2022屆全國(guó)卷I地區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬試卷6

學(xué)校:姓名：___________班級(jí)：考號(hào)：

第I卷(選擇題)

請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說(shuō)明

評(píng)卷人得分

------------------一、選擇題(共12題，每題5分，共60分)

1.己知集合走｛x|j=lg(x+3)+lg(5-x)｝,比｛x|『+『6<0｝,則G比

A.(-8,-3]U[2,+8)B.(-8-3)U(2,+8)

C.(2,5)D.[2,5)

2.已知復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)為z,且z-2衛(wèi)，則|z|=

Z

A.V13B.V5C.5D.V2

3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減的是

A.尸cosxB.y=xC.^=ln|x\D.y=e

4.已知a,比均為單位向量，若|ei-e21=b,則劭與e2的夾角為

A.30°B.60°C.120°D.150°

5.已知函數(shù)f(x)嚀二,若k|f(-|),ZF|A|),c=fW,則a,b,c的大小關(guān)系是

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.8〉c〉a

6.某高校大一新生中的6名同學(xué)打算參加學(xué)校組織的“演講團(tuán)”、“吉他協(xié)會(huì)”等五個(gè)社

團(tuán)，若每名同學(xué)必須參加且只能參加1個(gè)社團(tuán)且每個(gè)社團(tuán)至多兩人參加，則這6個(gè)人中沒

有人參加''演講團(tuán)”的不同參加方法數(shù)為

A.3600B.1080C.1440D.2520

7.在Rt△力比'中，/為斜邊加上一點(diǎn)，且AD-2DB,AB=12,CA6,則sinN〃S=

A.普B.宇4D呼

8.執(zhí)行如圖程序框圖，則輸出的S的值為

A.V2021B.V2019C.2V505D.2V505-1

9.下面結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為

(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù),則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.

⑵數(shù)歹IJ｛a｝為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意都有2&*曰計(jì)a+2.

(3)數(shù)列｛&｝為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù).

(4)已知數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式是an=0/7bq(其中p,q為常數(shù))，則數(shù)列｛絳｝一定是等差數(shù)列.

A.1B.2C.3D.4

10.一條光線從點(diǎn)(-2,-3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x+3)2+(y-2)2=l相切，則反射光線所在

直線的斜率為

A.-|或4B.-薄qc.3或-gD.q或弓

11.在銳角三角形被7中，角4滿足sin'^+cos'^Msin2^,cos2^-2(-<J<-),則sin*sin

62

C的取值范圍為

A.(-V3,V3]B.(|,V3]C.弓,V3)D.鳥,收

12.若某三棱柱截去一個(gè)三棱錐后所剩幾何體的三視圖如圖所示,則所截去的三棱錐的外接

球的表面積等于

俯視圖

A.34nB.32itC.17nD.雪

第n卷(非選擇題)

請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明

評(píng)卷人得分

------------------二、填空題(共4題，每題5分，共20分)

13.函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x〉0時(shí),f(x)=2,T7,則/)=.

[ln(l-x),x<1,

14.已知函數(shù)/?(*)=3Z函數(shù)g(*)="("WN),若關(guān)于x的方程Ax)=g(x)有且只

(>I1x1

有1個(gè)實(shí)數(shù)根,則正整數(shù)衣的最大值是.

15.某醫(yī)院隨機(jī)抽取20位急癥病人家屬了解病人等待急癥的時(shí)間，記錄如下表：

等待急癥時(shí)間(分

[0,4)48)[8,12)[12,16)[16,20)

鐘)

頻數(shù)48521

根據(jù)以上記錄，病人等待急癥平均時(shí)間的估計(jì)值光=分鐘.

16.已知幾￡分別為雙曲線接-\=1儲(chǔ)>0,核0)的左、右焦點(diǎn)，以研為直徑的圓與雙曲線

在第一象限和第三象限的交點(diǎn)分別為M,N,設(shè)四邊形曲晚歷的周長(zhǎng)為p,面積為S,且滿足

326片,則該雙曲線的離心率為.

評(píng)卷人得分

------------------三、解答題(共7題，共70分)

17.(本題12分)已知a,8,c分別為三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且acos介百asinOb-

c=0.

⑴求力；

⑵若AD為8c邊上的中線,cos吟AD=等,求△,、的面積.

18.(本題12分)在四棱錐貸4?切中，底面4?勿為平行四邊

形，/圾=60°,/必介30°,AD=SD=2y[3,BA=BS=4.

