4.1信號分解為正交函數在線性空間中，任何矢量可用相互垂直的單位矢量表示。這組矢量稱為正交矢量集。一.正交函數集

正交函數：函數1(t)和2(t)在區間(t1，t2)內正交，則

正交函數集：n個函數1(t)，…，n(t)在區間(t1，t2)內構成的正交函數集{i(t)}滿足1Ki為常數，如果Ki＝1，則稱該函數集為歸一化正交函數集。完備正交函數集：在正交函數集之外，不存在函數與之正交。 一個完備的正交函數集通常包括無窮多個函數。正交復函數的定義：正交函數集例：（在區間[t0，t0+T]，且T=2）三角函數集：{1，cos(nt)，sin(nt)；n＝1，2，3，…}復指數函數集：{ejnt；n＝0，1，2，…}2二.信號分解為正交函數

對任一函數f(t)用n個正交函數的線性組合來近似選擇Cj時使實際函數與近似函數之間的誤差最小，取均方誤差要使均方誤差最小，就是求函數的極值。對上式求極值得3于是可得誤差均方誤差總是大于等于0，增大n可使誤差減小。4當n，誤差為0，則有帕斯瓦爾(Parseval)方程帕斯瓦爾方程物理意義：如果f(t)是電壓或電流信號，則單位電阻上信號的總能量等于信號的各正交分量的能量之和。因此f(t)在區間(t1,t2)可分解為無窮多項正交函數之和54.2傅里葉級數周期信號在區間(t0，t0＋T)上可以展開成在完備正交信號空間中的無窮級數。三角函數集或復指數函數集是完備的正交函數集，由其展開的級數統稱為傅里葉級數。一.周期信號的分解設有周期信號f(t)，可分解為an、bn稱為傅里葉系數。可由下式求得6an是n的偶函數，即a?n＝an； bn是n的奇函數，即b?n＝?bn。f(t)分解式的另一種形式式中 A0=a07例：將方波信號展開為傅里葉級數。1f(t)t-T-1T解：傅里葉系數為8傅里葉級數的展開式為9 圖示方波信號分解 吉布斯(Gibbs)現象：當n時，在間斷點處有9%的偏差。 如果方波信號如圖所示1f(t)t-T-1T則傅里葉級數的展開式為10二.奇、偶函數的傅里葉系數

根據傅里葉系數計算式，f(t)為偶函數，則系數為f(t)為奇函數，則系數為11任何函數都可分解為奇函數和偶函數兩部分 f(t)＝fod(t)＋fev(t)由于 f(?t)＝fod(?t)＋fev(?t)＝?fod(t)＋fev(t)所以例f(t)=e?t(t)，則0tf(t)0.5?0.50tf(t)0.512Ff(t)t-TTFf(-t)t-TTFfod(t)t-TTFfev(t)t-TT半波整流波形13全波整流信號f1(t)=E|sin0t|Ef1(t)t-TT14求半波整流信號f2(t)＝Esin(0t)(sin0t)的傅立葉級數。Ef2(t)t-TT半波整流信號是由奇函數和偶函數兩部分組成的：15f(t)為奇諧函數：將f(t)移動T/2后，與原波形反相，即對稱于橫軸 f(t)＝?f(tT/2)1f(t)t-TT奇諧函數的傅里葉級數展開式中只含奇次諧波，不含偶次諧波。16三.傅里葉級數的指數形式因為cosx＝(ejx＋e?jx)/2，所以A?n＝An?n＝?n17 Fn稱為復傅里葉系數，計算式為18傅里葉級數小結：194.3周期信號的頻譜一.周期信號的頻譜周期信號的傅里葉級數An、Fn、n與n有關，也即與頻率有關。An或|Fn|與之間的關系稱為幅頻特性，相應地可畫出頻譜圖，稱為幅度頻譜。

n與之間的關系稱為相位頻譜。周期信號的頻譜只在＝n處取值，是離散頻譜。

20Sa(x)二.周期矩形脈沖的頻譜01T/2-T-/2f(t)t定義取樣函數為Sa(x)為偶函數21所以在頻譜圖上＝n處，存在譜線，譜線間隔為。T不變：減小，幅度減小，一周內譜線增加，間隔不變。不變：T增加，幅度減小，譜線間隔變密。圖示頻譜圖。信號能量集中在第一個零點內，＝2/＝2f0

