第一章函數、極限與連續(xù)性1.1函數1.2極限1.3極限運算法則1.4兩個重要極限1.5無窮小與無窮大1.6函數的連續(xù)性全套課件1.1函數1.1.1函數的概念1．函數的定義定義1

設D是一非空實數集,如果存在一個對應法則f，使得對D內的每一個值x，按法則f，都有y與之對應，則這個對應法則f稱為定義在集合D上的一個函數，記作其中x稱為自變量,y稱為因變量或函數值,D稱為定義域，集合稱為值域.2．幾個特殊的函數(1)分段函數在自變量的不同變化范圍中,對應法則用不同式子來表示的函數。注意：分段函數的定義域是各段定義區(qū)間的并集。例如：(2)隱函數變量之間的關系是由一個方程來確定的函數。例如：由方程確定的函數.(3)參數方程所確定的函數

例如：由確定的y與x之間的函數關系.（t為參數）

3．函數的定義域

常見解析式的定義域求法有：(1)分母不能為零；(2)偶次根號下非負；(3)對數式中的真數恒為正；(4)分段函數的定義域應取各分段區(qū)間定義域的并集.

例1求下列函數的定義域

（1）（2）（3）解題過程解題過程

解(1)要使函數有意義,必須,且，解不等式得.所以函數的定義域為且(2)要使函數有意義,必須，即.所以函數的定義域為(3)函數的定義域為

1.1.2初等函數與點的鄰域1．基本初等函數常數函數：（C為常數）冪函數：指數函數：對數函數：三角函數：反三角函數：以上六類函數統(tǒng)稱為基本初等函數.為了方便，我們通常把多項式也看作基本初等函數。2．復合函數引例：考查具有同樣高度h的圓柱體的體積V，顯然其體積的不同取決于它的底面積S的大小，即由公式V=Sh（h為常數）確定。而底面積S的大小又由其半徑r確定，即公式。V是S的函數，S是r的函數，V與r之間通過S建立了函數關系式。它是由函數與復合而成的，簡單地說V是r的復合函數。復合函數定義復合函數定義定義：設y是u的函數，而u又是x的函數，且的值域與的定義域交非空，那么y通過中間變量u的聯(lián)系成為x的函數，我們把這個函數稱為是由函數與復合而成的復合函數.記做：其中u稱為中間變量.

注意：并不是任意兩個函數都能復合成一個復合函數的.如，就不能復合成一個函數.同時，學習復合函數有兩方面要求：一方面，會把有限個作為中間變量的函數復合成一個函數；另一方面，會把一個復合函數分解為有限個較簡單的函數.例2

將，復合成一個函數.例3

指出下列函數的復合過程.解題過程（1）（2）解題過程解題過程例2解：例3解：(1)是由和復合而成的.(2)是由，和復合而成的.如何定義平面上一點的鄰域？3．初等函數定義由基本初等函數經過有限次的四則運算或有限次的復合運算所構成并可用一個式子表示的函數,稱為初等函數.否則稱為非初等函數.

4．點的鄰域定義設，，集合，即數軸上到點的距離小于的點的全體，稱為點的鄰域，記為.點，分別稱為該鄰域的中心和半徑。集合稱為點的空心鄰域記.思考：返回1.2極限1．數列的定義定義按一定規(guī)律排列得到的一串數

就稱為數列記為其中第n

項稱為數列的一般項或通項.1.2.1數列極限觀察以下三個數列：（可以寫出一部分數值）討論結論（1）（2）（3）討論結論觀察上面三個數列：(1)當n無限增大時，也無限增大；(2)當n無限增大時，無限地趨近于0；(3)當n無限增大時，總在1，-1兩個數值之間跳躍。

2．數列極限的定義定義對于數列如果當項數n無限增大時數列的一般項無限地趨近于某一確定的常數A

那么稱常數A是數列的極限記為，或者記為（讀作：當n趨向于無窮大時，的極限等于A）.若數列存在極限，稱數列是收斂的；若數列沒有極限，則稱數列是發(fā)散的

1.2.2函數極限1．當，函數的極限定義如果當無限增大（即）時，函數無限地趨近于某一確定的常數A，那么稱常數A是函數當時的極限，記為或解題過程解題過程結論結論由例2我們可以得出下面的結論：例題與注意點例題注意點分別作函數圖像討論下列極限例6的結論結論思考題返回1.3極限運算法則說明：法則（1）（2）可推廣到有限個函數的情況。推論例題例題解題過程解題過程解題過程解題過程解題過程解題過程解題過程說明：以上兩個均為“”型極限，可通過因式分解、根式有理化消去分母上的零因子

