多因素模型與套利定價理論第1頁，課件共44頁，創作于2023年2月內容提要與學習要點內容提要：本章主要介紹多因素模型及基于其的APT。學習要點：1.多因素模型；

2.純因素證券組合；

3.套利與套利組合；

4.無套利定價模型。第2頁，課件共44頁，創作于2023年2月第一節多因素模型CAPM模型的兩個局限性：1、包括所有資產（包括不動產、外國股票等各種形式的資產）的理論上的市場組合；2、與實際收益率相對應的預期收益率。在實際應用CAPM模型時，通常采用的是因素模型的形式，并用實際收益率代替預期收益率。第3頁，課件共44頁，創作于2023年2月一、單指數模型與CAPM模型的關系單因素模型假定任意風險資產收益由一個公共因素（commonfactor）決定，一般采用下面的線性函數形式。

Ri=αI+iRM+ei

其中ai是常數，F就是公共因素或者指數（index），bi是因素F對于風險資產i的收益率的影響程度，稱它為靈敏度（sensitivity）或者因子載荷（factorloading），ei是隨機誤差項。第4頁，課件共44頁，創作于2023年2月一、單指數模型與CAPM模型的關系按單指數模型，股票i的收益與市場指數收益之間的協方差公式為Cov(Ri，RM)=Cov(iRM+ei，RM)=iCov(RM，RM)+Cov(ei，RM)=iσ2M上式所以成立，是因為由于αI是常數，它與所有變量的斜方差都是零，且由于公司特有的非系統風險獨立于系統風險，因此Cov(ei，RM)=0。可推導出i=Cov(Ri，RM)/σ2M

第5頁，課件共44頁，創作于2023年2月

單指數模型與CAPM模型的關系

●在推導CAPM模型中，也有i=Cov(Ri，RM)/σ2M

，即單指數模型與CAPM模型的貝塔含義是相同的。●因此，CAPM模型是單指數模型的一個特例，對Ri=αi+iRM+ei兩邊取期望，有

E(ri)–rf=αi+i[E(rM)–rf]與CAPM模型相比較，可見，CAPM模型是對所有股票a的期望值為零的單指數模型取期望值而得到的模型。

第6頁，課件共44頁，創作于2023年2月二、多因素模型（MultifactorModels）在單指數模型中，把影響收益的因素分解為系統風險和公司特有風險，這種分析方法不僅過于簡單，而且把系統風險限制在單一因素內是不對的。實際上，用市場收益來概括的系統風險受多種因素影響，如經濟周期、利率和通貨膨脹等。顯然，多因素模型可給出影響收益的更好描述。運用每個因素在每一時期的超額收益對股票的超額收益進行多元回歸，估計股票收益對每一因素的beta值（或稱因素敏感度、因子荷載）。第7頁，課件共44頁，創作于2023年2月多因素模型假設：資產收益率受多種因素的影響。譬如，GDP增長率、利率水平、行業增長率、市場收益率等等。

多因素模型多因素模型的應用多因素模型在理論上和實踐中已經得到了廣泛的應用。譬如，后面要介紹的套利定價理論就以多因素模型作基礎假設。作為資產收益率生成過程，多因素模型已被許多經驗結果所證實，如和Fama-French(1993)的三因素模型。另外，許多投資實踐都基于多因素模型。第8頁，課件共44頁，創作于2023年2月雙因素、三因素與五因素模型雙因素模型：假設經濟周期[GDP]和利率[IR]是兩個最重要的宏觀經濟風險來源.FamaandFrench（1993）的三因素模型：除市場收益外，他們考察了公司規模大小[SIZE]、托賓Q值比[HML]這兩個因素。五因素模型：Chen,RollandRoss(1986)的五因素模型把宏觀經濟因素分解為：行業生產變動百分比[IP]、預期通脹變動百分比[EI]、非預期通脹變動百分比[UI]、長期公司債券對長期政府債券的超額收益[CG]、長期政府債券對短期國庫券的超額收益[GB].每一模型都進行多元回歸分析,以回歸殘值方差估計公司特有風險.第9頁，課件共44頁，創作于2023年2月知識鏈接：托賓Q值一般Q值，被定義為一項資產的市場價值與其重置價值之比。它也可以用來衡量一項資產的市場價值是否被高估或低估。托賓q值是使托賓（詹姆斯·托賓，1981年諾貝爾經濟學獎獲得者）出名的一個很重要的因素。托賓的Q:企業市價（股價）/企業的重置成本當Q<1時，即企業市價小于企業重置成本，經營者將傾向也通過收購來建立企業實現企業擴張，廠商不會購買新的投資品，因此投資支出便降低。當Q>1時，棄舊置新。企業市價高于企業的重置成本，企業發行較少的股票而買到較多的投資品，投資支出便會增加。當Q=1時，企業投資和資本成本達到動態(邊際)均衡.第10頁，課件共44頁，創作于2023年2月三、純因素證券組合