。定義周期矩形脈沖信號的頻帶寬度為：F=f0=1/。22三.周期信號的功率周期信號的歸一化平均功率這是功率形式的帕斯瓦爾恒等式。例：幅度為1，脈沖寬度為0.2，周期為1的矩形脈沖信號，信號功率為23其傅里葉系數為第一個零點為0.2n=，即n=5。在頻譜第一個零點內各分量的功率和為第一個零點內分量所占總功率的比例為244.4非周期信號的頻譜一.傅里葉變換由傅里葉級數的指數形式及其系數可得當T時，d，1/Td/2，n，離散頻率變成連續頻率，Fn為無窮小。上式成為25常用下面符號簡記： F(j)＝F

[f(t)]F[f(t)]表示對函數f(t)取傅里葉變換，F(j)稱為f(t)的頻譜密度函數或頻譜函數； f(t)＝F

?1[F(j)]F

?1[F(j)]表示對函數F(j)取逆變換

，f(t)稱為F(j)的原函數。對應關系簡記為：f(t)F(j)頻譜函數是的復函數 F(j)＝|F(j)|ej()＝R()＋jX()其中|F(j)|為幅度頻譜，()為相位頻譜。26比較：實函數f(t)，復函數F(j)，復變函數F(s)。傅里葉變換的三角函數形式物理意義：非周期信號含有所有連續頻率分量，但其幅值為無窮小，用密度代替幅度來表示。傅里葉積分由傅里葉級數推導而得，所以f(t)在無限區間上滿足狄氏條件是傅里葉積分存在的條件。|F(j)|是偶函數該項積分為027一些特殊函數的傅里葉變換(1)門函數的頻譜函數門函數g(t)＝(t＋/2)?(t?/2)頻譜圖傅里葉積分存在的充分條件是f(t)在無限區間上絕對可積f(t)t/21028(2)單邊指數函數的頻譜函數單邊指數函數 f(t)＝e?t(t)>0幅度譜和相位譜分別為0tf(t)29(3)雙邊指數函數的頻譜函數雙邊指數函數 f1(t)＝e?|t|

>0(4)另一形式的雙邊指數函數的頻譜函數雙邊指數函數(>0)30二.奇異函數的傅里葉變換(1)沖激函數的頻譜

頻譜密度恒為1，稱為均勻譜或白色頻譜。沖激函數的頻譜也可由門函數推得(t)131(2)沖激函數導數的頻譜即'(t)j幅度譜|F(j)|＝，相位譜()＝/2。根據廣義函數導數的定義可得F

[(n)(t)]＝(j)n。(3)單位直流信號的頻譜單位直流信號可看作雙邊指數函數f1(t)當0時的極限直流分量為有限值，頻譜密度為無窮。32頻譜函數是沖激函數，其強度為所以(4)符號函數的頻譜

符號函數定義為1sgn(t)t0-133sgn(t)可看作是雙邊指數函數f2(t)當0時的極限，其頻譜函數為通常表示為sgn(t)2/j(5)階躍函數的頻譜

34常用函數的傅里葉變換：354.5傅里葉變換的性質(1)線性 若 fi(t)Fi(j)(i=1,2,…,n) 則對任意常數ai(i=1,2,…,n)，有

傅里葉變換對傅立葉變換后線性性質不變。36(2)奇偶性分析頻譜函數的奇偶性，及其與時間函數之間的關系。頻譜函數的實部和虛部分別為頻譜函數的模和相角分別為37f(t)是時間t的實函數： R()=R(?),X()=?X(?) |F(j)|=|F(?j)|,()=?(?) 若f(t)是偶函數，則X()＝0，F(j)＝R()； 若f(t)是奇函數，則R()＝0，F(j)＝jX()。 f(?t)的傅里葉變換為＝F(?j)＝R(?)＋jX(?)＝R()?jX()＝F*(j)即F

[f(?t)]＝F(?j)＝F*(j)38f(t)是時間t的虛函數，即f(t)=jg(t)，則有 R()=?R(?),X()=X(?) |F(j)|=|F(?j)|,()=?(?)