(1)證明：劭_L平面SAD-,

(2)求點(diǎn)C到平面夕16的距離.

19.(本題12分)2020年12月10日，首屆全國(guó)職業(yè)技能大賽在廣州廣交會(huì)展館拉開帷幕，

活動(dòng)為期4天,2557名參賽選手圍繞86個(gè)比賽項(xiàng)目展開激烈角逐.大賽組委會(huì)秘書長(zhǎng)、人

社部職業(yè)能力建設(shè)司司長(zhǎng)張立新表示，這次大賽是新中國(guó)成立以來(lái)規(guī)格最高、項(xiàng)目最多、規(guī)

模最大、水平最高的綜合性國(guó)家職業(yè)技能賽事.為了準(zhǔn)備下一屆比賽，甲、乙兩支代表隊(duì)各

自安排了10名選手參與選拔活動(dòng)，他們?cè)诨顒?dòng)中取得的成績(jī)(單位:分,滿分100分)如下：

甲代表隊(duì)：95957993869497888189

乙代表隊(duì)：88839584869781828599

(1)分別求甲、乙兩支代表隊(duì)成績(jī)的平均值，并據(jù)此判斷哪支代表隊(duì)的成績(jī)更好；

(2)甲、乙兩支代表隊(duì)的總負(fù)責(zé)人計(jì)劃從這兩支隊(duì)伍得分超過90分的選手中隨機(jī)選擇4名

參加強(qiáng)化訓(xùn)練,記參加強(qiáng)化訓(xùn)練的選手來(lái)自甲代表隊(duì)的人數(shù)為X求1的分布列和數(shù)學(xué)期望.

20.(本題12分)已知橢圓C:^+卷=1(a>6>0)的離心率為;,直線舊片廠e=0過橢圓。的

右焦點(diǎn)F.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知直線Z過坐標(biāo)原點(diǎn)0,交橢圓C于P,。兩點(diǎn),直線A過點(diǎn)F,交橢圓C于M4兩點(diǎn).當(dāng)

A_L4時(shí)，總+而是否為定值?若是,求出定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.(本題12分)已知函數(shù)F(x)=ln_￥+(a-l)產(chǎn)出1(aWR).

(1)討論函數(shù)Hx)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)aW1時(shí),e*-f(x)>0.

請(qǐng)考生在第22、23三題中任選二道做答，注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按

所做的第一個(gè)題目計(jì)分。

22.(本題10分)在平面直角坐標(biāo)系才方中，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立

極坐標(biāo)系，已知曲線。的極坐標(biāo)方程為Psin2"2acos?(a>0),過點(diǎn)夕(-2,-4)的直線/的

參數(shù)方程為匕=一：管:'(力為參數(shù))，直線/與曲線C交于48兩點(diǎn).

=■，十DL

(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線/的普通方程；

⑵若1*1?|闋=|第2,求a的值.

23.(本題10分)已知函數(shù)/(%)=|x+a|+|x-2|.

(1)若。=一4求不等式f(x)>6的解集；

(2)若“久)S|x—3|的解集包含［0刀,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案

1.D

【解析】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域的求法、二次不等式的解法以及集合的補(bǔ)集，考查

的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維.

由對(duì)數(shù)的概念知，要使尸lg(x+3)+lg(5-x)有意義，則需產(chǎn)3〉0且5-x＞0,解得-3〈水5,則

A={削-3〈水5},由￥+尸6＜0,得-3〈水2,所以后{x|-3＜K2},所以G廬32＜京5}.

【備注】無(wú)

2.B

【解析】本題考查復(fù)數(shù)的模、共粗復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等的充要條件，考查的

核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.

設(shè)出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，然后利用復(fù)數(shù)相等的充要條件求出復(fù)數(shù)z,最后求得|z|.

由z-2=士/可得z(z-2)=3+4i.設(shè)2=A+yi(x,ydR),則(A+J4)(『yi-2)=3+4i,整理得x+y-

2『2yi=3+4i,所以『女］：=$得4;［則z=l-2i,|z|=VI

【備注】無(wú)

3.D

【解析】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,考查推理論證能力,考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性

思維.

