東海科學技術學院畢業論文PAGEPAGE21黑龍江八一農墾大學畢業設計（論文）正態分布的發展及應用摘要生活中諸多的經驗和理論都表明，我們所處的環境中服從正態分布的事件是極其常見的。例如：工程中的加工尺寸，人的身高，降雨量等都可以看做是正態分布。所以在統計學中對于正態分布的使用越來越廣泛。本文是對正態分布的發展以及應用做一些基本的闡述。正態分布又名高斯分布，德國數學家高斯對于正態分布的形成與發展有著舉足輕重的地位。正態分布從無到有，最后成為數理統計中非常重要的模型大致可分為三個階段：第一個階段是形成階段，18世紀30年代數學家狄莫弗在一個賭博問題的概率計算中意外發現了正態曲線，所以人們也把正態分布的起源歸于賭博問題，但由于社會及個人的問題，正態曲線在那時并沒都得到很大的發展。第二個階段是18世紀中葉正態分布的模型建立，在天文學發展的刺激下，數學家拉普拉斯，高斯對于正態分布又有了新的拓展，讓人們逐漸認識到了其在天文，誤差領域的應用。第三階段19世紀中葉在凱特萊，高爾頓的努力下，使正態分布進入到自然和科學領域，從此進入了統計學的大家庭。最后本文總結了現階段正態分布的一些最基本最實用的應用。【關鍵詞】正態分布狄莫弗拉普拉斯高斯凱特萊

DevelopmentandApplicationoftheNormalDistributionFengjiexue(Departmentofmathematicsphysicsandinformation,DonghaiScience&TechnologySchool316004)AbstractManylifeexperiencesandtheoriesthatwenormallydistributedenvironmentinwhichtheeventisextremelycommon.Forexample:thesizeoftheprojectintheprocess,aperson’sheight,rainfallandsocanbeseenasanormaldistribution.Therefore,thenormaldistributioninstatisticsmorewidelyused.Thisarticleisanormaldevelopmentandapplicationtodosomebasicexposition.Normaldistribution,alsoknownastheGaussiandistribution,theGermanmathematicianGaussfortheformationanddevelopmentofthenormaldistributionhasapivotalposition.Normaldistributionfromscratch,eventuallybecameaveryimportantmathematicalstatisticsmodelcanbedividedintothreestages:thefirststageistheformationstage,18inthe1930smathematicianMoivreprobabilitycalculationsinagamblingproblemaccidentallydiscoverednormalcurve,sopeoplehaveattributedtheoriginofthenormaldistributionofgamblingproblems,butbecauseofsocialandpersonalproblems,thenormalcurveatthattimedidnothaveagreatdevelopment.Thesecondstageisthemid-18thcenturythenormaldistributionmodel,thestimulationofthedevelopmentofastronomy,mathematicianLaplace,Gaussiannormaldistributionhasanewdevelopment,sothatpeoplecometorealizethatitsinastronomy,applicationerrorfield.Thethirdstageinthemid-19thcenturyQuetelet,Galton’seffortstomakethenormalintothenaturalandscientificfields,fromenteringthefamilystatistics.Finally,thepapersummarizessomeofthemostbasicandnormalstageofpracticalapplication.【Keywords】NormaldistributionMoivreLaplaceGaussKettle