使用有著不同因素特征的大量資產，可以構造出各種具有不同靈敏度的證券組合來。有一種投資策略是很有趣的，它可以構造出對于某個因素有著單位靈敏度（即靈敏度為1），而對其他因素有著零靈敏度的證券組合來。稱這種證券組合為純因素證券組合（purefactorportfolio）。第11頁，課件共44頁，創作于2023年2月純因素證券組合例子——假定證券A、B、C有下列靈敏度：第12頁，課件共44頁，創作于2023年2月純因素證券組合如果投資者按照的比例進行投資，則該種證券組合對于因素1和因素2的靈敏度分別為1和0：第13頁，課件共44頁，創作于2023年2月純因素證券組合同理可以按照的投資比例獲得“純因素2”證券組合。因為這里只有3種資產，因此非因素風險ep仍然會很大，不過根據上面的討論我們知道：如果類似的資產很多，則分散投資可以把非因素風險減小到趨近于0。這樣就可以創造出一個“純因素1”證券組合，它的收益結構就是：

第14頁，課件共44頁，創作于2023年2月純因素證券組合由此它就退化成了負荷系數為1的單因素模型。這樣的“純因素1”證券組合的收益變化同因素變化完全是同步的。接下來，我們來分析該證券組合的收益構成。通常把它分解成為兩個部分：（1）無風險收益率rf；（2）其他部分。可以把解釋為每一單位靈敏度的某因素的預期收益溢價（expectedreturepremiumperunitofsensitivitytothefactor）。

第15頁，課件共44頁，創作于2023年2月純因素證券組合因此，可以把“純因素1”證券組合的期望收益記為：顯然構造純因素證券組合的方法不只一種，那么這些不同的證券組合構造方式，是否會產生同樣的期望收益呢？答案是肯定的，這就涉及到無套利均衡。

第16頁，課件共44頁，創作于2023年2月套利套利和無套利是現代金融的最基本的概念之一。但是套利究竟是什么呢？簡單地說它是“一物一價法則”（lawofoneprice）的應用。例如在舊貨市場上有人愿意用200塊錢買入一只老款的機械表，而有人愿意以150塊賣出時，就意味存在著套利機會。精明的商人或者說套利者（arbitrageur）會同時按照低價買入，按照高價賣出這塊手表，獲得50元的凈利潤。第17頁，課件共44頁，創作于2023年2月第二節套利定價理論（APT）斯蒂芬·羅斯[StephenRoss，1976]從無風險套利原理的角度考察了套利與均衡，推導出均衡市場中的資本資產定價關系，建立了套利定價理論。套利就是利用證券定價之間的不一致進行資金轉移從中賺取無風險利潤的行為。套利三要點：

零投入，不入資金（zero-investmentportfolio，零投資組合）；無因素風險，套利組合對任何因素的敏感度為0；正收益.以上所稱套利為純套利，還有風險套利(riskarbitrage)，后者是指在特定領域尋找定價有偏差的證券的專業行為。第18頁，課件共44頁，創作于2023年2月一、套利機會套利機會-arisesifaninvestorcanconstructazeroinvestmentportfoliowithasureprofit.如果市場是有效的,套利機會將立即消失。因為任何投資者，不考慮風險厭惡與財富狀況，均愿意盡可能多地擁有套利組合的頭寸，大量頭寸的存在將導致價格上漲或下跌直至套利機會完全消除。正是套利力量保證市場體系的有效運轉。最早對于套利問題的考察可以追溯到休謨（HumeD.）的黃金運輸問題，它解釋了由于套利力量，同一商品的地區差價，不會高于在不同地區間運輸這些商品的費用。第19頁，課件共44頁，創作于2023年2月Stock