函數(shù)產(chǎn)cosx是偶函數(shù)且是周期為2"的周期函數(shù),所以產(chǎn)cosx在(0,+8)上不具有單調(diào)

性,所以A選項(xiàng)不符合題意;函數(shù)片/為偶函數(shù)，但在(0,+8)上單調(diào)遞增,所以B選項(xiàng)不符

合題意；函數(shù)片In|削=［消晨為偶函數(shù)，(方法總結(jié):絕對(duì)值函數(shù)均可以轉(zhuǎn)化為分段函

數(shù))"

但在(0,+8)上單調(diào)遞增,所以C選項(xiàng)不符合題意；函數(shù)尸/'=［e/xJ］為偶函數(shù),在

(0,+8)上單調(diào)遞減，所以D選項(xiàng)符合題意.故選D.

【歸納總結(jié)】若函數(shù)片f(|x|)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)尸/*(I*)一定為偶函數(shù).

【備注】無(wú)

4.C

【解析】本題主要考查平面向量的概念及運(yùn)算等知識(shí)，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)

算.

解法一依題意，陷戶&|=1,|改產(chǎn)=3,所以2-26?改=3,即丹?0=-g,所以

cos＜ei,改〉［1一:所以＜份，改＞=120°.

\ex\\e2\2

解法二依題意設(shè)6i=(l,0),所(x,力且/+，=1,所以e「ez=(l-x,-y),因?yàn)閑「e/=V5,

所以(W)2+/=3,解得T尸土景所以所與爭(zhēng)或改=當(dāng)所與爭(zhēng)

時(shí)，cos＜ei,e2＞^^=(l,0)?(4又0°QW180。，所以＜6,改＞=120°.當(dāng)

kiHe2|222

e=(W，-爭(zhēng)時(shí),cos＜劭,偽＞-1：靠「(1，0),(4,-爭(zhēng)制，因?yàn)?°W〈。吩W180°,所以

＜與，改＞=120°.所以劭與改的夾角為120°.

【備注】無(wú)

5.D

【解析】根據(jù)f(x)的解析式得f(x)為R上的奇函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)g(x)=xf(x),可得g(x)為R

上的偶函數(shù),再結(jié)合g(x)的單調(diào)性即可得解.

由題意知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(-x)嚀匚-〃才)，所以f(x)為R上的奇函數(shù)，易知

f(x)在R上單調(diào)遞增.令g(x)=xf(x),則g(x)為R上的偶函數(shù),且g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞

增.又爐g(-|)=g(|),房屋|)，c=g(l),|〉1〉|,所以垃c>a,故選D.

【備注】無(wú)

6.C

【解析】本題主要考查含有限制條件的排列組合問題，考查了邏輯推理能力.由每位同學(xué)必

須參加且只能參加1個(gè)社團(tuán),每個(gè)社團(tuán)至多兩人參加,因此可以將問題看成是6位同學(xué)分配

到隊(duì)演講團(tuán)外的四個(gè)社團(tuán)或三個(gè)社團(tuán),可以分成兩類：1,1,2,2：2,2,2.當(dāng)6名同學(xué)分成

1,1,2,2組時(shí)，分配到除“演講團(tuán)”外的四個(gè)社團(tuán)，共有等?萼?川=1080種不同的方法;

當(dāng)6名同學(xué)分成2,2,2組時(shí),分配到除“演講團(tuán)”外的四個(gè)社團(tuán)中的3個(gè)社團(tuán)中,共有

簪?(：：?“=360種不同的方法，因此，共有1080+360=1440種不同的方法.

【備注】無(wú)

7.B

【解析】本題主要考查解三角形的知識(shí),考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.

解法一如圖,分別以CB,CA所在直線為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,

222

設(shè)B也0),4(0,a)，則以|4a).由題意可知a+A=12=144①，警+:36,即

a2+4Z?2=36X9=324②,聯(lián)立①②,解得Z?2=60,a=84,所以ZF2VT5,a=2VH.在RS4BC

中，sinV=空在中，由正弦定理得一^；=因?yàn)槿?2,A22DB,所以力介8,

126sin乙4cos\nA

解法二設(shè)CB=a,CA=b,因?yàn)辄c(diǎn)〃為四上一點(diǎn),AD=2DB,CD=6,所以而=|而+^CA,兩邊平

方得36=^+7,即4a2+Z?2=324①，又a+l/=M4②，聯(lián)立①②得a=2A,全2VH.在

RS/%中，sin1=白="，在△/切中，由正弦定理得二=因?yàn)?=12"分2做所

126smLACDsm4

以AD=8,所以sin/4切圖歲=等,故選B.