目錄摘要 IAbstract II1緒論 11.1正態分布的定義 11.2正態分布的曲線 11.3正態分布與標準正態分布 22.正態分布的起源 32．1古典統計時期的概率論 32．2二項式正態逼近——狄莫弗 42．3為何當時正態分布未能有大發展 43.正態分布的重新出發 63．1天文中的誤差 63．2誤差論的形成 63．2．1拉普拉斯的概率論 73．2．2高斯分布 73．3基本誤差假設 84.正態分布的近代統計學之路 94．1“近代統計學之父”—凱特萊 94．2凱特萊對正態曲線的拓展 104．3高爾頓對正態分布的創新 105.現代統計學中的正態分布 126.正態分布的應用 136.1頻數分布 136.2對學生的一些情況進行調查 136.3醫學的正常值范圍參考 146.4正態分布促進統計學的發展 14.結束語 15參考文獻 161緒論1.1正態分布的定義若隨機變量x服從一個位置參數為，尺度函數為，其概率密度函數為則這個隨機變量就稱為正態隨機變量，正態隨機變量服從的分布就稱為正態分布，記作X~N（），讀作服從N（），或者X服從正態分布。1.2正態分布的曲線正態分布的概率密度函數的曲線像一種大鐘，兩頭低，中間高，左右對稱，曲線與橫軸間的面積總等于1.。正態分布有兩個參數，，參數服從正態分布的均值，參數是隨機變量的方差，所以記作X~N（）。正態分布取當值與越接近時，概率越大；當取值與越遠是，概率越小，在取到是達到最大。正態分布與的關系是，當越小時，整個圖形在附近的面積越多；當越大時，整個圖形在附近的面積越少。正態分布的密度函數是對稱函數，他的對稱軸為，在上去的整個函數的最大值，在正負軸的無窮遠處為0，當曲線與橫軸不相交，圖像形狀為中間高兩邊低，從最高點向兩邊均勻下降。在正態分布的面積中，曲線與橫軸上的面積表示該區占總數的比例或者是某一事件發生的概率，各個范圍均可用正態公式計算。一些重要的面積比例，橫軸與正態曲線之間的面積恒等于1。正態曲線下，橫軸區間（μ-σ，μ+σ）內的面積為68.268949%，橫軸區間（μ-1.96σ，μ+1.96σ）內的面積為95.449974%，橫軸區間（μ-2.58σ，μ+2.58σ）內的面積為99.730020%。[1]1.3正態分布與標準正態分布標準正態分布是一般正態分布的特殊情況，既當=0，=1時，正態分布就成標準正態分布，其概率密度函數正態分布關于豎軸對稱，它有正態分布所有的性質，在實際應用中更為簡便，廣泛。正態分布與標準正態分布的轉化為：若X~N,則~N(0,1)2.正態分布的起源狄莫弗是一位法國–英國數學家。主要作品有《機遇論》，與伯努力的《推測術》和拉普拉斯的《概率的分析理論》，被認為是概率論史上三部具有里程碑性質的作品，1667年生于法國維，1754年死于英國倫敦。狄莫弗的父親是一位醫生，他父親對他的影響很大，后來他進入到一間天主教學習念書。在求學期間狄莫弗對數學有了極大的興趣，在《論賭博中的機會》《幾何原本》等一些著作的影響下，他開始奮發學習數學知識。他在19歲那年，他為了保護卡爾文教徒的南特茲赦令不被廢除而遭監禁，做了兩年牢。南特法令別摒除后，他為求生計，去了英國倫敦。在倫敦的學習狄莫弗找到了更多更加優秀的作品，學到了更加豐富的知識，后來通過自己的不斷努力他當上了英國皇家學會會員，他的一生有許多的成就其中最重要的就是正態曲線的發現。[2]狄莫弗對統計意義主要有：他用頻率估計概率，觀察值的算術平均的精度，與觀察次數N的平方根成比例，這對當時來說是一個非常大的進步。還有他的最大貢獻當然是以他名字命名的中心極限定理，后來拉普拉斯在他40年自后才才得出了中心極限定理的公式。后來統計學家發現，許多的統計學中的基礎量，在樣本無限時，他的分布都與正態分布有契合的地方，這成為數理統計學中大量的基本模型。一直到今天，這樣的模型依然有著很重要的地位，可見狄莫弗所給后人帶來了無窮無盡的財富。2．1古典統計時期的概率論概率論和統計學是一對兄弟學科，兩門學科一同形成完善，共同創新并影響著，你中有我，我中有你。概率論發源于賭博活動中，概率論的發展推動者統計學的進步，而統計學的進步尤為概率論的世紀應用找到了方向。我們通常把統計學的形成分成三個時期：古典統計時期、近代統計時期和現代統計時期。