現價$ 預期收益% 標準差%A 1025.0 29.58B1020.0 33.91C10 32.5 48.15D 1022.5 8.58套利舉例第20頁，課件共44頁，創作于2023年2月

預期收益率（均值） 標準差相關性PortfolioA,B,C 25.83 6.40 0.94D 22.25 8.58

可以看出,由A,B,C三種證券(等權重)構成的組合在所有環境下都比D的表現好。所以，任何投資者，無論是否厭惡風險，只需對D做空頭，然后再購買等權重的組合，就可以從中獲得好處。假如賣空D300萬美元,然后用于購買A,B,C各10萬股,結果如下:套利組合第21頁，課件共44頁，創作于2023年2月Stock

美元投資(萬元)收益(萬元) A10025.0 B10020.0C10032.5D-300-67.5___________________________________資產組合010結果是：D價格下跌的同時A,B,C的價格上漲，或者只有D的價格下跌或只有A,B,C的價格上漲，這樣套利機會就被消除了。套利行為與收益:計算第22頁，課件共44頁，創作于2023年2月套利行為與收益:圖示E.Ret.St.Dev.*P*DShort3sharesofDandbuy1ofA,B&CtoformP.Youearnahigherrateontheinvestmentthanyoupayontheshortsale.第23頁，課件共44頁，創作于2023年2月二、基本假定1976年，美國學者斯蒂芬·羅斯在《經濟理論雜志》上發表了經典論文“資本資產定價的套利理論”，提出了一種新的資產定價模型，此即套利定價理論(APT理論)。套利定價理論用套利概念定義均衡，不需要市場組合的存在性，而且所需的假設比資本資產定價模型(CAPM模型)更少、更合理。基礎性假設：資產收益率受一種或多種因素的影響，可由因素模型決定。或者說，資產收益率的生成過程是因素模型。另外，還假設投資喜歡獲利較多的投資策略、市場上有大量不同的資產、允許賣空等。競爭性均衡狀態：不存在套利機會。所謂套利機會，是指市場中沒有不承擔風險、不需要額外資金就能獲得收益的機會。第24頁，課件共44頁，創作于2023年2月套利資產組合套利資產組合滿足的條件：不需要額外投資：不承擔(因素)風險：具有正的收益率：套利證券組合實例：三個股票的期望收益率分別為8%、13%、20%，β系數（因素敏感度）分別是1、2、3。如果投資比例分別為1、-2、1，則該投資組合的投資額為0、風險為0，而收益卻為2%。第25頁，課件共44頁，創作于2023年2月三、套利定價模型單因素套利定價模型多因素套利定價模型第26頁，課件共44頁，創作于2023年2月APT與充分分散的投資組合rP=E(rP)+bPF+eP

F=共同因素的預期值與實際值之間的差額,也稱驚喜因素;E(rP)=表示組合P的預期收益;bP=組合P對該因素的敏感度;eP=P特定的擾動,所有的非系統收益eP之間是相互獨立的,并與F相獨立，共同因素F和特定因素eP的期望值為0。該模型與CAPM模型相同。舉例:假定F為GDP的意外的百分比變化,預期今年增長4%,某股票或組合的b為1.2.如果GDP只增長了3%,則F為-1%,根據給定的b值可將其轉化一項表示比先前預測低1.2%的收益。這項意外加上特定的擾動bP,便可得出該股票的收益對其原始預期值的全部偏離程度。第27頁，課件共44頁，創作于2023年2月充分分散的投資組合如果一個投資組合是充分分散（welldiversifiedportfplio）的，那么,它的非系統風險將可以被分散掉，剩下的就只有系統風險。組合的方差由系統的與非系統的兩方面構成,見下式,P2=P2