【備注】無(wú)

8.C

【解析】無(wú)

【備注】無(wú)

9.B

【解析】對(duì)于(1),若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，則這

個(gè)數(shù)列是等差數(shù)歹U,故⑴錯(cuò)誤;對(duì)于⑵，由2ae=an+a/2得&+「&=4+2-備”,故⑵正確;對(duì)于

(3),數(shù)列｛為｝為等差數(shù)列的充分不必要條件是通項(xiàng)公式為〃的一次函數(shù)，故⑶錯(cuò)誤;對(duì)于

(4),由等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系可得(4)正確,選B.

【備注】無(wú)

10.D

【解析】本題考查直線和圓的位置關(guān)系,意在考查考生基本的邏輯推理能力和計(jì)算能力.根

據(jù)入射光線與反射光線的關(guān)系,可知反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過點(diǎn)火-2,-3)關(guān)于y軸的對(duì)

稱點(diǎn),且反射光線與已知圓相切,即可建立關(guān)于直線斜率的方程,求解即可.

圓(戶3)2*廣2)2=1的圓心為以-3,2),半徑r=l.如圖,作出點(diǎn)4(-2,-3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)

8(2,-3).由題意可知,反射光線的反向延長(zhǎng)線一定經(jīng)過點(diǎn)B.設(shè)反射光線的斜率為k,則反射

光線所在直線的方程為y-(-3)=A(x-2),即弱丁-24-3=0.由反射光線與圓相切可得

華空總=1,即15k知=71+-2,整理得12/+254+12=0,即(3A⑷(44+3)=0,解得或

Vl+fc23

故選D.

4

【備注】無(wú)

11.B

【解析】本題主要考查三角恒等變換,考查邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力.首先將已知等式

進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而可求出角/的值,然后利用輔助角公式可求出sin儕sinC的取值范圍.

由已知得(sin~4+cos2｛)’-Zsin?1,cos2J=14sin2i4,cos3-2,化簡(jiǎn)得16sirT/?cos2J=3,則

4sin22J=3,.,.sin24=4,2左拳/苫,sin51-sin俏sinasin號(hào)-面=sin

B+—cos加工sin岸sinB+—cos廬遮sin(8+E).又△4%為銳角三角形，；.()〈空-

222263

5<p0<欣今."〈咤<爭(zhēng)；.*sin(紇)Wl,；.sinasing(|,丘故選B.

［備注］無(wú)

12.A

【解析】由三視圖知,該幾何體是底面邊長(zhǎng)分別為3,4,5的三角形,高為5的三棱柱截去一

個(gè)三棱錐F4比■得到的,示意圖如圖所示，

三棱錐人4r的底面是邊長(zhǎng)分別為3,4,5的直角三角形,高必=3,取6c的中點(diǎn)D,連接AD,

易知RtZ\48C的外接圓半徑尸4氏|,設(shè)三棱錐R/8C的外接球的半徑為R,球心。到三棱錐

“底面嫉的距離為h,則濾嚴(yán)，11；?：：；可得,亭所以所

截去的三棱錐的外接球的表面積夕4“戶=4nX￡=34",故選A.

【備注】無(wú)

13.-1

【解析】本題主要考查函數(shù)的奇偶性,考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維.

解法一因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/?(才)=-￡(-.).設(shè)求0,則--0,『(-

2

X)=2(-X)2-17=2/-17,所以HX)=-(2/-17)=-2『+17,所以「(王卜(^<0；所以

AV7)=2X(V7)?-17=-3,所以AAV7))=A-3)-2X(-3)2+17=-l.

解法二因?yàn)锳V7)=2X(V7)2-17=-3,所以AAV7))=A-3).又函數(shù)f(x)是定義在R上的

奇函數(shù)，所以f(x)=-f(-x),(方法總結(jié):利用函數(shù)的奇偶性可實(shí)現(xiàn)自變量正負(fù)轉(zhuǎn)化)所以

AAV7))=r(-3)A3)-(2X32-17)-1.

【備注】無(wú)

14.11

【解析】本題主要考查基本不等式，函數(shù)的性質(zhì)等,考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，考

查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)靈活解決問題的能力.先根據(jù)函數(shù)f(x)與g(x)的圖象，確定關(guān)于x的方程

f(x)=g(x)在(-8,1)上必有1個(gè)實(shí)數(shù)根,從而得到后等在(1,+8)上沒有實(shí)數(shù)根,再利用基

本不等式確定k的取值范圍，即可得解.

