福建省泉州市南平市劍津中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.給出下列三個(gè)命題：①若奇函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)任意都有，則為周期函數(shù)；②若函數(shù),，則函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③函數(shù)與是同一函數(shù)。其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：C2.在的任一排列中，使相鄰兩整數(shù)互質(zhì)的排列方式種數(shù)共有（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D4.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在

（

）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：B5.若雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)三等分焦距，則該雙曲線的漸近線方程是（

）A．

B．C．D．參考答案：D6.函數(shù)的定義域是(A)

(B)

(C)

(D)

參考答案：B略7.（5分）下列命題中為真命題的是（）A．若x≠0，則x+≥2B．命題：若x2=1，則x=1或x=﹣1的逆否命題為：若x≠1且x≠﹣1，則x2≠1C．“a=1”是“直線x﹣ay=0與直線x+ay=0互相垂直”的充要條件D．若命題P：?x∈R，x2﹣x+1＜0，則￢P：?x∈R，x2﹣x+1＞0參考答案：B【考點(diǎn)】：命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】：計(jì)算題；推理和證明．【分析】：對(duì)四個(gè)命題，分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．解：對(duì)于A，x＞0，利用基本不等式，可得x+≥2，故不正確；對(duì)于B，命題：若x2=1，則x=1或x=﹣1的逆否命題為：若x≠1且x≠﹣1，則x2≠1，正確；對(duì)于C，“a=±1”是“直線x﹣ay=0與直線x+ay=0互相垂直”的充要條件，故不正確；對(duì)于D，命題P：?x∈R，x2﹣x+1＜0，則￢P：?x∈R，x2﹣x+1≥0，故不正確．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)．8.在平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P在圓內(nèi)部的概率（

）A. B. C. D.參考答案：B分析：畫出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，其與圓面的公共部分的面積為個(gè)圓面，故其面積與平面區(qū)域的面積之比為所求概率．詳解：不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示：其中滿足的點(diǎn)為陰影部分對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，其面積為，不等組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積為1，故所求概率為，故選B．點(diǎn)睛：幾何概型的概率計(jì)算關(guān)鍵在于測(cè)度的選取，測(cè)度通常是線段的長(zhǎng)度、平面區(qū)域的面積、幾何體的體積等．9.設(shè)函數(shù)若，，則關(guān)于x的方程的解的個(gè)數(shù)為（

）A．4

B．3

C．2

D．1參考答案：B10.某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為（）A．4 B．8 C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】通過三視圖復(fù)原的幾何體是四棱錐，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)，求出幾何體的體積．【解答】解：由題意三視圖可知，幾何體是四棱錐，底面邊長(zhǎng)為2的正方形，一條側(cè)棱垂直正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，長(zhǎng)度為2，所以幾何體的體積是：=．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查三視圖復(fù)原幾何體的體積的求法，考查計(jì)算能力，空間想象能力．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量，夾角為

，且||=1，|2－|=，則||=________參考答案：略12.已知變量滿足約束條件若取整數(shù)，則目標(biāo)函數(shù)的最大值是

.參考答案：5

13.不等式的解集是_____.參考答案：【分析】利用兩邊平方的方法，求出不等式的解集.【詳解】由兩邊平方并化簡(jiǎn)得，解得，故原不等式的解集為.故答案為【點(diǎn)睛】本小題主要考查含有絕對(duì)值的不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.14.方程的解是__________

參考答案：答案：15.已知點(diǎn)O(0,0)、Q0(0,1)和點(diǎn)R0(3,1)，記Q0R0的中點(diǎn)為P1，取Q0P1和P1R0中的一條，記其端點(diǎn)為Q1、R1，使之滿足，記Q1R1的中點(diǎn)為P2，取Q1P2和P2R1中的一條，記其端點(diǎn)為Q2、R2，使之滿足.依次下去，得到，則

.參考答案：本題考查極限思想的應(yīng)用，難度較大.因?yàn)辄c(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，而，即分布在點(diǎn)的左右兩側(cè)，且不斷向點(diǎn)靠近，即時(shí)，，所以.16.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到圓ρ=2cosθ的圓心的距離是

．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程；兩點(diǎn)間的距離公式．【專題】計(jì)算題．【分析】先將極坐標(biāo)方程化為一般方程，然后再計(jì)算點(diǎn)到圓ρ=2cosθ的圓心的距離．【解答】解：∵在極坐標(biāo)系中，ρ=2cosθ，∴x=pcosθ，y=psinθ，消去p和θ得，∴（x﹣1）2+y2=1，∴圓心的直角坐標(biāo)是（1，0），半徑長(zhǎng)為1．∴點(diǎn)在一般方程坐標(biāo)為（1，），∴點(diǎn)到圓ρ=2cosθ的圓心的距離是d==，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】此題考查極坐標(biāo)方程與普通方程的區(qū)別和聯(lián)系，兩者要會(huì)互相轉(zhuǎn)化，根據(jù)實(shí)際情況選擇不同的方程進(jìn)行求解，這也是每年高考必考的熱點(diǎn)問題．17.已知，則二階矩陣X=