古典統計時期大約是17世紀中葉到18世紀中葉，這一時期歐洲在各個方面都有著天翻地覆的變化，概率論和古典統計學就是在這特殊的情況下出現的。我們一般認為概率論的出現源于帕斯卡和費馬，兩個偉大的數學在特殊時期的發明。2．2二項式正態逼近——狄莫弗在任何實驗中，當實驗次數足夠多時，時間出現的頻率就接近于事件發生的概率。當無限次地進行實驗室，人們就能準確的計算所有事件的概率。當時在英國的狄莫弗通過學習對數學有了極大的興趣，尤其是對概率論的興趣，他對概率論有著諸多的靈感，他不斷的摸索其中的奧秘。在1711發表了關于概率論研究的論文，在1733年，一個賭博問題刺激著狄莫弗--A,B在賭場里賭錢，A，B贏概率是p,B贏的概率是q=1-p,賭n次，假如A贏的次數X>np,就A給賭場X-np元，不然B給賭場np-X元。求賭場能獲得理論的期望？最后求得的結果期望值是棣莫弗用公式得到了當p=1/2時這是狄莫弗由賭博問題計算出來的式子，在概率論應用及統計學中有著非常崇高的地位。從這開始，在拉普拉斯等其他學者的共同發展下，中心極限定理最終形成，稱為狄莫弗-拉普拉斯中心極限定理:[3]設隨機變量X_n服從參數為p的二項分布，則對任意的x,恒有

狄莫弗在二項分布的推算中只看到正態曲線的外貌，他未能真正看到這條曲線的迷人之處，他的研究也到此為止了。2．3為何當時正態分布未能有大發展從現代的眼光來看狄莫弗對正態分布的出現有著歷史性的作用，他為正態分布的出現埋下了一顆希望的種子，可在當時狄莫弗所做的研究沒有引起很多人的的重視，正態分布還處在一個萌芽狀態，根本談不上有什么應用。我覺得還有以下原因：首先，在那時人們隨意概率論有著偏見，認為概率論的來源是賭博，人們反對將他歸入到科學領域，束縛的他的發展，那時的大數法則被推上的很高的位置，人們都無法挑戰鐵律。其次，一個理論的發展需要現實的需要，而當時統計學的作用中用于人口的統計，非常有局限性，那時統計學中的二項分布運用的比較多，二正態分布由于不被社會所需要所以他的成長還需要一些過程。再次，當時除了狄莫弗，當時的數學家對于概率論的研究都不是非常的感興趣，他所得到幫助非常少。最后是歷史原因，在書寫概率論的發展史中狄莫弗二項式正態逼近被遺漏了，他對概率論所做的貢獻在很長一段時間內被遺忘了，知道拉普拉斯和高斯等人的出現，對正態曲線有進一步的發展，人們才認識到狄莫弗的貢獻。3.正態分布的重新出發人們對事物的檢測，無可避免或多或少總會出現一些誤差，不管是檢測哪方面的，人們很早就知道了這一點，不過對檢測結果的不確定性，人們總是不清楚，看法始終不能一致。到了18世紀，數學有了一個變化，人們研究數學是為了解決生活中的問題。人們對概率論有了新的認識，概率論在日常生活中的應用也越來越多了，推動了誤差問題的前進。天文學的迅速發展，許多天文學家在研究天文問題時都涉及到天文數據的測量計算，這些為正態分布的發展提供了溫床。3．1天文中的誤差天文學從古代至18世紀一直是應用數學中最發達的領域，觀測和數學天文學，給出了建模及數據擬合的最初例子。正態分布的新生則是其中非常經典的例子。人們對天文問題的研究促使天文學家非常關心在數值分析是算術平均是否合理，并開始從誤差的角度來進行分析。測量誤差，一個無法避免的問題，在天文的一些數據測量中，不同的測量機構，不同測量機器，不同的測量人員等等都難免會有差異，所以測量結果頁肯定會有差異，當去平均時可是受到的干擾最小，結果更接近真實值，測量值有誤差，但基本都在真實值附近。[4]在進行對天體觀測數據的計算過程中發現了許多正態分布的特征，認為在觀測中引起的誤差與在計算中引起的誤差是不一樣的，小的觀測值變化同意可以是距離值有很大的變化。偉大的天文學家伽利略是第一個在作品中提出觀測誤差這個概念的，由于那時的概率論的知識有限，沒能很好的解決這個問題。后來辛普森對誤差問題的研究也并沒有取得很多的進展。3．2誤差論的形成卡爾·弗里德里希·高斯，德國著名數學家、物理學家、天文學家、大地測量學家，與牛頓、阿基米德被稱為為歷史上最偉大三個數學家，是近代數學奠基者之一。在他18歲的發現了質數分布定理和最小二乘法。通過對足夠多的測量數據的處理后，可以得到一個新的、概率性質的測量結果。在這些基礎之上，高斯隨后專注于曲面與曲線的計算，并成功得到高斯鐘形曲線，正態誤差理論正式被提出，在70年后狄莫弗推導出來的式子進入了概率的家庭中。這一函數被命名為標準正態分布，在概率計算中被大量使用。3．2．1拉普拉斯的概率論拉普拉斯(1749－1827)是法國、數學家、分析學家、概率論學家和物理學家，法國科學院院士。