F2+2(eP)2(eP)=∑Wi22(ei)如果組合是等權重的,則Wi=1/n,當n→∞時,2(eP)=0.也就是說，充分分散的投資組合應當滿足:按比例Wi分散于足夠大數量的證券中，而每種成分又足以小到使非系統方差2(eP)可以被忽略。于是，就有:rP=E(rP)+bPF第28頁，課件共44頁，創作于2023年2月充分分散投資組合與單個證券的比較FE(r)%PortfolioFE(r)%IndividualSecurity第29頁，課件共44頁，創作于2023年2月解釋從充分分散投資組合與單個證券的比較中可以看出，非分散化的股票受非系統風險的影響，并呈現為分布在直線兩側的散點.而充分分散化的投資組合的收益則完全由系統風險決定，其收益率均在直線上。假如存在兩個充分分散化的投資組合A和B。A的收益率為10%,B的收益率為8%,兩者的b值均為1。于是就出現了套利機會,即可以賣空B而買入A。這是因為：兩個充分分散化的投資組合有相同的b值，它們在市場中必定有相同的預期收益，否則，就存在套利機會。第30頁，課件共44頁，創作于2023年2月非均衡舉例E(r)%BetaforF1076RiskFree4ADC.51.0第31頁，課件共44頁，創作于2023年2月非均衡舉例的解釋b相同的證券應該擁有相同的預期收益，否則，就存在套利機會。如圖所示，rf=4%，將無風險資產與A點(預期收益為10%,b=1)連接成一條直線，一充分分散化的組合D(預期收益為7%,b=0.5，一半由組合A，一半由無風險資產構成)就落在該直線上。假如存在另一充分分散化的組合C(預期收益為6%,b=0.5)就落在D的下方。于是，套利機會就出現了，即賣出C而買入D就可以獲得1%的無風險收益。該例表明:為了排除套利機會，所有充分分散化的投資組合的預期收益必須落在通過無風險資產的直線上，這條直線給出了所有充分分散化投資組合的預期收益值。第32頁，課件共44頁，創作于2023年2月E(r)%Beta(MarketIndex)RiskFree

M1.0[E(rM)-rf]MarketRiskPremium

APTwithMarketIndexPortfolio第33頁，課件共44頁，創作于2023年2月無套利均衡的時候對于任意兩個充分分散化的投資組合P和Q，套利定價理論告訴我們，有關系式對于組合中的任意兩項不同的證券i和j來說，關系式同樣成立。所有貝塔值不同的資產組合的期望收益都會在同一條斜線上，一旦出現不在一條線的情況，實際就等于有相同的貝塔值，但期望收益不同，這當然會導致套利。第34頁，課件共44頁，創作于2023年2月多因素套利定價理論前面都是假定只有一個系統因素影響證券收益.現分析多因素影響證券的收益的情況.由單因素模型可推導出雙因素模型：ri=E(ri)+βi1F1+βi2F2+ei該模型可以直接發展為任意數量的多因素模型.多因素套利定價理論認為：資產組合的全部風險溢價等于作為對投資者補償的每一項系統風險溢價的總和.第35頁，課件共44頁，創作于2023年2月多因素模型的假設條件1.資本市場上任意資產的收益與一系列影響因素線性相關，即有收益生成函數如下：

第36頁，課件共44頁，創作于2023年2月續

對于上述生成函數，模型假定：（1）任意兩種資產的隨機誤差項相互獨立，即（2）隨機誤差項和因子風險的期望值為零。即（3）隨機誤差項與各項風險因子相互獨立，即（4）各風險資產的特質風險的方差是有界的，即第37頁，課件共44頁，創作于2023年2月多因素套利定價模型

3.精確多因子模型

該情形為資產收益受多種因素影響，但不存在特質風險，此時，收益生成函數為：運用無套利原理，我們可以得到均衡條件下的套利定價公式：

第38頁，課件共44頁，創作于2023年2月1.APT大大簡化了CAPM的假設條件。與CAPM一樣。APT假定：擁有相同預期的投資者都是風險厭惡者，市場不存在交易成本。但是，APT的限制條件不像CAPM那樣嚴格，其最基本的假設是證券收益率受某些經濟因素的共同影響，但是沒有限定這些因素的個數及內容。2.理論依據不同。APT建立在無風險套利原理上，認為市場在不存在套利機會時達到均衡，證券價格正是因為投資者不斷進行套利活動而實現均衡。CAPM以均值-方差模型為基礎，考慮當所有投資者以相同方式選擇投資組合時，如何確定證券價格。四、APT與CAPM比較[1]第39頁，課件共44頁，創作于2023年2月APT與CAPM比較[2]3.市場均衡的形成原由不同。CAPM中，投資者具有相