數學核心素養

與小學數學教學

上海經驗：一切課改最終要落實在課堂、落實于學生。教無定法。應當建立教學常態：講好一堂課的原則應當是什么？評價一堂課的標準應當是什么？關于課堂教學，《中華人民共和國義務教育法》只提到一句話：

國家鼓勵學校和教師采用啟發式教育教學方法，提高教育教學質量。因此原則和標準是：啟發式教學。啟發式教學是為了引發學生思考。正在修改的《普通高中數學課程標準》明確指出：

數學教學活動的關鍵是啟發學生學會數學思考。孔子：學而不思則罔，思而不學則殆。課標：結果性目標、過程性目標、情感態度價值觀。

什么是過程性目標：經歷、體驗、探索？關于教育的哲學，《教育研究》1998年10期

教育是生存的需要、還是社會的需要？教育是主動的、還是被動的？教育三階段：經驗的教育（歷史、過程）知識的教育（現在、結果）

智慧的教育（未來、結果+過程）

經歷過程是為了培養智慧。從“雙基”到“四基”。試論教育的本源，《教育研究》2009年8期充分彰顯人與動物的最大區別：是勞動？是思維？

（1）生理：大腦容量；表現：制造工具；思維：想象能力。

（2）生理：發音器官；表現：語言交流；思維：抽象能力。啟發學生自己的思考，幫助積累活動經驗，讓學生：

會用數學的眼光觀察現實世界、

會用數學的思維思考現實世界、

會用數學的語言表達現實世界。這是數學教育的終極目標，也是制定數學核心素養的依據。綜上所述，數學教學活動應當秉承這樣的基本理念：

把握數學內容的本質，創設合適的教學情境，提出合理的問題，啟發獨立思考、與他人交流，讓學生在掌握知識技能的同時，感悟數學內容的本質，積累數學思維的經驗，形成和發展數學核心素養。

掌握知識↗提高能力↗發展素養一、什么是數學核心素養二、如何在小學數學教學活動中體現數學核心素養三、如何在小學數學教學評價中考查數學核心素養一、什么是數學核心素養文件《教育部關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務》提到核心素養。明確要求：修改課程標準，要把學科核心素養貫穿始終。北師大研究小組定義核心素養：是指學生應具備的、能夠適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力。高中數學課標修訂組定義數學核心素養：是具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展需要的人的、具有數學特征的關鍵能力與思維品質。后天習得的、與特定情境有關的、通過人的行為所表現出來的

知識、能力和態度，涉及人與社會、人與自己、人與工具。

高中階段的數學核心素養

數學抽象、邏輯推理、數學建模

直觀想象、數學運算、數據分析義教階段的數學核心素養（核心詞、核心概念）

（數感、符號意識）、推理能力、模型思想

（幾何直觀、空間想象）、運算能力、數據分析觀念更為一般的數學素養：應用意識、創新意識、學會學習設定數學核心素養的理由（三會）會用數學的眼光觀察現實世界數學的眼光是什么：數學抽象（直觀想象）

引發的數學特征：數學的一般性；會用數學的思維思考現實世界數學的思維是什么：邏輯推理（數學運算）

引發的數學特征：數學的嚴謹性；會用數學的語言表達現實世界數學的語言是什么：數學模型（數據分析）

引發的數學特征：數學應用的廣泛性。二、如何在小學數學教學活動中體現數學核心素養1.數學抽象（符號意識、數感；幾何直觀、空間想象）2.邏輯推理（推理能力、運算能力）3.數學模型（模型思想、數據分析觀念）

1.數學抽象（義務教育階段：符號意識、數感；幾何直觀、空間想象）

抽象對象：現實世界的數量與數量關系、圖形與圖形關系抽象功能：得到數學的研究對象（概念、關系、規律）抽象模式：舍去背景、保留關系、符號表達（更詳細的？）義務教育階段，主要體現在下述基本概念和運算法則數量與關系：自然數、整數、分數、小數；運算、方程

圖形與關系：點、線、面、體、角；長度、面積、體積

數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程。

主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并且用數學符號或者數學術語予以表征。對稱圖形指的是什么？圖形面積指的是什么？

什么是抽象？如何理解數感？數是對數量的抽象，抽象的核心是舍去現實背景；

數感是對數的感悟，感悟的核心是回歸現實背景。

感悟數100：100粒黃豆、100匹馬（感覺不同）100元錢去超市、100元錢去買房（場合不同）如何理解估算？

在本質上，精算是對數的運算、估算是對數量的運算

估算需要背景（場合與量綱：課桌、教室、操場、縣城）

估算需要原則（課標例26李阿姨買魚：夠不夠、能不能）

抽象小結

抽象出數學研究對象的概念（符號）、關系、法則（度量）把數量和數量關系、圖形與圖形關系抽象到數學內部概念：自然數、整數、分數、小數；點、線、面、體、角關系：三種關系（數量關系、圖形關系、隨機關系）運算：四則運算；距離、面積、體積抽象的東西不是具體的存在：現實中沒有2，只有具體的兩匹馬、兩頭牛而是理念的存在：蘋果、足球→看到的圓→頭腦中的圓鄭板橋：我畫的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。2.邏輯推理（推理能力、運算能力）推理對象：研究對象的性質、關系之間的規律推理功能：得到數學的結論（命題、模式、結構）

