面直線BC與AD所成的角為(

) A．30° B．45° C．60° D．90°參考答案：A考點(diǎn)：二面角的平面角及求法．專題：空間角．分析：設(shè)AB=AC=2，則BC=2，BD=BCtan30°=，過(guò)點(diǎn)C作CM和BD平行且相等，則由題意可得BDMC為矩形，從而∠ADM（或其補(bǔ)角）為異面直線BC與AD所成的角．由此能求出異面直線BC與AD所成的角．解答： 解：設(shè)AB=AC=2，則BC=2，BD=BCtan30°=，過(guò)點(diǎn)C作CM和BD平行且相等，則由題意可得BDMC為矩形，∴∠ADM（或其補(bǔ)角）為異面直線BC與AD所成的角．取BC中點(diǎn)O，DM中點(diǎn)H，連結(jié)AO，HO，由已知得AO⊥BC，HO⊥BC，∴∠AOH是二面角A﹣BC﹣D的平面角，∴∠AOH=30°，由已知得AO=，HO=BD=，∴AH===，又AD=AM，H是DM中點(diǎn)，DH=，∴AH⊥DM，tan==，∴∠ADM=30°，∴異面直線BC與AD所成的角為30°．故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．5.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后得到的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后得到,因?yàn)槠鋱D象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以該函數(shù)為奇函數(shù)，故，解得，即，則正數(shù)的最小值為，故選B.

6.(8)函數(shù)y=f（x）的圖像如圖所示，在區(qū)間[a,b]上可找到n（n≥2）個(gè)不同的數(shù)x1，x2，…xn，使得f(x1)/x1=f(x2)/x2=…=f(xn)/xn,則n的取值范圍為(A)

{2,3}

(B){2,3,4}(C){3,4}

(D){3,4,5}參考答案：B表示到原點(diǎn)的斜率；表示與原點(diǎn)連線的斜率，而在曲線圖像上，故只需考慮經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線的交點(diǎn)有幾個(gè)，很明顯有3個(gè)，故選B.7.設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么雙曲線的離心率是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D8.等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，若a10+a11=10，則=（）A．l B．2 C．一l D．一2參考答案：D考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得S20，代入再由換底公式求得答案．解答：解：在等差數(shù)列{an}中，由a10+a11=10，得=10（a10+a11）=100，∴=．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．9.已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，頂角為120°，則E的離心率為（）A． B．2 C． D．參考答案：D考點(diǎn)： 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．

專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析： 設(shè)M在雙曲線﹣=1的左支上，由題意可得M的坐標(biāo)為（﹣2a，a），代入雙曲線方程可得a=b，再由離心率公式即可得到所求值．解答： 解：設(shè)M在雙曲線﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，則M的坐標(biāo)為（﹣2a，a），代入雙曲線方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故選：D．點(diǎn)評(píng)： 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的離心率的求法，運(yùn)用任意角的三角函數(shù)的定義求得M的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．10.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．（﹣4，﹣1） B．（﹣4，1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，1]參考答案：C【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域；函數(shù)的定義域及其求法．【分析】由題意知，解得﹣1＜x＜1，由此能求出函數(shù)的定義域．【解答】解：由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)椋獾茅?＜x＜1，故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知sinx=x﹣+…，由sinx=0有無(wú)窮多個(gè)根；0，±π，±2π，±3π，…，可得：，把這個(gè)式子的右邊展開(kāi)，發(fā)現(xiàn)﹣x3的系統(tǒng)為，即，請(qǐng)由cosx=1﹣+…出現(xiàn)，類比上述思路與方法，可寫出類似的一個(gè)結(jié)論．參考答案：++…=【考點(diǎn)】類比推理．【分析】直接利用類比推理，即可得出結(jié)論．【解答】解：由cosx=0有無(wú)窮多個(gè)根：±π，±π，…，可得：cosx=（1﹣）（1﹣）…，把這個(gè)式子的右邊展開(kāi)，發(fā)現(xiàn)x2的系數(shù)為++…=，即++…=．故答案為++…=．12.函數(shù)f(x)＝sin2的最小正周期是________．參考答案：13.若正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2（單位：cm），側(cè)面積為8（單位：cm2），則它的體積為（單位：cm3）．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】根據(jù)側(cè)面積計(jì)算出棱錐的斜高，利用勾股定理計(jì)算棱錐的高．【解答】解：設(shè)四棱錐為P﹣ABCD，底面ABCD的中心為O取CD中點(diǎn)E，連結(jié)PE，OE．則PE⊥CD．OE==1．∵S側(cè)面=4S△PCD=4××CD×PE=8，∴PE=2．∴PO=，∴正四棱錐體積V==．故答案為．14.在邊長(zhǎng)為2的正三角形中，以A為圓心，為半徑畫一弧，分別交AB，AC于D，E。若在這一平面區(qū)域內(nèi)任丟一粒豆子，則豆子落在扇形ADE內(nèi)的概率是

