平面向量的實(shí)際背景及基本概念教學(xué)設(shè)計(jì)

本節(jié)課的內(nèi)容是數(shù)學(xué)必修4，第二章《平面向量》的引言和第一節(jié)平面向量的實(shí)際背景及基本概念兩部分，所需課時(shí)為1課時(shí)。

一

教材分析

向量是近代數(shù)學(xué)最重要和最基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的橋梁，對(duì)更新和完善中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)起著重要的作用。向量集數(shù)與形于一身，有著極其豐富的實(shí)際背景，在現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見(jiàn)的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向線(xiàn)段是它的幾何背景。向量就是從這些實(shí)際對(duì)象中抽象概括出來(lái)的數(shù)學(xué)概念，經(jīng)過(guò)研究，建立起完整的知識(shí)體系之后，向量又作為數(shù)學(xué)模型，廣泛地應(yīng)用于解決數(shù)學(xué)、物理學(xué)科及實(shí)際生活中的問(wèn)題，因此它在整個(gè)高中數(shù)學(xué)的地位是不言而喻的。

本課是“平面向量”的起始課，具有“統(tǒng)領(lǐng)全局”的作用。本節(jié)概念課，重要的不是向量的形式化定義及幾個(gè)相關(guān)概念，而是能讓學(xué)生去體會(huì)認(rèn)識(shí)與研究數(shù)學(xué)新對(duì)象的方法和基本思路，進(jìn)而提高提出問(wèn)題，解決問(wèn)題的能

二

學(xué)情分析

在學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)中，與本課內(nèi)容相關(guān)的有：數(shù)的抽象過(guò)程、實(shí)數(shù)的絕對(duì)值（線(xiàn)段的長(zhǎng)度）、數(shù)的相等、單位長(zhǎng)度、0和1的特殊性、線(xiàn)段的平行與共線(xiàn)等。

三

目標(biāo)定位

根據(jù)以上的分析，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定位：

1）、知識(shí)目標(biāo)

⑴

通過(guò)對(duì)位移、速度、力等實(shí)例的分析，形成平面向量的概念；

⑵

學(xué)會(huì)平面向量的表示方法，理解向量集形與數(shù)于一身的基本特征；

⑶

理解零向量、單位向量、相等向量、平行向量的含義。

2）、能力目標(biāo)

培養(yǎng)用聯(lián)系的觀(guān)點(diǎn)

，類(lèi)比的方法研究向量；獲得研究數(shù)學(xué)新問(wèn)題的基本思路，學(xué)會(huì)概念思維；

3）、情感目標(biāo)

使學(xué)生自然的、水到渠成的實(shí)現(xiàn)“概念的形成”；讓學(xué)生積極參與到概念本質(zhì)特征的概括活動(dòng)中，享受寓教于樂(lè)。

重點(diǎn)：向量概念、向量的幾何表示、以及相等向量概念；

難點(diǎn)：讓學(xué)生感受向量、平行或共線(xiàn)向量等概念形成過(guò)程；

四、

教學(xué)過(guò)程概述：

4.1

向量概念的形成

4.1.1

讓學(xué)生感受引入概念的必要性

引子：章節(jié)

引言

意圖：向量概念不是憑空產(chǎn)生的。用這一簡(jiǎn)單直觀(guān)的問(wèn)題讓學(xué)生感受“既有大小又有方向的量”的客觀(guān)存在，自然引出學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生會(huì)有親切感，有助于激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

問(wèn)題1

你能否再舉出一些既有大小又有方向的量？

意圖：激活學(xué)生的已有相關(guān)經(jīng)驗(yàn)。

進(jìn)一步直觀(guān)演示，加深印象。

追問(wèn)：生活中有沒(méi)有只有大小沒(méi)有方向的量?請(qǐng)舉例。

意圖：形成區(qū)別不同量的必要性。概念抽象需要典型豐富的實(shí)例，讓學(xué)生舉例可以觀(guān)察到他們對(duì)概念屬性的領(lǐng)悟，形成對(duì)概念的初步認(rèn)識(shí)，為進(jìn)一步抽象概括做準(zhǔn)備。

類(lèi)比數(shù)的概念獲得向量概念的定義（板書(shū)）。

4.1.2

向量的表示方法

問(wèn)題2

數(shù)學(xué)中，定義概念后，通常要用符號(hào)表示它。怎樣把你舉例中的向量表示出來(lái)呢

意圖：讓學(xué)生先練習(xí)力的表示，讓錯(cuò)誤呈現(xiàn)，激發(fā)認(rèn)知沖突，最后自覺(jué)接受用帶有箭頭的線(xiàn)段（有向線(xiàn)段）來(lái)表示向量。（教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步完善）

幾何表示法：

記作A

B

|A

B|為AB的長(zhǎng)度(又稱(chēng)模)。

字母表示法：a、b、c??或a、b、c

??

