復變函數第三章1第1頁，課件共41頁，創作于2023年2月既然沿圍繞的任何簡單閉曲線積分值都相同。那么就取以為中心，半徑為(

>0)的很小圓周(取其正向)作為積分曲線C。從而使我們猜想積分

的值也將隨著的減小而接近于其實兩者是相等的，即即有下面的定理。

由于的連續性2第2頁，課件共41頁，創作于2023年2月定理(柯西積分公式)

設f(z)在簡單閉曲線C所圍成的區域D內解析，在上連續，z0是D內一點，則（3.10）

公式(3.10)稱為柯西積分公式。

柯西積分公式說明：如果一個函數在簡單閉曲線C內部解析，在C上連續，

則函數在C內部的值完全可由C上的值而定。

它不僅提供了計算某復變函數沿簡單閉曲線積分的一種方法，而且可以幫助我們研究解析函數的許多重要性質。3第3頁，課件共41頁，創作于2023年2月[證]

在D內除點外均解析。現以點為中心，以充分小

的為半徑作圓L:，使L及其內部均含于D內。在C與L所圍的區域上應用閉路變形定理得因在處連續，則對任意給定的，存在

，使當時，就有。

4第4頁，課件共41頁，創作于2023年2月由此

其中這表明不等式左端積分的模可以任意小，只要足夠

小就行了。根據閉路變形原理，該積分的值與無關，所所以只有在對所有的積分值為零時才有可能。

因此，可得[證畢]5第5頁，課件共41頁，創作于2023年2月如果C是圓周，由(3.10)可得下面推論.推論1（平均值公式）設在內解析，

在上連續，則即：一個解析函數在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.推論2設在簡單閉曲線C1,C2所圍成的二連域D內解析,并在C1,C2上連續,C2在C1的內部,z0為D內一點，則

此式為多連域柯西積分公式。

6第6頁，課件共41頁，創作于2023年2月若將看作變數，則（3.10）式寫成如下形式：其中z在C的內部。柯西積分公式的應用:常根據柯西積分公式，通過求函數

f(z)在某一點的值來求積分的值

7第7頁，課件共41頁，創作于2023年2月【例3.14】求下列積分的值：(1)；(2);(3).解:

(1)

8第8頁，課件共41頁，創作于2023年2月(2)

由平均值公式還可推出解析函數的一個重要性質,即解析函數的最大模原理。(3)

9第9頁，課件共41頁，創作于2023年2月定理3.8(最大模原理)

設函數在區域D內解析，又不是常數，

則在D內沒有最大值。

解析函數的最大模原理說明：一個解析函數的模,在區域內

的任何一點都達不到最大值,除非這個函數恒等于常數。

[證]

記。若，則定理結論成立.

現設，用反證法，若D內有一點使，

則由推論1(平均值公式)，只要圓盤含于D，就成立著于是10第10頁，課件共41頁，創作于2023年2月由此推出可以證明，在內。因為，若不然，

就有一點使，故存在

使。由于在內為連

續，故在圓周上連續。于是存在著，

使當時，

從而有

11第11頁，課件共41頁，創作于2023年2月因此有下面的估計但這與相矛盾！所以在

內成立。再由在D內解析，就可知在內恒為一常

數，此常數的模為。

以上證明了，若D內有一點使，則只要圓盤含于D，在內便恒等于一個模

為的常數。記。現在利用這一結果來證明，

在整個D內恒等于常數。

（設M為函數模的最大值）12第12頁，課件共41頁，創作于2023年2月圖3.12設是D內任意一點。由D的連通性,在D內有一條折線l連接

和

(圖3.12).記l與D的邊界的距離為d.在l上從到依次插入分點，使

則每個圓盤一定含于D內，且包含著點。

根據上述證明的結果，在

內，，而在此圓盤內，故。再

從出發，用上述證明的結果知在內，

，而在此圓盤內，故。經過

步，就可證明。由于的任意性，知在D內。但這與原來給定不為常數的條

件相矛盾，故在D內沒有最大值。13第13頁，課件共41頁，創作于2023年2月證明二:姑且假設在D的內部達到最大值M；并把D內所有的使的點的集合記為B。如果B=D，那么我們在D內處處有，即是一常數，由此可知在D內也是一常數。這是與定理得假設相矛盾的。如果B與D不相同，那么必有這集合的一個邊界點z0存在，它同時也是D的一個內點。由于是連續的，有因為在z0的鄰域內都必有B的點，作一個在區域D內的圓周C：使得在圓周上至少有一個集合D的點z1。這時，又由于是連續的，對于足夠小的ε>0，總可以指定圓周C的這樣一個包含點z1在內的部分C1，使得在C1上有14第14頁，課件共41頁，創作于2023年2月把圓周的其余部分記為C2，顯然在C2上有根據中值定理，有其中是圓周的弧長單元12315第15頁，課件共41頁，創作于2023年2月則可以得到由于所以上式不可能成立，因此前面所做的假設不能成立。因此最大值定理得證。16第16頁，課件共41頁，創作于2023年2月推論1