。參考答案：略15.數(shù)列中，若，（），則

.參考答案：略16.已知定義域?yàn)椋?，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：（1）對(duì)任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）當(dāng)x∈（1，2]時(shí)f（x）=2﹣x給出結(jié)論如下：①任意m∈Z，有f（2m）=0；②函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在k∈Z，使得（a，b）?（2k，2k﹣1）．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是參考答案：①②④考點(diǎn)： 抽象函數(shù)及其應(yīng)用；函數(shù)的周期性．

專題： 綜合題；壓軸題．分析： 依據(jù)題中條件注意研究每個(gè)選項(xiàng)的正確性，連續(xù)利用題中第（1）個(gè)條件得到①正確；連續(xù)利用題中第（2）個(gè)條件得到②正確；利用反證法及2x變化如下：2，4，8，16，32，判斷③命題錯(cuò)誤；據(jù)①②③的正確性可得④是正確的．解答： 解：①f（2m）=f（2?2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2），正確；②取x∈（2m，2m+1），則∈（1，2]；f（）=2﹣，從而f（x）=2f（）=…=2mf（）=2m+1﹣x，其中，m=0，1，2，…從而f（x）∈[0，+∞），正確；③f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1，假設(shè)存在n使f（2n+1）=9，即存在x1，x2，﹣=10，又，2x變化如下：2，4，8，16，32，顯然不存在，所以該命題錯(cuò)誤；④根據(jù)前面的分析容易知道該選項(xiàng)正確；綜合有正確的序號(hào)是①②④．點(diǎn)評(píng)： 本題通過(guò)抽象函數(shù)，考查了函數(shù)的周期性，單調(diào)性，以及學(xué)生的綜合分析能力，難度不大．17.已知函數(shù)