解題過程說明：這是“”型極限，通過通分轉化

思考題（1）（2）解題過程解題過程解思考題（1）解思考題（2）其他結論注：以下結論在極限的反問題中常用

返回1.4兩個重要極限首先介紹一個極限存在準則：1.4.1極限：x(弧度)±0.50±0.10±0.05±0.04±0.03±0.02…0.95850.99830.99960.99970.99980.9999…從上表可以看出：例題例1

求

例2求例4求例3求解題過程解題過程解題過程解題過程解題過程解例1解例2解例3解例4設返回例題1.4.2極限：

210100010000100000…2.252.5942.7172.71812.7182…-10-100-1000-10000-100000…2.882.7322.7202.71832.71828…從上表可以得出：說明說明例5求例6求例7求例8求例題解題過程解題過程解題過程解題過程解題過程解例5解例6解例7解例8返回返回例題1.5無窮小與無窮大1.5.1無窮小1．無窮小的定義注意2．無窮小的性質在自變量的同一變化過程中，無窮小具有以下性質：性質1

有限個無窮小的代數和仍為無窮小；性質2

有限個無窮小的乘積仍為無窮小；性質3

有界函數與無窮小的乘積仍為無窮小；推論常數與無窮小的乘積仍為無窮小。

例1求思考題3．無窮小與函數極限的關系

證明略1.5.2無窮大注意點注意：1.5.3無窮大與無窮小的關系說明說明例3求例4求例5求解題過程解題過程解題過程解題過程解例3解例4解例5因為所以結論返回結論分析例3～例5的特點和結果，我們可得當自變量趨向于無窮大時有理分式的極限的法則：1.5.4無窮小的比較已知兩個無窮小的和與積仍為無窮小，但兩個無窮小的商卻會出現不同的結果。

例子例子例子例子例10求例11求例12求思考題解題過程解題過程解題過程如何求返回解題過程解題過程返回解題過程返回例題1.6函數的連續(xù)性1.6.1函數在一點處連續(xù)1．變量的增量2．連續(xù)的定義

所謂“函數連續(xù)變化”，在直觀上來看，就是它的圖象是連續(xù)不斷的.一點處連續(xù)的定義例子例子另有函數在一點處連續(xù)的等價形式和左右連續(xù)的定義例子例子1.6.2連續(xù)函數及其運算

1．連續(xù)函數2．連續(xù)函數的運算注意和、差、積的情況可以推廣到有限個函數的情形。3．復合函數的連續(xù)性例如求4．初等函數的連續(xù)性

根據初等函數的定義由基本初等函數的連續(xù)性以及本節(jié)有關定理可得下列重要結論：一切初等函數在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的。所謂定義區(qū)間就是包含在定義域內的區(qū)間。例子例子1.6.3函數的間斷點1．間斷點的概念2．間斷點的分類在第一類間斷點中，如果左、右極限存在但不相等，這種間斷點稱為跳躍間斷點；如果左、右極限存在且相等(即極限存在)，這類間斷點稱為可去間斷點.例子解題過程解題過程解題過程返回例題解題過程返回例題1.6.4閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質

注意如果函數在開區(qū)間內連續(xù)或函數在閉區(qū)間上有間斷點

那么函數在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值。

返回第二章導數和微分

2.1

導數的概念2.2導數的基本公式和四則運算法則2.3復合函數的導數2.4隱函數和參數式函數的導數2.5高階導數和導數的物理含義2.6微分目錄上頁下頁返回結束2.1導數的概念

2.1.1兩個實例2.1.2導數的定義2.1.3導數的幾何意義2.1.4可導和連續(xù)的關系目錄上頁下頁返回結束1.變速直線運動的瞬時速度2.1.1兩個實例考察質點的自由落體運動，其運動規(guī)律為自由落體運動目錄上頁下頁返回結束9.8000490.000098000490.000019.800490.0009800490.00019.80490.00980490.0019.8490.098490.0110.291.0290.1分別計算從1s到1.1s、1.01s、1.001s、1.0001s、1.00001s各段時間內的平均速度如下表：目錄上頁下頁返回結束觀察得到：當越來越接近于0時，越來越接近于1s時的速度.目錄上頁下頁返回結束一般地，設描述質點運動規(guī)律的位移與時間的函數關系為則到的平均速度為而在時刻的瞬時速度為目錄上頁下頁返回結束2.曲線的切線斜率割線的斜率割線