在區域D內解析的函數，若其模在D的內點達到

最大值，則此函數恒為常數。

推論2

若在有界區域D內解析，在上連續，則必在D的邊界上達到最大模。

[證]

若在D內為常數，推論顯然正確。若在D內

不恒為常數，由連續函數的性質及本定理立即得證。

17第17頁，課件共41頁，創作于2023年2月【例3.15】設函數在全平面為解析，又對任意,

令。

求證：是的單調上升函數。[證]

因為對于任意的，在上為解析,所以由最大模原理及其推論2知在上的最大值必在

上取得。因此，當時，有即：是的單調上升函數。就是說，

18第18頁，課件共41頁，創作于2023年2月§3.4解析函數的高階導數解析函數的導數仍然是解析的。關于解析函數的高階導數我們有下面的定理：定理

設函數在簡單閉曲線C所圍成的區域D內解析，

而在上連續，則的各階導函數均在D內解析，

對D內任一點z，有(3.11)

即：解析函數的任意階導數都存在。19第19頁，課件共41頁，創作于2023年2月[證]

先證的情形。根據定義

從柯西積分公式得從而有20第20頁，課件共41頁，創作于2023年2月圖3.12

對上式右端的積分值，作如下的估計。

因f()在C上連續，可設M是f()在C上的最大值，又設

為點z到曲線C上各點的最短距離，于是當

在C上時，有

,先取(圖3.12)，

則有

因此21第21頁，課件共41頁，創作于2023年2月因為其中L表示C的長度，于是有由此可知

即時(3.11)式成立。22第22頁，課件共41頁，創作于2023年2月現在假定當時(3.11)式成立，再來推證當

時(3.11)式也成立。為此將看作，

用類似于情形的推證方法可證得時(3.11)

式也成立。故由數學歸納法可證明

[證畢]

——解析函數的高階導數公式可從兩方面應用這個公式：

用求積分來代替求導數；用求導的方法來計算積分，即23第23頁，課件共41頁，創作于2023年2月【例3.16】求下列積分的值，其中C為正向圓周：.

1)；2)解:1)函數在C內的處不解析，但

在C內卻是處處解析的。由高階導數公式有24第24頁，課件共41頁，創作于2023年2月圖3.13

2)函數在C內的處不解析。

在C內以為i中心作一個正向圓周C1，以-i為中心作一個正向圓周C2(圖3.13)，那么函數

在由C,C1和C2所圍成的區域內是解析的.根據復合閉路定理，有

25第25頁，課件共41頁，創作于2023年2月由高階導數公式有26第26頁，課件共41頁，創作于2023年2月【例3.17】計算積分，其中C為不經過點

0與1的正向簡單閉曲線。

此題沒有明確給出積分路徑C，我們必須就點0，1與C的各種不同位置關系，利用柯西積分定理與柯西積分公式來計算。

分析：解:(1)點0，1均不在C內部時此時被積函數在以C為邊界的閉區域

上解析，由柯西積分定理得27第27頁，課件共41頁，創作于2023年2月(2)點0在C內，而點1在C外時在C內挖去點0的鄰域，由閉路變形原理與柯西積分公式得

其中C0是以點0為中心而包含在C內部的圓周。(3)點1在C內，而點0在C外時，同上可得其中C1是以點1為中心而包含在C內部的圓周。28第28頁，課件共41頁，創作于2023年2月(4)點0，1均在C內部時

C內兩個互不相交且互不包含的圓周C0與C1,C0以點0為圓心,C1以點1為圓心,則由多連通域的積分基本定理和柯西積分公式得

故其中D為C所圍成的區域。29第29頁，課件共41頁，創作于2023年2月定理

設函數在內解析。又,則有下列不等式

——柯西不等式[證]

對于任意的：，在

上解析，故由高階導數公式有

估計右端的模得到令便得30第30頁，課件共41頁，創作于2023年2月從柯西不等式可以推出另一重要定理。劉維爾(Liuville)定理

設函數在全平面上為解析且

有界，則為一常數。

[證]

設是平面上任意一點，對任意正數R，在

內為解析，又在全平面有界，設，

由柯西不等式得

令，即得=0。由的任意性，知在全平面上

有。故為一常數。

31第31頁，課件共41頁，創作于2023年2月作業：3.2，3.3，3.5，3.