F

[f(?t)]＝F(?j)=?F*(j) 類似可得f(t)為復函數的性質。無論f(t)為實函數或復函數，都有

F

[f(?t)]=F(?j)

F

[f*(t)]=F*(?j)

F

[f*(?t)]=F*(j)39(3)對稱性 若 f(t)F(j) 則 F(jt)2f(?) 傅里葉逆變換式將式中的自變量t換為?t得將上式中的t換為，換為t，即得40例：求取樣函數Sa(t)=sint/t的頻譜函數。門函數傅氏變換 g(t)

Sa(/2)

根據對稱性Sa(t/2)2g(?)令＝2，則得 Sa(t)

g2()例：求函數f(t)=t的頻譜函數。

'(t)j jt2'(?)=?2'() tj2'()41(4)尺度變換 若 f(t)F(j) 則如a>1，則表示在時域中信號對時間的壓縮，對應其在頻域中信號占有頻帶的擴展。證明：令x=at，則當a>0時42令x=t?t0(5)時移特性

當a<0時 若 f(t)F(j) 則f(tt0)ejt0F(j)，(t0為常數)證明：同理可得f(t+t0)的變換。43例：求圖示五脈沖信號的頻譜。解：單脈沖信號的變換為g(t)Sa(/2)

因為f(t)＝g(t)+g(t+T)+g(t?T)+g(t+2T)+g(t?2T)所以F(j)＝Sa(/2)(1+ejT+e?jT+ej2T+e?j2T)＝Sa(/2)[1+2cos(T)+2cos(2T)]當T＝4時波形見圖4.5-4。f(t)t/2T10-T2T-2T脈沖數n→？44綜合尺度變換和時移特性有 若 f(t)F(j) 則由尺度變換可得反轉特性:F

[f(?t)]＝F(?j)例：求圖示f2(t)、f3(t)函數的傅里葉變換。f1(t)t-1110f2(t)t-2210-1f3(t)t-1110-145解：f1(t)為門函數，其傅里葉變換為 g2(t)2Sa()函數f2(t)可表示為 f2(t)=f1(t+1)－f1(t?1)其傅里葉變換 又f3(t)=f2(2t)，所以46f3(t)也可直接由綜合變換式求得f3(t)=g2(2t+1)?g2(2t?1) g2(t)2Sa()47(6)頻移特性 若 f(t)F(j)，且0為常數 則應用頻移特性實現頻譜搬移，將信號f(t)乘以載頻信號cos0t或sin0t得到。因為同理可得48例：矩形調幅信號49(7)卷積定理時域卷積定理若 f1(t)F1(j) f2(t)F2(j)則 f1(t)*f2(t)F1(j)·F2(j)

證明：50頻域卷積定理若 f1(t)F1(j) f2(t)F2(j)

則證明：51例：求斜升函數r(t)=t(t)的頻譜。解：根據函數t和(t)的頻譜，應用頻域卷積定理由此可得：

F

[|t|]=F

[t(t)+(?t)(?t)]52(8)時域微分和積分時域微分定理 若 f(t)F(j) 則 f(n)(t)(j)nF(j)根據卷積的微分運算和時域卷積定理，則有

F

[f'(t)]=F

[f(t)*'(t)]=F

[f(t)]·F

['(t)]=jF(j)重復應用以上結果得時域微分定理。在交流電路分析時：時域積分定理 若 f(t)F(j)

則f(?1)(t)

F(0)()+(j)?1F(j)

53根據時域卷積定理，可得

F

[f(?1)(t)]=F

[f(?1)(t)*(t)]=F

[f(t)*(?1)(t)] =F

[f(t)]·F

[(t)]=F(j)[()+1/j] =F(0)()+F(j)/j

F(0)可以在頻域中求，也可在時域中求：54例：求三角形脈沖的頻譜函數。f(t)t-/2/210f'(t)t-/2/22/0-2/f"(t)t-/2/20(2/)(2/)(-4/)對其求二次導數得沖激函數55f(t)的頻譜函數為因為F(0)=0，F(j)/j|=0=0，所以f(t)的頻譜函數為則三角形脈沖可表示為56則頻譜函數應為在時域積分定理中認為實際上例：(t)與sgn(t)/2的導數都是(t)，但?時值不同57(9)頻域微分和積分