4.1.3

單位向量、零向量的概念：

問(wèn)題3用有向線(xiàn)段表示向量，提出問(wèn)題，大家畫(huà)得線(xiàn)段長(zhǎng)度長(zhǎng)短不一怎么回事？如何解決這問(wèn)題？由單位長(zhǎng)度引入單位向量

意圖：這樣過(guò)渡學(xué)生不會(huì)感覺(jué)新的概念是從天而降，而是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的需要

歸納小結(jié)：?jiǎn)挝幌蛄俊L(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度并與a同向的向量叫做a方向上的單位向量．

歸納小結(jié)：零向量——長(zhǎng)度（模）為0的向量，記作0，它的方向是任意的。

提問(wèn)：你們認(rèn)為零向量和單位向量特殊嗎？它們的特殊性體現(xiàn)在哪？類(lèi)比實(shí)數(shù)集合中的0和1.

4.2

相等向量、平行(共線(xiàn))向量概念的形成

設(shè)計(jì)活動(dòng)：傳花游戲

，游戲中將呈現(xiàn)通過(guò)學(xué)生之間傳遞花朵所產(chǎn)生的位移向量，讓他們從大小和方向兩個(gè)方面展開(kāi)思考，教師適時(shí)介入，強(qiáng)化本質(zhì)特征、規(guī)范概念表達(dá)，與學(xué)生一起完成概念的定義。

意圖：通過(guò)游戲調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣和積極性，讓學(xué)生通過(guò)親身經(jīng)歷去體會(huì)相等向量與平行向量的本質(zhì)特征。

歸納：

1、從“方向”角度看，有方向相同或相反的非零向量就是平行向量。

記作：a

∥b

∥

c

任一組平行向量都可移到同一條直線(xiàn)上

，所以平行向量也叫共線(xiàn)向量。

2、從“長(zhǎng)度”角度看，有模相等的向量，︱a︱

=︱

b︱

3、既關(guān)注方向有又關(guān)注長(zhǎng)度有相等向量：記作：a

=

b

規(guī)定：

0

與任一向量都平行或（共線(xiàn)）。

教師通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示深化上述兩個(gè)概念

問(wèn)題4

由相等向量的概念知道，向量完全有它的方向和大小確定。由此，你能說(shuō)說(shuō)數(shù)學(xué)中的向量與物理中的矢量的異同嗎？另外，向量的平行、共線(xiàn)與線(xiàn)段的平行、共線(xiàn)有什么區(qū)別與聯(lián)系？

意圖：讓學(xué)生注意把向量概念與物理背景、幾何背景明確區(qū)分，真正抓住向量的本質(zhì)特征，完成“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程。

4.3

課堂練習(xí)：

概念辨析

兩個(gè)長(zhǎng)度相等的向量一定相等．

相等向量的起點(diǎn)必定相同．

平行向量就是共線(xiàn)向量．

若

AB

與

CD

共線(xiàn)，則

A、B、C、D

四點(diǎn)必在同一條直線(xiàn)上．

向量

a

與

b

平行，則向量

a

與

b

的方向相同或相反．

教材例題

3、教材第77頁(yè)，習(xí)題2.1第3、5題組第一題(選擇此題，可以進(jìn)一步理解位移概念，又能為后一步的學(xué)習(xí)做好鋪墊)4.4、小結(jié)：描述向量的兩個(gè)指標(biāo)：模和方向.平行向量不是平面幾何中的平行線(xiàn)段的簡(jiǎn)單類(lèi)比.向量的圖示，要標(biāo)上箭頭和始點(diǎn)、終點(diǎn).