1749年生于法國,1816年被選為法蘭西學院院士，1817年任該院院長。他是天體力學的主要創作人，天體演化學的創立者之一，在概率論的發展史中，拉普拉斯是古典概率論的第一人，所以說在數學界他是當時的先鋒人。在他1812年發表了代表作《概率分析理論》，在書中總結了當時整個概率論的研究，介紹了概率論在當時的應用。書中包含了他畢生對概率論的研究成果，他用數學中的各種工具來對概率論進行分析，對概率論的發展有著舉足輕重的作用。他非常喜歡用歸納和類比的研究方法，是一位分析學大師。在概率論史上，拉普拉斯被認為是古典概率論的集大成者，他運用許多的分析方法，把概率論的基本理論統統做了系統性整理，把概率論變成了一門系統的學科，為概率論的發展做出了偉大的貢獻。他繼承17世紀伯努利對概率論的成果，把概率論應用到當天文地理、人口統計、賭博輸贏、人壽保險、法庭判決等各個領域中去。[5]3．2．2高斯分布在數學界我們把高斯稱為“數學王子"，高斯一生的研究涉及到很多的領域甚至他開創了許多新的領域。在他的觀念中，他寧愿少的發表文章，他要讓他所發表的東西是非常完整的。高斯受拉普拉斯的影響非常深，他的概率論研究資料并沒有出版成冊，而是在他大量的論文中。我們都知道高斯的一生很長一部分他的職務是任格丁根天文臺臺長，所有對天文學的研究從未間斷，前面提到了天文學的誤差論，高斯對此很感興趣做了大量的研究，1809年，高斯發表了數學和天體力學專著《繞日天體運動的理論》其中涉及的誤差分布的問題，他推導出來了正態分布的表達式測量的誤差是有許多原因形成的，但每個原因的影響都不是十分巨大，按照中心極限定理，他的分布近似于正態是無法阻擋。拉普拉斯沒有把這個成果用到誤差分布上，而高斯做到了，高斯創造性把正態分布和中心極限定理聯系在了一起，演化出了新的中心極限定理，其中就包含正態分布。緊接著高斯提出了--元誤差學說，既誤差并不是僅由一種原因形成的，而是由許許多多的元誤差組成最后產生的誤差。這理論對于給正態誤差論一個非常合理、非常令人相信的解釋有巨大的意義。因為，高斯從算術平均的優良性出發的，推導出誤差肯定服從正態分布；反之，又由誤差服從正態分布得出算術平均和最小二乘估計的優良性。[6]1809年，高斯發表了誤差正態分布完整理論系統，后來他又發表了最小二乘法，中心極限定理的公式及其理論，在整個概率論的發展有著舉足輕重的作用，由于這個原因，正態分布又稱高斯分布，可見數學家高斯對整個數學界的地位，在高斯的所有成就中，正態分布歲整個社會影響最大，這也體現了正態分布在概率論中的無法撼動的地位。3．3基本誤差假設高斯推演出了正態概率密度函數，他的目的就是能讓算術平均值能夠作為真值的自然估計。1810年，拉普拉斯在他日常對統計數值的計算分析時，得到了一樣的密度函數，這是對高斯函數的一次證明。當然新的理論還需要更多的被證明，而一些經驗性的得出誤差分布符合正態分布在數學上顯然是站不住腳的。貝塞爾在1838年非常完整的提出來了基本誤差的一般性假設，中心極限定理有了另一只新的證明方式。他的這么做的原因就是我們雖檢測到的誤差出現的原因。原因有：整體的誤差是由一些相互獨立的相同量階他們的聯合形成的，如果用算術平均假設和最小二乘法計算這個概率結果是一樣的。[7]貝塞爾提出的基本誤差假設是關于有限矩的對稱分布的隨機變量，由此得出的有限矩的對稱分布的和的分布的漸近展開。同時他認為，只要基本誤差互相獨立的，所有的基本誤差的方差對誤差和的方差有著支配作用，那么此時我們就認為正態分布就是實際誤差的分布，誤差非常小可以忽略不計。[8]誤差論的形成發展在當時并沒有得到重視，對統計學的發展也沒用體現出應有的作用，高斯的誤差理論也一直沒有應用到其他的方向，由于他產生于天文也一直用于天文，初具雛形的正態分布也始終沒有在統計學中沒有得到承認。其原因就是在那時誤差論和統計學就是兩個完全沒有關系的領域，誤差論主要是對觀測數據的分析計算，所用的知識都是高等數學方面的；而統計學只是對所得到的數據進行統計。4.正態分布的近代統計學之路近代統計學，是指18世紀中末葉至19世紀中末葉中統計學，是古典統計學到現代統計學的過中間過程。在古典統計時期的概率論發展史非常孤單的，與統計學的交流也非常少，概率論與統計學的水乳交融沒有真正的實現。到了近代統計時代，拉普拉斯帶帶來了許多新鮮的事物。拉普拉斯首次提出了概率的古典定義，他把一些概率論的理論做為基本理論，在此對中心極限定理進行證明，進一步完備了觀測誤差理論（其中含有最小二乘法）。