頻域微分 若 f(t)F(j) 則 (?jt)nf(t)F(n)(j)或 tnf(t)jnF(n)(j) 證： F

?1[F'(j)]=F

?1[F(j)*'()] =2F

?1[F(j)]·F

?1['()]即(?jt)1f(t)F(1)(j)類推可得n次微分。時域函數有tn因子時，變換可考慮用頻域微分性質。58頻域積分 若 f(t)F(j) 則式中f(0)可以在時域中求，也可在頻域中求證明：

F

?1[F(?1)(j)]=F

?1[F(j)*(?1)()] =2F

?1[F(j)]·F

?1[()]=2f(t)·F

?1[()]59時域函數有t?1因子時，且f(0)=0，可考慮用如下頻域積分性質因為根據對稱性取反轉60例：求r(t)=t(t)的頻譜函數。例：求Sa(t)=sint/t的頻譜函數。應用頻域微分應用頻域積分61若

f1(t)F1()，f2(t)F2()則有相關定理

F

[R12()]=F1(j)F2*(j)

F

[R21()]=F1*(j)F2(j)這是因為

F

[R12()]=F

[f1()*f2(?)]=F1(j)F2(?j)=F1(j)F2*(j)相關定理中f1(t)、f2(t)應該是實函數。對于自相關函數則有

F

[R()]=F(j)F*(j)=|F(j)|2(10)相關定理62傅里葉變換性質小結線性 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(j)+a2F2(j)奇偶性f(t)為實函數：R()、|F(j)|偶函數；X()、()奇函數。F

[f(?t)]=F(?j)=F*(j)對稱性 F(jt)2f(?)時移特性尺度變換63時域卷積定理 f1(t)*f2(t)F1(j)·F2(j)頻域卷積定理時域微分 f(n)(t)(j)nF(j)時域積分頻域微分 (?jt)nf(t)F(n)(j)頻域積分頻移特性64 若E、P有界，則f(t)稱為能量信號或功率信號。能量譜若f(t)為實函數，信號能量與頻譜函數的關系

4.6能量譜和功率譜65即上式也是能量形式的帕斯瓦爾方程。可將上式改寫為物理意義：在df頻帶范圍內，信號具有的能量為無窮小量|F(j)|2df。定義能量密度譜

E

()=|F(j)|2信號的能量譜是其自相關函數的頻譜函數

E

()=F

[R()]=|F(j)|2E

()反映了信號的能量在頻域中的分布。66功率譜定義函數fT(t)=f(t)[(t+T/2)?(t?T/2)]FT(j)=F

[fT(t)]如果f(t)是實函數，則信號平均功率為當T時，fT(t)f(t)。定義功率密度譜為功率譜P()反映信號功率在頻域中分布。67若f1(t)和f2(t)是功率信號，定義互相關函數為若f(t)是功率信號，定義自相關函數為其傅立葉變換為68即R()P()此即維納-欣欽關系，據此可用功率譜描述隨機信號的頻率特性。例：求信號f(t)=Sa(t)的能量。解：已知變換對根據信號的能量與頻譜函數關系式，Sa(t)的能量為694.7周期信號的傅里葉變換一.正、余弦函數的傅里葉變換二.一般周期函數的傅里葉變換

周期函數展開成傅里葉級數式中=2/T。70周期函數的傅里葉變換 上式表明周期函數的F(j)和Fn之間關系。傅里葉變換得到的是頻譜密度F(j)，傅里葉級數得到的是傅里葉系數Fn。周期性單位沖激函數系列稱為梳狀函數71所以T(t)的傅里葉變換為梳狀函數的傅里葉系數為0-2T-TT2TT(t)t0-2-2()72周期信號fT(t)在一個周期內(?T/2~T/2)函數令為f0(t)，則 fT(t)=f0(t)*T(t)(見P71)其傅里葉變換為比較可得傅里葉變換中的一些性質、定理也可用于傅里葉級數。主周期信號f0(t)包含了周期信號fT(t)的全部信息。73則其傅里葉變換為例：周期矩形脈沖信號其傅里葉系數為7475例：將圖示周期信號展開成指數型傅里葉級數。fT(t)0t1T-T解：f1(t)的傅里葉變換為f0(t)的傅里葉變換為f0(t)0t1Tf1(t)0t1T/276fT(t)的傅里葉系數為fT(t)的傅里葉級數為實際上774.8LTI系統的頻域分析一.頻率響應