推理模式：通過歸納類比猜想命題、通過演繹推理驗證命題義務教育階段，主要體現在下述性質、規律數量與關系：正比例、反比例；方程、不等式、函數；隨機現象

圖形與關系：平移、旋轉、軸對稱；平行線；全等；直角坐標系

什么是數學的推理

邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的思維過程。

主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。

與合情推理的區別：不包括廣義的聯想和想象（形象思維）。試論數學推理過程中的邏輯，《數學教育學報》，2016（4）

什么樣的推理是有邏輯的？下面三個推理是否有邏輯1.因為兩點間直線段最短，所以三角形兩邊之和大于第三邊。2.三角形內角和180度，因為180度是平角，所以三角形是平角。3.因為兩個偶數的和是偶數，所以和為偶數的兩個數必為偶數。什么是推理？是一個命題判斷到另一個命題判斷的思維過程。什么是命題？

可以判斷正確或者錯誤的陳述句。三、小學數學中的推理數學命題：可以判斷正確或者錯誤的陳述句可以判斷：下面陳述不是數學命題

這個三角形是美的數學命題的兩種形式：性質命題、關系命題性質命題：A是P。

數是可以比較大小的。三角形內角和是180度。關系命題：如果A是P，那么A是Q。如果兩個數是偶數，那么這兩個數的和也為偶數。

如果三條線段可以構成一個三角形，那么其中任意兩

條線段的長度之和必然大于第三條線段的長度。邏輯推理：具有傳遞性的推理。有兩種形式演繹推理：從一般到特殊的推理（大范圍到小范圍）。

凡人都有死，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底有死。結果是必然成立的，用于驗證結論。歸納類比：從特殊到一般的推理（從經驗到未經驗）。