首次把概率論的應該擴張到社會生活方面，最典型的例子就是概率論在人口統計上的應用，拉普拉斯所做的貢獻是他在繼承前人理論知識的基礎上又進行了一次偉大的創新。[9]在19世紀50念叨，人口統計空前發展出現了許多與人口統計相關的研究，如人的保險，醫療等，在經濟上統計學也被用于農業，工業的分析。統計學進一步得到了發展，在這個時期凱特萊出現了，他對統計學的推動可謂是巨大的。4．1“近代統計學之父”—凱特萊比利時人口學家、數學家、天文學家，人口統計家。他用大量的概率論中的原理用于對自然和社會現象的測量，然后統計大量數據，總是表現出統計的大數定律，這些數據所反映出來的一些規律可以提現一些事物的變化，甚至能預測未來事件發生的可能性。在他的理論中，人的出生、成長和死亡是有一定規律可循的，就是揭示這些規律。他覺得人口動波動的原因有自然的原因以及擾亂的原因。自然原因可以從性別、年齡、季節等方面進行分析，擾亂原因可以從從社會、經濟、政治與道德背景進行分析。在此分析的結果上，他又以恒常原因、可變原因和偶然原因對人口統計進行分析。由此提出了“平均人”學的說法，他認為在社會上的人概況起來都有一個平均值，每個人都按照平均值上下波動。這個平均人在現實中是非常典型的例子。根據這個典型的例子，我們能看到地球上人口狀態的共同形式，一所有社會所特有的形象都在這種平均人中巧妙地、曲折地反映出來。凱特萊根據人口統計資料研究了嬰兒性別比、婦女生育率、分年齡死亡率等等。由于他首創地在人口統計中使用到了概率論的知識，用數學知識理論研究人口問題，使得人口調查和人口統計有了新的發展。西方統計學界根據他在建立數理統計學方面所做的貢獻，稱他為“近代統計學之父”，他對正態分布的見解非常的獨特。[10]4．2凱特萊對正態曲線的拓展18世紀的統計數據分析問題主要是二項分布，狄莫弗引入的正態分布并沒有別當時所注意；到了19世紀初，由于拉普拉斯的中心極限定理，高斯的正態誤差理論，正態分布逐步有了它發回的機會，但是真正把正態分布拓展出去的是凱特萊，他把正態分布應用到天文，地理，物理，數學，生物，社會等各個領域，凱特萊把正態曲線推廣到誤差理論應用到新的領域和他所提出的“平均人”的概念中。1826年，凱特萊成為比利時國家統計局的地區通信員，他的工作大多與統計相關。他的做法是通過某一個地區的人口調查分析來對全國人口進行估計。這遭到了一些社會學家的反對，他們認為影響人口的因數非常多，如環境的好壞，文化程度，工作，飲食等等，在這些因數影響下的數據進行分析非常的不合理，得到的結果也不準確，凱特萊用了一個大膽的方法，在一批數據中，用這些數據是否服從正態分布作為這些數據是否是同一性質的標準，最后他通過實驗驗證了這樣方法。[11]后來，他把這一方法進行延生，引入了正態曲線，把正態分布從觀測誤。差推廣到各種來源的數據，為在社會科學與人文學中使用統計方法邁出了決定性的一步。1835年，凱特萊首次提出來“平均人"的概念，他把誤差法則、正態分布的理論引入到人事研究中去。凱特萊通過他的努力使統計學得到各個領域的關注，使理論的完善和新理論的誕生有著不可磨滅的作用。4．3高爾頓對正態分布的創新高爾頓本來是學醫的，后來進入了劍橋大學學習，接觸到了統計學方面的知識，他的家庭可以說是書香門第，父親也是研究統計學方面的，祖父、叔祖父都是英國皇家學會會員，可能是從小受到家庭的影響，他對學術研究有著非常濃厚的興趣。他是凱特萊的接班人，受凱特萊影響非常大，在凱特萊之后他致力于研究正態分布。高爾頓相信正態分布適用于自然，社會中的所有問題，在所有問題中，它都有它的適用性。他創造性地在生物學角度方面用到了正態分布，他發現兩代人遺傳方面符合正態曲線，總朝著一平均數發展。高爾頓原來是學醫的，所以他從生物學的角度來分析正態分布，他在親子兩代的身高問題的研究中發現，親子兩代的身高服從正態分布，對此它產生了兩點思考：l、在中心極限定理中，正態分布的形成有許許多多的原因，而整個曲線的形成是有這些原因共同結果而成，這樣的話遺傳問題如何解釋？2、我們都知道身高是遺傳的，一般來說會把優勢遺傳，由此形成的結果是兩級分化嚴重，但是第二代，通過數據的分析還是與正態分布想符合，這有如何解釋？[12]高爾頓做了一個名為“正態漏斗”的實驗，他得到的結果是雖然遺傳是一個大的因數，可以認為這個大的因數室友許許多多的小因數組成的。高爾頓通過這個實驗發現，雖然在表面上表現為同一性質，也可能有許多不同性質成分的存在，這就是正態分布為什么能在各個方面有應用的原因。高爾頓又做了一個—豌豆試驗，他發現：只要種子的大小是相同的，這些種子所產出的果實依舊符合正態分布，子代各個數據的平均值和母代有一定的聯系，并且非常地接近母代的平均值，基本上與一般平均值相符合，這個實驗基本回答了高爾頓第二點的疑惑。