系統的時域分析法用(t)或(t)作為基本信號，系統的頻域分析法可用虛指數函數ejt作為基本信號。在時域分析中，系統的零狀態響應為 yzs(t)=h(t)*f(t)應用傅里葉變換的時域卷積性質，上式成為 yzs(t)=F

?1[H(j)·F(j)]頻域分析法就是應用頻域函數分析系統的響應，將時域中的卷積運算變換為頻域中的相乘運算。由于在頻域分析時，只能求系統的零狀態響應，因此以下yzs(t)簡寫為y(t)。78LTI系統的沖激響應為h(t)，設激勵為虛指數函數f(t)=ejt(?<t<)，則系統的零狀態響應y(t)=h(t)*f(t)式中H(j)是h(t)的傅里葉變換，稱為系統頻率響應函數或系統函數。H(j)反映了響應y(t)的幅度和相位變化。任意信號f(t)可以看作無窮多個虛指數信號ejt之和，即79任意信號激勵下的零狀態響應的推導：H(j)也可定義為|H(j)|稱為幅頻特性，()稱為相頻特性。80例：求系統y'(t)+2y(t)=f(t)的零狀態響應，f(t)=e?t(t)。解：對微分方程取傅里葉變換得 jY(j)+2Y(j)=F(j)由此得激勵的傅里葉變換響應的傅里葉變換取傅里葉逆變換得系統響應y(t)=(e?t－e?2t)(t)81例：電路如圖所示，激勵為us(t)=(t)，求零狀態響應uC(t)。+CR_+us(t)_uC(t)解：電路頻率響應函數為激勵的傅里葉變換82電路零狀態響應uC(t)的頻譜函數為取傅里葉逆變換得uC(t)=F

1[UC(j)]=(1et)(t)根據交流電路建立電路方程的方式，得到頻率響應函數，由H(j)可求得系統的零狀態響應。83例：求圖示系統的輸出y(t)。已知f(t)s(t)x(t)y(t)H(j)解：門函數的頻譜函數為取＝4，根據對稱性可得 4Sa(2t)2g4(?)=2g4()即 F

[sin(2t)/t]=g4()s(t)的頻譜函數為 F

[cos(3t)]=[(+3)+(?3)]84根據系統圖得 y(t)=h(t)*x(t)=h(t)*[f(t)·s(t)]取傅里葉變換得85取逆變換可得-11X(j)5-5g4(+3)+g4(?3)H(j)3-3g6()Y(j)-113-3g2(+2)+g2(?2)86二.無失真傳輸無失真傳輸的輸出信號定義為：y(t)=Kf(t?td)對上式取傅里葉變換得：Y(j)=Ke?jtdF(j)系統的頻率響應函數為：H(j)=Ke?jtd

所以無失真傳輸的條件為 |H(j)|=K ()=?td

|H(j)|0K()087無失真傳輸系統的沖激響應為 h(t)=K(t?td)無失真傳輸系統的沖激響應還是沖激函數，但有強度變化和延時。三.理想低通濾波器的響應理想低通濾波器可看作頻域中寬度為2c的門函數根據對稱性，由得|H(j)|01c-c()88令=2c，得所以理想低通濾波器的沖激響應沖激響應在輸入沖激之前就已出現，因而是非因果系統，這是由于理想化的結果，實際不可實現。89理想低通濾波器的階躍響應為式中Sa(x)為偶函數，其積分定義正弦積分

所以令c(?td)=xxc=c(t?td)90物理可實現系統應滿足的條件： 時域（因果條件）h(t)＝0,t<0g(t)＝0，t<0頻域(Paley-Wiener準則)幅頻特性滿足平方可積而且滿足物理可實現系統，其H(j)可以在某些孤立點上為0，但不能在某個有限頻帶內為0。914.9取樣定理一.信號的取樣