學(xué)情分析

：在學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)中，與本課內(nèi)容相關(guān)的有：數(shù)的抽象過(guò)程、實(shí)數(shù)的絕對(duì)值（線(xiàn)段的長(zhǎng)度）、數(shù)的相等、單位長(zhǎng)度、0和1的特殊性、線(xiàn)段的平行與共線(xiàn)等效果分析：

在學(xué)生建立向量的概念之初，與數(shù)、形的相關(guān)概念類(lèi)比與聯(lián)系是值得重視的。在學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)中，與本課內(nèi)容相關(guān)的有：數(shù)的抽象過(guò)程、實(shí)數(shù)的絕對(duì)值（線(xiàn)段的長(zhǎng)度）、數(shù)的相等、單位長(zhǎng)度、0和1的特殊性、線(xiàn)段的平行與共線(xiàn)等。因此在具體教學(xué)中，我設(shè)計(jì)了一個(gè)能讓學(xué)生開(kāi)展概括活動(dòng)的過(guò)程，引導(dǎo)他們經(jīng)歷從具體事例中領(lǐng)悟向量概念的本質(zhì)特征，類(lèi)比數(shù)的概念獲得向量概念的定義及表示，類(lèi)比數(shù)的集合認(rèn)識(shí)向量的集合，類(lèi)比直線(xiàn)的基本關(guān)系認(rèn)識(shí)向量的基本關(guān)系。使學(xué)生從中體會(huì)到認(rèn)識(shí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念的基本思路，而不是停留在某個(gè)具體的概念學(xué)習(xí)上。

在向量的幾何表示中，我讓學(xué)生大膽探索，而不是“全包全攬”，教師引導(dǎo)，學(xué)生補(bǔ)充改進(jìn)，最終明確向量幾何表示的正確方法。整個(gè)過(guò)程全體同學(xué)熱情參與，自我教育，互幫互學(xué)，課堂氣氛生動(dòng)活潑。

當(dāng)同學(xué)們能將向量正確的幾何表示時(shí)，我又適時(shí)地提出問(wèn)題：大家畫(huà)出的線(xiàn)段長(zhǎng)短不一，怎么解決？由此自然過(guò)渡到單位長(zhǎng)度上，使得單位向量的引入也就順理成章了。

為了幫助學(xué)生學(xué)習(xí)相等向量、平行（共線(xiàn)）向量的概念，本課設(shè)計(jì)了“傳花游戲”，通過(guò)學(xué)生之間傳遞花朵所產(chǎn)生的位移向量，讓學(xué)生積極參與，仔細(xì)觀(guān)察，自己概括出概念的本質(zhì)特征，將課堂氣氛推向一個(gè)新的高潮。

在結(jié)束本課之前，為了讓同學(xué)對(duì)向量加深印象，我讓學(xué)生先欣賞一首關(guān)于向量的詩(shī)歌，再讓學(xué)生在課外動(dòng)筆寫(xiě)出自己對(duì)向量的感受。