[13]由于凱特萊和高爾頓的創新和應用中，使我們看到了正態曲線那無與倫比的身姿正慢慢地浮現在我們眼前，在19世紀中到19世紀末的發張過程中，正態分布使概率論的數學計算的實現提供的可能。5.現代統計學中的正態分布從19世紀期起，以契比雪夫、馬爾可夫等為代表的俄羅斯學派，通過引入隨機變量的概念，建立了隨機變量的獨立非獨立的標準，以及收斂到正態分布的充要條件，從而在大數定律和中心極限定理上實現了數學的嚴謹性。此后這項工作隨概率論一起，在后人近一步的發展，概率論才真正成為一門演繹的數學理論，為數理統計學的形成奠定了堅實的理論基礎。在現代統計學的時代中，在威爾頓，埃其沃斯等人的引導下正態分布有了進一步的完善挖掘。邁入到了20世紀，一場小樣本理論的革命正在悄悄醞釀中，通過哥塞特，費歇爾等人的努力，正態分布在現代統計學中的地位得到了進一步的鞏固，人們普遍運用的正態分布擬合數據方法依舊是正態分布應用的主流；與正態分布相關的回歸分析、方差分析、等統計學中方法，慢慢地形成，并且都成為非常重要的統計方法，加速了現代統計學蓬勃發展。[14]在古典統計時期，統計學一般都是用拉普拉斯中心極限定理，對人們通過自然采集的數據進行處理。到了20世紀后，統計學家們在人工實驗中獲得的數據越來越精確，由統計分析得到的結論也別人所承認。6.正態分布的應用6.1頻數分布在現實生活中，當我們對數據用統計的方法來分析時間時，當我們需要了解某個數據在整體的分布，如果整個數據的分布是符合正態曲線的，此時我們能比較簡便的通過正態分布來計算，運用一步正態分布于標準正態分布之間的轉化然后查表。學校在一次體檢中檢測了300名高一女生的身高，測得的平均升高為159..23cm，通過計算其標準差為4.20cm,如何來估計身高在155.00cm~160.00cm的高一女生的比例及人數？由于人的身高我們可以認為它是一個正態分布，它符合正態分布曲線，所以我們可以通過正態分布公式來解決這一問題。設均值=159.23,=4.20,變量為xP{x<155}=p{<}===1-=1-0.8413=0.1587P{x<160}=P{<}===0.7794

則P{x<160}-P{x<155}=0.621，300*0.61=186人既身高在155.00cm~160.00cm的高一女生的比例約為62.1%，人數約為186人6.2對學生的一些情況進行調查學生的成績一直是社會普遍關心的問題，由此帶來的教育方面的統計學的發展，根據對大量學生的統計結果的分析，學生的智力水平，學習創新能力，接受新鮮事物等情況均符合正態曲線。當然學生的成績的分布更是正態分布的典型，一般來說學生的考試成績都是在某一個分數附近比較集中，高分和低分相對人數少一點，這樣的情況比較正常。如果曲線比較平或者比較偏某一邊，明顯的不對稱，那這次考試的情況可能就顯示不正常。下面兩個表示信息1,2班的數理統計與概率論的成績表表6-1信息（1）班概率論與數理統計成績表學號12345678910成績53759277676075446567學號11121314151617181920成績82625376528860636560學號21222324252627282930成績76697845776569775167學號31323334353637383940成績78557862605685466056學號41424344454647484950成績80635575697663607662表6-2信息（2）班概率論與數理統計成績表學號12345678910成績85726388747065866154學號11121314151617181920成績75687448745595757886學號21222324252627282930成績70527286639380477952學號31323334355437383940成績55758572926878506865學號41424344454647484950成績75956878928579758874對信息專業兩個班概率論與數理統計課程成績應用正態分布的相關理論進行分析過程如下:首先，我們要對樣本進行統計分類能得到如下表格：表6-3信息（1）班概率論與數理統計成績頻率分布表成績區間頻數頻率[40,50)30.06[50,60)80.16[60,70)210.42[70,80)120.28[80,90)50.1[90,100]10.02表6-4信息（2）班概率論與數理統計成績頻率分布表表成績區間頻數頻率[40,50)20.04[50,60)70.14[60,70)100.2[70,80)180.36[80,90)90.18[90,100]40.08其次，根據成績頻率分布表畫出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖。圖6-1信息（1）班概率論與數理統計成績頻率分布直方圖圖6-2信息（1）班概率論與數理統計成績頻率分布折線圖圖6-3信息（2）班概率論與數理統計成績頻率分布直方圖圖6-4信息（2）班概率論與數理統計成績頻率分布折線圖最后，計算總結分析，根據直方圖和折線圖我們可以看到這兩個班級的成績都基本符合正態分布曲線，所以我們可以通過正態分布來分析本次考試的成績。通過計算我們可以得到信息（1）班學生的均值=66.5，方差=15.2，信息（2）班學生的均值=73.1，方差=18.2。通過圖像可知圖6.2-4的圖像比圖6.2-2的圖像右移了一點，正態分布中對圖像的影響就是越大圖像越往右移，而在這兩個班中>：圖6.2-4的圖像比圖6.2-2的圖像更陡尖，，正態分布中對圖像的影響就是越小圖像就越陡尖，而在這兩個班中<。所以今后在分析學生成績時只要把學生成績制成圖就可以分析出成績的特點，不但可以分析出班級在某次考試中的情況，也可以對不同班級進行比較分析，進而對教師的教學有更好的幫助。如若某次考試的均值很小，得低分的學生特別多，的高分的學生特別少，那么可以認為此次考試的試題比較偏難，學生答題的情況不好。如若某次考試的均值很大，90多分，那么可能這次考試的題目較簡單，同學答的都很好或者教師的教授水平很高。方差是對整體波動的考察，越小說明整體成績的波動范圍比較小，最高分差與最低分差的差距較小，反之這相反。6.3醫學的正常值范圍參考醫學上把絕大多數數正常人的某些指標波動范圍稱為該指標的正常值范圍。正常人并不是指沒有任何疾病的人，而是一定條件下在這指標下對結果沒有影響的人。而許多的指標，入人的身高，紅白細胞的數量等都呈現正態分布或者近似服從正態分布。有一些指標雖然并沒有完全服從正態分布，當通過對數據進行簡單的轉化后新的變量服從了正態分布一般正常值選取的步驟選定一批正常的人群，然后抽取部分樣本確定單側和雙側范圍根據實際需要確定數據的可信度按照數據特點選用不同的方法計算正常值的范圍上，下界正態分布法：適合于正態分布有關的數據。百分位數法：適用于偏態分布數據或類型不明確的資料。在實際使用正常值的時候贏注意如果某人的某項指標不在正常值的范圍內，他不一定是病人。要對正常值范圍和可信區間區別。假如正常人和病人的某一項指標有交叉，則診斷有可能會有誤差。[15]6.4正態分布促進統計學的發展在概率論中的t分布、F分布、分布都是在正態分布的基礎上出來的，u檢驗的形成也與正態分布有很大的關系。此外，t分布、二項分布、泊松分布的極限為正態分布，在一定條件下，可以按正態分布原理來處理。[16]

.結束語正態分布作為在概率論歷史中非常重要的一環，可以說他的發展歷史就是概率論的發展史。在這個過程中我們不僅見證了正態分布的發展而且了解了整個社會大環境的進步與變遷。我們看到了現在正態分布在各個領域的廣泛應用。在正態分布中我們體會到了要用整體的眼光看待問題，整個曲線是一個整體，用整體的眼光才能看到事物的的本質，才能得到結論，若值看到一部分就可能以偏概全。同時正態曲線非常清楚地展示了重點，它的中間部分占了大量的面積，使我們懂得在日常生活中一定要抓住重點解決問題。事物總是從無到有，任何事物的產生都是各方面的因數共同做贏的結果，我們相信在未來正態分布一定會有各更好的明天。參考文獻[1]盛驟,謝式千,潘承毅.概率論與數理統計(第三版).高等教育出版社.2001[2]郭貴春，宋尚瑋．對概率論起源的思考．科學技術與辯證法，2006[3]趙選明.概率論基礎教程.機械出版社.2006[4][美]約翰?塔巴克著，楊靜譯．概率論和統計學．商務印書館[5]高慶豐．歐美統計學史．中國統計出版社，1987[6]李惠村歐美統計學派發展簡史北京統計出版社1984[7]陳希孺數理統計學簡史湖南教育出版社，2002[8]HaldA．AHistoryofMathematicalStatisticsfroInt1750to1930．JohnWiley＆Sons，Inc．NewYork：Wiley，1998[9]PearsonK．HistoricalNoteonthe0riginoftheNormalCurveofErrors．Biometrika，Vo．