．參考答案：設(shè)，則由題意知，根據(jù)矩陣乘法法則可，解得，即.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分）已知中，、、是三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊，關(guān)于的不等式的解集是空集．（Ⅰ）求角的最大值；（Ⅱ）若，的面積，求當(dāng)角取最大值時(shí)的值．參考答案：（Ⅰ）由關(guān)于的不等式的解集是空集，得…………………6分（Ⅱ），且，故…………12分19.袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個(gè)，現(xiàn)一次有放回地隨機(jī)摸取3次，每次摸取一個(gè)球

（I）試問：一共有多少種不同的結(jié)果？請(qǐng)列出所有可能的結(jié)果；

（Ⅱ）若摸到紅球時(shí)得2分，摸到黑球時(shí)得1分，求3次摸球所得總分為5的概率。

參考答案：解析：（I）一共有8種不同的結(jié)果，列舉如下：

（紅、紅、紅、）、（紅、紅、黑）、（紅、黑、紅）、（紅、黑、黑）、（黑、紅、紅）、（黑、紅、黑）、（黑、黑、紅）、（黑、黑、黑）

（Ⅱ）記“3次摸球所得總分為5”為事件A

事件A包含的基本事件為：（紅、紅、黑）、（紅、黑、紅）、（黑、紅、紅）事件A包含的基本事件數(shù)為3

由（I）可知，基本事件總數(shù)為8，所以事件A的概率為20.已知函數(shù)，x∈R．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）如圖，函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上的圖象與x軸的交點(diǎn)從左到右分別為M、N，圖象的最高點(diǎn)為P，求與的夾角的余弦．參考答案：解：（Ⅰ）∵=∵x∈R∴，∴函數(shù)f（x）的最大值和最小值分別為1，﹣1．（Ⅱ）解法1：令得，∵x∈[﹣1，1]∴或∴，由，且x∈[﹣1，1]得∴，∴，∴=．解法2：過點(diǎn)P作PA⊥x軸于A，則|PA|=1，由三角函數(shù)的性質(zhì)知，，由余弦定理得=．解法3：過點(diǎn)P作PA⊥x軸于A，則|PA|=1，由三角函數(shù)的性質(zhì)知，在Rt△PAM中，∵PA平分∠MPN∴cos∠MPN=cos2∠MPA=2cos2∠MPA﹣1=．考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值；數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角；正弦函數(shù)的圖象．專題：計(jì)算題．分析：（Ⅰ）利用兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，然后求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）解法一：通過函數(shù)為0，求出M，N的坐標(biāo)，確定P的位置，求出與，求出與的夾角的余弦．

解法二：過點(diǎn)P作PA⊥x軸于A，則|PA|=1，求出|PM|，|PN|在三角形中利用余弦定理求出與的夾角的余弦．

解法三：過點(diǎn)P作PA⊥x軸于A，則|PA|=1，在Rt△PAM中，求出，通過二倍角公式求出與的夾角的余弦．解答：解：（Ⅰ）∵=∵x∈R∴，∴函數(shù)f（x）的最大值和最小值分別為1，﹣1．（Ⅱ）解法1：令得，∵x∈[﹣1，1]∴或∴，由，且x∈[﹣1，1]得∴，∴，∴=．解法2：過點(diǎn)P作PA⊥x軸于A，則|PA|=1，由三角函數(shù)的性質(zhì)知，，由余弦定理得=．解法3：過點(diǎn)P作PA⊥x軸于A，則|PA|=1，由三角函數(shù)的性質(zhì)知，在Rt△PAM中，∵PA平分∠MPN∴cos∠MPN=cos2∠MPA=2cos2∠MPA﹣1=．點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，向量的夾角的求法，可以通過向量的數(shù)量積解決，也可以通過三角形解決，考查計(jì)算能力，常考題型．21.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c．已知a＝2,c＝3，又知bsinA＝acos（B）．（Ⅰ）求角B的大小、b邊的長(zhǎng)：（Ⅱ）求sin（2A﹣B）的值．參考答案：（Ⅰ）B，b；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）將已知條件利用余弦的差角公式展開，再利用正弦定理將邊化角，整理后得到角，再利用余弦定理，求得邊即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）中所求，結(jié)合正弦定理，即可求得，再利用正弦的差角公式以及倍角公式展開代值計(jì)算即可.【詳解】（Ⅰ）∵bsinA＝acos（B）．∴bsinA＝a（cosBsinB），∴由正弦定理可得sinBsinA＝sinA（cosBsinB），∵sinA≠0，∴sinBsinA＝sinA（cosBsinB），可得sin（B）＝0，∵B∈（0，π），B∈（，），∴B0，可得B．∵a＝2，c＝3，∴由余弦定理可得b．（Ⅱ）∵B，a＝2，b．∴由正弦定理，可得sinA，cosA，s