作出函數(shù)f(x)與g(x)的大致圖象(圖略)，易知它們?cè)?-8,1)上必有1個(gè)交點(diǎn),所以

f(x)=g(x)在(1,+8)上沒有實(shí)數(shù)根,即公當(dāng)在(1,+8)上沒有實(shí)數(shù)根，即尸A與尸耳的圖象

在(1,+8)上沒有交點(diǎn).因?yàn)楫?dāng)=3[(尸D+W+2]>12,當(dāng)且僅當(dāng)歸2時(shí),等號(hào)成立,所以K12,

X-lX-1

又46N*,所以正整數(shù)A的最大值是11.

【備注】【素養(yǎng)落地】本題將方程的根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，并利用函數(shù)

的圖象解決問題,著重考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

【規(guī)律總結(jié)】函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根的問題常與函數(shù)的圖象有關(guān)，一般為了討論函數(shù)f(x)

零點(diǎn)(方程A%)=0的根)的個(gè)數(shù)或由零點(diǎn)(根)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的值(范圍)，常常利用數(shù)形結(jié)合

的思想分析求解.

【解析】無(wú)

【備注】無(wú)

【解析】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)、圓的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)

算、邏輯推理.

依題意|姐H1例=2a①，I峭|+1收月②,聯(lián)立①②,解得I，附=a+%|硒I=§-a,又

244

g為直徑，；.四邊形用幽"為矩形，二夕|明|?|班|=(92-a,即5=訝,即P=32a,由

I姐I?+1，肥12=出知2得2a2+貯=41,即3a=2c,e=^=。,又e>0,?.A

8a/22

【備注】無(wú)

17.(l)acosC^V3asinC~b~eO,

由正弦定理得sinAcos6>V3sin/sin6>sinB+sinC、

即sinJcos6>V3sin力sinC^sinG4+0+sinC、

又sin今0,所以化簡(jiǎn)得gsin力-cosA=l,

所以sinG4-3O°)=|.

在△力比中，0°</K180°,所以上30°=30°,得力=60°.

⑵在△力仇7中，因?yàn)閏os廬工,所以sin比延.

77

所以sinC^sin(J+^)—XX

272714

由正弦定理得，也當(dāng)q.

csinC5

設(shè)a=7x,片5x(x〉0),則在△/故中，月龐bosB,即025『+工*49『-

44

2X5XX：X7XXT，解得下1,

所以a=7,c=5,

故^Ajsr^acsin5=10V3.

【解析】本題主要考查三角恒等變換，正、余弦定理，三角形面積，考查考生的運(yùn)算求解能力.

(1)利用正弦定理將邊的關(guān)系化為角的關(guān)系,利用三角恒等變換求出4;(2)先根據(jù)兩角和的

正弦公式求出sinC,然后根據(jù)正弦定理得到邊長(zhǎng)a,c的比值關(guān)系,再在△力班中利用余弦定

理求出a,c的值,最后由三角形面積公式可求結(jié)果

【備注】【鏈接高考】三角函數(shù)類解答題是高考的重點(diǎn)題型.它的主要考查方式有三利|：一

是考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)；二是考查三角恒等變換;三是考查解三角形及其實(shí)際應(yīng)用.正、

余弦定理是解決問題的主要工具

18.⑴在△/(加中，由正弦定理得.冬j

sinz_4DBs\nLDBA

VZ￡184=60°，砂26，4廬4,，sinN]〃廬1,〃廬90°,

即BDVAD,

二盼2.

在叢SBD中J：SD=2/,妗4,BD=2,

:.施+SF=B§,

又助04仄〃,...即_L平面$11).

⑵由題意可知，①〃平面SAB,皈平面SAB,

切〃平面夕16則點(diǎn)C到平面必6的距離等于點(diǎn)〃到平面加5的距離，設(shè)點(diǎn)C到平面SAB

的距離為A,

在△夕I。中，易求得夕1=6,

/.X2V3X2V3Xsin120°=3低

且瓜弓X6XV7=3五，

;被，平面SAD,

G,即：X3百X2=1X3?X九

解得發(fā)字，

???點(diǎn)C到平面夕18的距離為爭(zhēng)

【解析】本題主要考查線面垂直的判定、點(diǎn)到平面的距離、棱錐的體積等知識(shí)，以四棱錐為

載體，借助等積法，考查考生的空間想象能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解

能力.