本節(jié)課是從現(xiàn)實(shí)世界的常見(jiàn)實(shí)例出發(fā)，以學(xué)生自主探究的教學(xué)方式為主。在課堂上，創(chuàng)建了一個(gè)以全班學(xué)生共同參與的向量游戲平臺(tái)，讓學(xué)生在輕松愉悅的課堂環(huán)境中，共同參與，共同討論，共同分析，讓學(xué)生自然地、水到渠成的完成本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。整節(jié)課，我留給學(xué)生充足的時(shí)間，讓學(xué)生參與概念本質(zhì)特征的概括活動(dòng)過(guò)程，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的最終目的向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來(lái)的，反過(guò)來(lái)，向量的理論和方法，又成為解決物理學(xué)和工程技術(shù)的重要工具，向量之所以有用，關(guān)鍵是它具有一套良好的運(yùn)算性質(zhì)，通過(guò)向量可把空間圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算，這樣通過(guò)向量就能較容易地研究空間的直線(xiàn)和平面的各種有關(guān)問(wèn)題。向量不同于數(shù)量，它是一種新的量，關(guān)于數(shù)量的代數(shù)運(yùn)算在向量范圍內(nèi)不都適用。因此，本章在介紹向量概念時(shí)，重點(diǎn)說(shuō)明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后又重新給出了向量代數(shù)的部分運(yùn)算法則，包括加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積、向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則等。之后，又將向量與坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，把關(guān)于向量的代數(shù)運(yùn)算與數(shù)量(向量的坐標(biāo))的代數(shù)運(yùn)算聯(lián)系起來(lái)，這就為研究和解決有關(guān)幾何問(wèn)題又提供了兩種方法——向量法和坐標(biāo)法。本章共分五大節(jié)。第一節(jié)是“平面向量的實(shí)際背景及基本概念”，內(nèi)容包括向量的物理背景與概念、向量的幾何表示、相等向量與共線(xiàn)向量。本節(jié)從物理學(xué)中的位移、力這些既有大小又有方向的量出發(fā)，抽象出向量的概念，并重點(diǎn)說(shuō)明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后介紹了向量的幾何表示、向量的長(zhǎng)度、零向量、單位向量、平行向量、共線(xiàn)向量、相等向量等基本概念。在“向量的物理背景與概念”中介紹向量的定義；在“向量的幾何表示”中，主要介紹有向線(xiàn)段、有向線(xiàn)段的三個(gè)要素、向量的表示、向量與有向線(xiàn)段的區(qū)別與聯(lián)系、向量的長(zhǎng)度、零向量、單位向量、平行向量；在“相等向量與共線(xiàn)向量”中，主要介紹相等向量，共線(xiàn)向量定義等。課時(shí)測(cè)評(píng)一、選擇題1．下列說(shuō)法正確的有()①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的長(zhǎng)度為0；③共線(xiàn)向量是在同一條直線(xiàn)上的向量；④零向量是沒(méi)有方向的向量；⑤共線(xiàn)向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．下列命題正確的是()A．若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－bB．向量的模一定是正數(shù)C．起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量D．向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是共線(xiàn)向量，則A、B、C、D四點(diǎn)必在同一直線(xiàn)上3．下列四個(gè)命題①若|a|＝0，則a＝0；②若|a|＝|b|，則a＝b，或a＝－b；③若a∥b，則|a|＝|b|；④若a＝0，則－a＝0.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．44．下列命題正確的是()A．a(chǎn)與b共線(xiàn)，b與c共線(xiàn)，則a與c也共線(xiàn)B．任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C．向量a與b不共線(xiàn)，則a與b都是非零向量D．有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行二、填空題5．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|，則四邊形為_(kāi)_______．6．給出以下5個(gè)條件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a與b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a與b都是單位向量．其中能使a∥b成立的是________．7．下列各種情況下，向量的終點(diǎn)在平面內(nèi)各構(gòu)成什么圖形．①把所有單位向量移到同一起點(diǎn)；②把平行于某一直線(xiàn)的所有單位向量移到同一起點(diǎn)；③把平行于某一直線(xiàn)的一切向量移到同一起點(diǎn)．①__________；②____________；③____________.三、解答題8.如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c.(1)與a的模相等的向量有多少個(gè)？(2)與a的長(zhǎng)度相等，方向相反的向量有哪些？(3)與a共線(xiàn)的向量有哪些？(4)請(qǐng)一一列出與a，b，c相等的向量．9．已知飛機(jī)從甲地按北偏東30°的方向飛行2000km到達(dá)乙地，再?gòu)囊业匕茨掀珫|30°的方向飛行2000km到達(dá)丙地，再?gòu)谋叵蛭髂戏较蝻w行1000eq\r(2)km到達(dá)丁地，問(wèn)丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多遠(yuǎn)？為了幫助學(xué)生建立向量的概念，與數(shù)、形的相關(guān)概念（數(shù)及其運(yùn)算、直線(xiàn)（段）的平行關(guān)系等）類(lèi)比與聯(lián)系是值得重視的．在學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)中，與本節(jié)內(nèi)容相關(guān)的有：數(shù)的抽象過(guò)程、實(shí)數(shù)的絕對(duì)值（線(xiàn)段的長(zhǎng)度）、數(shù)的相等、0和1的特殊性、線(xiàn)段的平行或共線(xiàn)等，這些將為學(xué)生自覺(jué)、有序、有效地認(rèn)知向量概念提供“固著點(diǎn)”．具體教學(xué)時(shí)，要設(shè)計(jì)一個(gè)能讓學(xué)生開(kāi)展概括活動(dòng)的過(guò)程，引導(dǎo)他們經(jīng)歷從具體事例（位移、力、速度等）中領(lǐng)悟向量概念的本質(zhì)特征，類(lèi)比數(shù)的概念獲得向量概念的定義及表示，類(lèi)比數(shù)的集合認(rèn)識(shí)“向量的集合”，類(lèi)比直線(xiàn)（段）的基本關(guān)系認(rèn)識(shí)向量的基本關(guān)系．要使學(xué)生從中體會(huì)到認(rèn)識(shí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念的“基本套路”：從具體背景中抽象出共同本質(zhì)特征——定義——表示——定義“相等”（這件事情很重要，但往往不被注意）、“單位元”、“0元”——某些特殊關(guān)系．由此看來(lái)，向量概念的形成并不是一件容易的事情．