取樣——利用取樣脈沖序列s(t)從連續時間信號f(t)中取出一系列離散樣本值fs(t)的過程。 fs(t)=f(t)·s(t)f(t)0ts(t)0tTsfs(t)0tTsfs(t)稱為取樣信號，s(t)稱為開關函數，Ts為取樣周期，s為取樣角頻率。fs(t)f(t)s(t)數字信號量化編碼92取樣的目的：將模擬信號轉換為數字信號。取樣的要求：保持原有信號的所有信息。由頻域卷積定理可得取樣信號的頻譜函數開關函數可以為沖激函數系列或矩形脈沖系列。沖激取樣梳狀函數其頻譜函數(見P169)也為周期脈沖系列93 如果連續信號f(t)為區間(?m，m)內頻帶有限信號(簡稱帶限信號)，則ss()0sTs(t)0tTs1f(t)0tF(j)0mfs(t)0tTsFs(j)0sm94當s>2m時，不發生混疊現象，可以從取樣信號中恢復原信號。否則就不能恢復原信號。例：對信號f(t)=2sin0t+sin30t進行沖激取樣，取樣頻率應為多少？因為m=30，所以s>60。矩形脈沖取樣取樣脈沖序列是幅度為1，脈寬為(<Ts)的矩形脈沖序列 s(t)=pTs(t)其頻譜函數(見P168)為95則取樣信號的頻譜函數f(t)0tF(j)0m-mP(j)0spTs(t)0tTs1fs(t)0tTsFs()0sm96二.時域取樣定理f(t)s(t)fs(t)h(t)f(t)為了從Fs(j)中無失真地恢復F(j)，選擇一個理想低通濾波器(時延為0，幅度為Ts)輸出信號頻譜 F(j)=Fs(j)·H(j)F(j)0smc97低通濾波器是幅值為Ts的門函數，其沖激響應為由此得令c=s/29899f(t)0tfs(t)0tTs-Tsh(t)0tTs-TsFs(j)0sm-s0cH(j)-c0F(j)m-mF(j)S(j)Fs(j)H(j)F(j)100時域取樣定理：一個頻譜在區間(?m，m)以外為零的帶限信號f(t)，可唯一地由其在均勻間隔Ts(Ts<Tm/2，或s>2m)上的樣點值f(nTs)確定。奈奎斯特(Nyquist)頻率：取樣頻率的下限fs＝2fm；奈奎斯特間隔：取樣間隔的上限Ts＝Tm/2。例1：求信號f(t)＝2+4cos(5t)+cos(10t)的取樣頻率。解：因為m＝2fm＝10rad/sf(t)最高頻率fm＝5/Hz奈奎斯特頻率fs＝2fm＝10/Hz奈奎斯特間隔Ts＝1/fs＝/10s101例2：求信號f(t)＝Sa(100t)的取樣頻率。解：因為Sa(t/2)2g()取＝200，其m＝100rad/s，fm＝50/Hz所以fs>100/Hz，Ts</100s頻域取樣定理：一個在時域區間(?tm，tm)以外為零的有限時間信號f(t)的頻譜函數為F(j)，可唯一地由其在均勻頻率間隔fs(fs<1/2tm)上的樣點值F(jns)確定。102題4.20(5)、(8)解(5)：設f1(t)＝tf(t)，f2(t)＝f1(1?t)＝(1?t)f(1?t)，其頻譜函數分別為解(8)：設f1(t)＝f(3?2t)，f2＝ejtf1(t)＝ejtf(3?2t)，其頻譜函數分別為注意！103題4.21(4)解：因為給定頻譜函數104105題4.21(4)另一種解法：F(j)＝[()?(?2)]e-j＝g2(?1)e?j因為Sa(t/2)2g()令=2得時移頻移所以106題4.22(b)解：圖示頻譜函數為根據變換對Sa(t/2)2g()取＝0，則所以107題4.33解：因為s(t)S(j)所以頻譜函數為系統的頻率響應為108題4.33也可這樣求頻譜函數為109題4.40fs1(t)f(t)cos(bt)H1(j)fs2(t)x(t)y(t)cos(b+m)tH2(j)0mF(j)-m0bFs1(j)-b0bH1(j)-b1100bX(j)-b0mFs2(j)-b-mmb+m0mH2(j)-m0mY(j