116，1924．[10]徐傳勝，郭政數理統計學的發展歷程高等數學研究2007[11]龔鑒堯世界統計名人明傳中國統計出版社2000[12]朱春浩概率論思想方法的歷史研究電子科技大學出版社2007[13]肖云茹.概率統計計算方法[M].天津:南開大學出版社,1994:[14]吳文俊中國數學史大系北京師范法學出版社，2000[15]張雙林馬維軍郝立柱姜春艷概率論與數理統計科學出版社2007[16]茆詩松等．高等數理統計[M1．北京：高等教育出版社，1998基于C8051F單片機直流電動機反饋控制系統的設計與研究基于單片機的嵌入式Web服務器的研究MOTOROLA單片機MC68HC（8）05PV8/A內嵌EEPROM的工藝和制程方法及對良率的影響研究基于模糊控制的電阻釬焊單片機溫度控制系統的研制基于MCS-51系列單片機的通用控制模塊的研究基于單片機實現的供暖系統最佳啟停自校正（STR）調節器單片機控制的二級倒立擺系統的研究基于增強型51系列單片機的TCP/IP協議棧的實現基于單片機的蓄電池自動監測系統基于32位嵌入式單片機系統的圖像采集與處理技術的研究基于單片機的作物營養診斷專家系統的研究基于單片機的交流伺服電機運動控制系統研究與開發基于單片機的泵管內壁硬度測試儀的研制基于單片機的自動找平控制系統研究基于C8051F040單片機的嵌入式系統開發基于單片機的液壓動力系統狀態監測儀開發模糊Smith智能控制方法的研究及其單片機實現一種基于單片機的軸快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于雙單片機沖床數控系統的研究基于CYGNAL單片機的在線間歇式濁度儀的研制基于單片機的噴油泵試驗臺控制器的研制基于單片機的軟起動器的研究和設計基于單片機控制的高速快走絲電火花線切割機床短循環走絲方式研究基于單片機的機電產品控制系統開發基于PIC單片機的智能手機充電器基于單片機的實時內核設計及其應用研究基于單片機的遠程抄表系統的設計與研究基于單片機的煙氣二氧化硫濃度檢測儀的研制基于微型光譜儀的單片機系統單片機系統軟件構件開發的技術研究基于單片機的液體點滴速度自動檢測儀的研制基于單片機系統的多功能溫度測量儀的研制基于PIC單片機的電能采集終端的設計和應用基于單片機的光纖光柵解調儀的研制氣壓式線性摩擦焊機單片機控制系統的研制基于單片機的數字磁通門傳感器基于單片機的旋轉變壓器-數字轉換器的研究基于單片機的光纖Bragg光柵解調系統的研究單片機控制的便攜式多功能乳腺治療儀的研制基于C8051F020單片機的多生理信號檢測儀基于單片機的電機運動控制系統設計Pico專用單片機核的可測性設計研究基于MCS-51單片機的熱量計基于雙單片機的智能遙測微型氣象站MCS-51單片機構建機器人的實踐研究基于單片機的輪軌力檢測基于單片機的GPS定位儀的研究與實現基于單片機的電液伺服控制系統用于單片機系統的MMC卡文件系統研制基于單片機的時控和計數系統性能優化的研究基于單片機和CPLD的粗光柵位移測量系統研究單片機控制的后備式方波UPS提升高職學生單片機應用能力的探究基于單片機控制的自動低頻減載裝置研究基于單片機控制的水下焊接電源的研究基于單片機的多通道數據采集系統基于uPSD3234單片機的氚表面污染測量儀的研制基于單片機的紅外測油儀的研究96系列單片機仿真器研究與設計基于單片機的單晶金剛石刀具刃磨設備的數控改造基于單片機的溫度智能控制系統的設計與實現基于MSP430單片機的電梯門機控制器的研制基于單片機的氣體測漏儀的研究基于三菱M16C/6N系列單片機的CAN/USB協議轉換器基于單片機和DSP的變壓器油色譜在線監測技術研究基于單片機的膛壁溫度報警系統設計基于AVR單片機的低壓無功補償控制器的設計基于單片機船舶電力推進電機監測系統基于單片機網絡的振動信號的采集系統基于單片機的大容量數據存儲技術的應用研究基于單片機的疊圖機研究與教學方法實踐基于單片機嵌入式Web服務器技術的研究及實現基于AT89S52單片機的通用數據采集系統基于單片機的多道脈沖幅度分析儀研究機器人旋轉電弧傳感角焊縫跟蹤單片機控制系統基于單片機的控制系統在PLC虛擬教學實驗中的應用研究基于單片機系統的網絡通信研究與應用基于PIC16F877單片機的莫爾斯碼自動譯碼系統設計與研究基于單片機的模糊控制器在工業電阻爐上的應用研究基于雙單片機沖床數控系統的研究與開發基于Cygnal單片機的μC/OS-Ⅱ的研究基于單片機的一體化智能差示掃描量熱儀系統研究HYPERLINK"/detail.htm?367311