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（2017?衡陽(yáng)一模）空氣質(zhì)量指數(shù)（AirQualityIndex，簡(jiǎn)稱AQI）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的無(wú)量綱指數(shù)，參與空氣質(zhì)量評(píng)價(jià)的主要污染物為SO2、NO2、PM10、PM2.5、O3、CO等六項(xiàng)．空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級(jí)：一級(jí)0～50為優(yōu)；二級(jí)51～100為良好；三級(jí)101～150為輕度污染；四級(jí)151～200為中度污染；五級(jí)201～300為重度污染；六級(jí)＞300為嚴(yán)重污染．某人根據(jù)環(huán)境監(jiān)測(cè)總站公布的數(shù)據(jù)記錄了某地某月連續(xù)10天AQI的莖葉圖如圖所示：（Ⅰ）利用該樣本估計(jì)該地本月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良（AQI≤100）的天數(shù)；（按這個(gè)月總共30天計(jì)算）（Ⅱ）若從樣本中的空氣質(zhì)量不佳（AQI＞100）的這些天中，隨機(jī)地抽取三天深入分析各種污染指標(biāo)，求這三天的空氣質(zhì)量等級(jí)互不相同的概率．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖．【分析】（Ⅰ）由莖葉圖可得樣本中空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)，可得概率，用總天數(shù)乘以概率可得；（Ⅱ）該樣本中輕度污染共3天，中度污染為1天，重度污染為1天，求出基本事件的個(gè)數(shù)，由概率公式可得的．【解答】解：（Ⅰ）由莖葉圖可發(fā)現(xiàn)樣本中空氣質(zhì)量?jī)?yōu)的天數(shù)為1，空氣質(zhì)量為良的天數(shù)為4，故空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率為=，故利用該樣本估計(jì)該地本月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)為30×=15；（Ⅱ）該樣本中輕度污染共3天，中度污染為1天，重度污染為1天，則從中隨機(jī)抽取3天的所有可能結(jié)果為=10個(gè)，其中空氣質(zhì)量等級(jí)恰好不同有3個(gè)，該兩天的空氣質(zhì)量等級(jí)恰好不同的概率P=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查計(jì)算基本事件數(shù)及發(fā)生的概率，涉及莖葉圖的知識(shí)，屬基礎(chǔ)題．19.（12分）（2015秋?滄州月考）設(shè)函數(shù)h（x）=x2﹣mx，g（x）=lnx．（Ⅰ）設(shè)f（t）=m（sinx+cosx）dx且f（2016π）=2，若函數(shù)h（x）與g（x）在x=x0處的切線平行，求這兩切線間的距離；（Ⅱ）任意x＞0，不等式h（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；函數(shù)恒成立問(wèn)題；定積分．【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）運(yùn)用定積分的運(yùn)算法則和三角函數(shù)的特殊值，可得m=﹣1，分別求出g（x），h（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，切點(diǎn)，再由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程，再由兩直線平行間的距離，計(jì)算即可得到所求；（Ⅱ）任意x＞0，不等式h（x）≥g（x）恒成立，即為x2﹣mx﹣lnx≥0，由x＞0，可得m≤x﹣，設(shè)F（x）=x﹣，求出導(dǎo)數(shù)，討論x＞1，0＜x＜1導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，判斷單調(diào)性，可得最小值，即可得到m的范圍．【解答】解：（Ⅰ）f（t）=m（sinx+cosx）dx=m（sinx﹣cosx）|=m[（sint﹣cost）﹣（1﹣0）]=m（sint﹣cost﹣1），f（2016π）=2，可得m（﹣1﹣1）=2，解得m=﹣1，則h（x）=x2+x的導(dǎo)數(shù)為h′（x）=2x+1，g（x）=lnx的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=，由題意可得2x0+1=，解得x0=（﹣1舍去），即有h（x）在x=處的切線的方程為y﹣=2（x﹣），即為2x﹣y﹣=0；g（x）在x=處的切線的方程為y﹣ln=2（x﹣），即為2x﹣y﹣1﹣ln2=0．則兩切線間的距離為d==；（Ⅱ）任意x＞0，不等式h（x）≥g（x）恒成立，即為x2﹣mx﹣lnx≥0，由x＞0，可得m≤x﹣，設(shè)F（x）=x﹣，F(xiàn)′（x）=1﹣=，當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減．即有x=1處取得極小值，且為最小值1，則有m≤1，即m的取值范圍是（﹣∞，1]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用單調(diào)性求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．20.已知a＞0，b＞0，a+b=2．（1）求+的最小值；（2）求證：≤1．參考答案：【考點(diǎn)】7F：基本不等式．【分析】（1）分式類型，巧運(yùn)用a+b的式子即可；（2）利用基本不等式轉(zhuǎn)化為=ab??（）2求解即可．【解答】解：（1）a+b=2．∴+=（+）=（5+）≥僅當(dāng)（b=2a等號(hào)成立）；（2）證明：=ab??（）2=1．（當(dāng)且僅當(dāng)a=b等號(hào)成立）．21.已知橢圓：，過(guò)點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同直線，，設(shè)與橢圓交于、兩點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn).（1）若為線段的中點(diǎn)，求直線的方程；（2）記，求的取值范圍.參考答案：解：（1）設(shè)直線的斜率為，方程為，代入中，∴.∴.判別式.設(shè)，，則.∵中點(diǎn)為，∴，則.∴直線的方程為，即.（2）由（1）知.設(shè)直線的方程為.同理可得.∴.∴.令，則，.在，分別單調(diào)遞減，∴或.故或.即.22.(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，