蘇格拉底是人、蘇格拉底有死，柏拉圖是人、柏拉圖有死，所以凡人都有死。結果是或然成立的，用于發現結論。比如：

蘇格拉底不到80歲死去，柏拉圖不到80歲死去，所以凡人不到80歲死去。演繹推理演繹前提：同一律：a=a

矛盾律：

a→P和a→Pc

不能同時成立

排中律：

a→P和a→Pc

必有一個成立幾何前提：基本事實。數與代數前提：命題1

等式（不等式）關系具有傳遞性

a=b(a﹥b），b=c(b﹥c）→a=c(a﹥c）命題2

等式（不等式）兩邊加減相同量，等式（不等式）不變

a=b(a﹥b）→a+c=b+c(a+c﹥b+c）

演繹推理問題：如何定義有理數的加法？必須讓學生感悟：加上一個正數比原來的數大。

符號表示：對任意的數a

和正數b，a+b＞a。證明：因為b

為正數，所以

b＞0

在不等式兩邊分別加上a，由命題2

得到

a+b＞a

所以結論成立。類似方法可以證明對稱命題：加上一個負數比原來的數小。

演繹推理類似命題：減去一個正數等于加上這個正數的相反數

減去一個正數比原來的數小數學符號：b＞0，則

a-b=a+(-b)證明：因為“減法是加法逆運算”：

a-b=x←→a=b+x由命題2，等式的兩邊分別加上（-b）等式不變：

a+(-b)=b+(-b)+x。根據相反數的定義：a+(-b)=x。由命題1：

a-b=x=a+(-b)演繹推理類似命題：減去一個正數等于加上這個正數的相反數減去一個正數比原來的數小符號表示：b＞0，則

a-b=a+(-b)證明：因為“減法是加法逆運算”：

a-b=x←→a=b+x由命題2，等式的兩邊分別加上（-b）等式不變：

a+(-b)=b+(-b)+x。根據相反數的定義：a+(-b)=x。由命題1：

a-b=x=a+(-b)演繹推理類似命題：減去一個負數等于加上這個負數的相反數減去一個負數等于加上一個正數減去一個負數比原來的數大符號表示：b＞0，則

a-(-b)=a+b證明：令x=a+b。等式兩邊加

b的相反數-b，由命題2：

x+(-b)=a+b+(-b)=a上面等式的兩邊同時減去(-b)，再由命題2：

x+(-b)–(-b)=a–(-b)因為同數相減為0：x=a–(-b)。由命題1：

a-(-b)=a+b

演繹推理演繹推理：驗證結論。因為論證形式是：

已知A求證B其中A和B都是確定性命題，沒有新的知識。需要歸納推理。歸納推理：發現結論。推理主要表現在：

從條件預測結果的推理

從結果探究成因的推理歸納推理：從經驗過的東西推斷未曾經驗的東西

從小范圍成立的命題推斷更大的范圍類似命題在數學教育中沒有歸納推理，不利于培養創新人才。歸納推理通過歸納得到程式：計算程式、運算法則（從經驗到一般）分數加法：

運算道理（同樣單位）

+=+=+=

=運算程式（直接通分）+===

歸納推理通過歸納探究成因：計算方法規定的緣由（通過經驗）混合運算

為什么要先乘除后加減？為什么

3+2×6=3+12=18舉例說明操場上有3名同學，又來了一隊同學，2人一排共6排。

問現在操場上有多少名同學？計算緣由

現在同學數=原來同學數+后來同學數

=3+2×6得到結論混合運算講兩個以上故事，先乘除后加減是一個故事

一個故事的計算。四、小學數學中的模型3.數學模型（模型思想、數據分析觀念）課標中主要要求兩個模型總量模型（加法模型）

與時間無關：總量=部分+部分、部分=總量–部分

與時間有關：現在=過去+變化、將來=現在+變化路程模型（乘法模型）

有一個量綱：總價=單價×個數有兩個量綱：路程=速度×時間、速度=路程/時間

工程模型、植樹模型四、小學數學中的模型數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型解決問題的過程。主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，求解結論，驗證結果并改進模型，最終解決實際問題。在數學建模核心素養的形成過程中，學生能夠：感悟數學與現實之間的關聯，學會用數學模型解決實際問題，積累數學實踐的經驗；加深對數學內容的理解；提升應用能力，增強創新意識。三、如何在小學數學教學評價中考查數學核心素養教育質量監測的四個原則1.不要求計算速度（速度的訓練是課業負擔重的主要原因）2.監測內容蘊含的數學素養（概念、推理、計算、想象）3.應當有一道開放題（超市的位置，加分原則）4.說學生能懂的話（對可能性的理解）考察學生思維能力

五年一班和二班舉行跳繩比賽，每班派10人參加比賽。已經賽完9人，將派最后1名上場。五年一班可以在甲、乙兩名同學中選出。這兩名同學最近成績如下：

甲:21,35,39,23,40,25

乙:27,29,31,33,28,32你建議讓那位同學上場比賽？建議的理由是什么？

謝謝各位！小學階段通過抽象得到基本概念（關系、法則）得到概念的兩種方法：對應方法（名義）、內涵方法（實質）。

建議：開始用對應的方法（重在感悟）

以后用內涵的方法（重在理解）問題：數是什么、數的本質是什么、表示數的關鍵是什么素養：符號意識、數感

概念：數是一種符號的表達，數是對數量的抽象。

關系：數量的本質是多與少，數的本質是大與小。

開始用對應的方法：

三個蘋果、三只雞→□□□←→3

（形式上去掉后綴名詞、實質上舍去物理屬性）用對應方法認識負數：與自然數數量相等、意義相反。以后用內涵的方法：自然數是一個一個多起來的（后繼數）

1=0+1，2=1+1，3=2+1，4=3+1，

同時也定義了加法。

如何認識10000?10個1000？10個千？

比9999多1（讀法可以不同，符號表達一致）改造于《九章算術》方程篇第八題。在漢朝的時候，有一個人做了三次牲畜買賣，收支情況如下：第一次賣牛收入24錢，賣羊收入25錢，買豬支出39錢，合計收入10錢；第二次賣牛收入36錢，買羊支出45錢，賣豬收入90錢，合計收支相當；第三次買牛支出60錢，賣羊收入30錢，賣豬收入24錢，合計支出6錢。如何用數學的方法表達？文字形式

牛羊豬合計第一次收入24收入25支出39收入10第二次收入36支出45收入900第三次支出60收入30收入24支出6數字形式

牛羊豬合計第一次2425-3910第二次36-45900第三次-603024-6負數與自然數：數量相等（絕對值）、意義相反。讀數的關鍵有兩條：十個符號+數位。如何讀2002？

數位與數不同

數位：個(ones)、十(tens)

因為是十進制，所以

“十”是十個“個”、“萬”是十個“千”

數：借助數位表達

因為是一個一個多起來的，所以

10=9+1，10000=9999+1

問題：運算的本質是什么、運算的關鍵是什么運算的本質是加法：四則運算源于加法如何理解加法。與數一樣，有兩種抽象方法：對應、內涵。

內涵：□□□←□3+1=4？

4=3+1→3+1=4

對應：

□□□□□□□哪邊多

□□□←□

□□□□哪邊多？

→3+1=4

理解等號的意義：等號兩邊講兩個故事，兩個故事量相等。

方程的定義？運算的關鍵在于數位（計數單位）：

只有基于同樣單位才能比較大小、才能進行計算大數相乘：3百×

5百=3×5·百×百=15萬分數相加：通分是為了得到同樣單位（1/3、1/5→1/15）

方法：2/3+3/5=(2×5+3×3)/3×5?

原理：2/3+3/5=(2×5)/(3×5)+(3×3)/(5×3)小數相乘：數量乘數量、單位乘單位

0.23×0.2