【備注】【方法點(diǎn)撥】線面垂直、平行關(guān)系的證明中應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化思想的常見類型：(1)

證明線面、面面平行,可轉(zhuǎn)化為證明線線平行；(2)證明線面垂直,可轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(3)

證明線線垂直,可轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.

19.解：⑴由題中數(shù)據(jù)可知甲代表隊(duì)成績(jī)的平均值工甲=

*X(95+95+79+93+86+94+97+88+81+89)=89.7(分)，

乙代表隊(duì)成績(jī)的平均值x4=5X(88+83+95+84+86+97+81+82+85+99)=88(分),

因?yàn)?9.7>88,所以甲代表隊(duì)的成績(jī)更好.

(2)由題意知甲、乙兩隊(duì)超過90分的選手分別有5人和3人，

故X的所有可能取值為1,2,3,4,

且P(#D*=三。(后2)*=

。(戶3)號(hào)="(六4)甯=5，

故乃的分布列為

X1234

331

P—

147714

所以￡|tlX—+2X-+3X-+4X—

1477142

【解析】本題考查數(shù)學(xué)建模能力、運(yùn)算求解能力.

(1)利用公式分別求得甲、乙兩隊(duì)得分的平均值,并進(jìn)行比較即可得到結(jié)果；(2)先分析出隨

機(jī)變量I的所有可能取值,再計(jì)算每個(gè)可能取值對(duì)應(yīng)的概率,列出分布列,最后利用數(shù)學(xué)期望

公式進(jìn)行求解即可.

【備注】無(wú)

20.(1)因?yàn)橹本€百片廠g=0過橢圓，的右焦點(diǎn)F,所以戶1.

又橢圓。的離心率為;,所以￡=i爐2.

2a2

又l)+c=a,故)=3.

所以橢圓C的方程為[+[=1.

43

(2)當(dāng)直線人垂直于y軸時(shí)，直線A垂直于x軸，

則IPQ\=2C?=4,IMN\—2/(1—)x3—3,----1-----=—I—=—.

，|4y，|MN||PQ|231612

當(dāng)直線7i垂直于X軸時(shí),直線&垂直于y軸，

則I留=2爐2』,1喇=2,4,就+嬴=；+余已

當(dāng)直線k與x,y軸均不垂直時(shí),設(shè)直線人的方程為尸內(nèi)尸1)(發(fā)0),(由,力)，Mx備⑥,

7+卜L整理得(3+4A-2)/-8扃+4廬12=0,

聯(lián)立方程,得

y=k(x-1),

4k2-12

所以汨+必二3+4文2'由“23+4/'

4(4水2-12)_12(上？+1)

222

所以|」協(xié)［=V1+k?7(^1+X2)-4X1X2=V1+k?J(3：：H)2?3+4/c2-3+4/C2?

由可設(shè)直線4的方程為尸一沙,尸(x,y),

(X2,y2112k2

——=LX2=

由，431，得3k2+4'

2=12

>=一芹3k2+4'

12k212『483+1)

所以|闋2=4|明2=4x(：4-

3k2+43H+4/3H+4，

3+4k24(31+4)7

所以高+忌=12(fc2+l)+48(fc2+l)

12,

所以+4是定值,定值為看

|PQ|2

【解析】本題考查橢圓的性質(zhì)及直線與橢圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力、化歸

與轉(zhuǎn)化思想.

【備注】【素養(yǎng)落地】試題以橢圓為依托，通過對(duì)直線與橢圓的位置關(guān)系的探索，體現(xiàn)對(duì)直

觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的考查.

21.解：⑴由題意得/U)的定義域?yàn)?0,+8),f，(九)」+八」±竺二

xX

①當(dāng)a'l時(shí)，f'(x)>0,『(x)單調(diào)遞增.

②當(dāng)a<l時(shí)，由f'(x)=0得得-,

1-0

當(dāng)XG(0,；)時(shí)，f'(力>0,F(x)單調(diào)遞增;

1-a

當(dāng)AreG，+8)時(shí),f'(x)<0,Ax)單調(diào)遞減.

綜上討論得:當(dāng)a21時(shí)，f{x)在(0,+8)單調(diào)遞增；

當(dāng)aQ時(shí)，F(xiàn)(x)在(0