的極限位置T曲線在點處的切線(當時)切線的斜率目錄上頁下頁返回結束兩個問題的共性:所求量均為函數增量與自變量增量之比的極限.瞬時速度切線斜率2.1.2導數的定義1.函數在一點處可導的概念目錄上頁下頁返回結束定義2.1

設函數在的某個領域內有定義。對應于自變量在處有改變量（仍在上述鄰域內），函數相應的有改變量若存在，則稱函數在處可導，并把這一極限稱為函數在處的導數，記作

目錄上頁下頁返回結束即目錄上頁下頁返回結束對導數的定義以下幾點說明：（1）若不存在，則稱函數在處不可導或導數不存在；（2）設；

（3）在點的某個右(左)

鄰域內若極限設函數有定義,目錄上頁下頁返回結束則稱此極限值為在處的右導數，記作(左)存在,即

函數在點且可導的充分必要條件是目錄上頁下頁返回結束2.導函數的概念若函數在開區(qū)間

內每點都可導,內可導，此時導數值構成的新函數稱為導函數.記作:就稱函數在

注意:目錄上頁下頁返回結束根據導數的定義，求函數導數的步驟如下：第一步：求函數增量第二步：求比值第三步：求極限例2.1.求函數(C

為常數)的導數.解目錄上頁下頁返回結束例2.2

求函數解:一般地，目錄上頁下頁返回結束例如，目錄上頁下頁返回結束例2.3

求函數的導數.解:即類似可證得目錄上頁下頁返回結束例2.4求函數的導數.解:

即一般地，目錄上頁下頁返回結束2.1.3導數的幾何意義若曲線在點

存在切線，其切線斜率為切線方程為：當切線與

x軸不垂直.當切線與

x軸垂直切線方程為：目錄上頁下頁返回結束過切點與切線垂直的直線稱為在曲線的法線目錄上頁下頁返回結束例2.5

求曲線在點處的切線和法線方程。解：切線方程為：法線方程為：目錄上頁下頁返回結束例2.6

求曲線上平行于直線的切線方程。解：切線方程為：目錄上頁下頁返回結束2.1.4可導和連續(xù)的關系結論：證:設在點x

處可導,存在,因此必有其中故所以函數在點x

連續(xù).即逆否命題：目錄上頁下頁返回結束注意:

函數在點x連續(xù)未必可導.反例:在

x=0處連續(xù),

但不可導.由上圖可知在

x=0處連續(xù)目錄上頁下頁返回結束所以在

x=0處不可導.目錄上頁下頁返回結束4.可導必連續(xù),但連續(xù)不一定可導;2.導數的定義：1.導數的實質:函數增量與自變量增量比值的極限;3.導數的幾何意義:切線的斜率;內容小結目錄上頁下頁返回結束作業(yè)

P41習題2.1（B）

1，2,5,6目錄上頁下頁返回結束2.2導數的基本公式和四則運算法則2.2.1導數的基本公式2.2.2導數的四則運算法則目錄上頁下頁返回結束2.2.1導數的基本公式目錄上頁下頁返回結束目錄上頁下頁返回結束2.2.2導數的四則運算法則，則(C為常數)目錄上頁下頁返回結束注：（1）、（2）可推廣到任意有限項的情形.目錄上頁下頁返回結束證:

設,則目錄上頁下頁返回結束(2)設則有目錄上頁下頁返回結束例2.7解:目錄上頁下頁返回結束例2.8

求證證:目錄上頁下頁返回結束類似可證:目錄上頁下頁返回結束例2.9解:目錄上頁下頁返回結束例2.10解:目錄上頁下頁返回結束例2.11求曲線上垂直于直線

的切線方程.解:由題意，當時，切線方程為當時，切線方程為目錄上頁下頁返回結束內容小結1.求導基本公式及求導的四則運算法則2.

目錄上頁下頁返回結束作業(yè)

P45習題2.2（B）

1，3目錄上頁下頁返回結束2.3復合函數的導數復合函數的求導法則法則2.1在點x有導數,在點復合函數且在點x

可導,有導數，則或或目錄上頁下頁返回結束簡證:在點處可導,在點處連續(xù),目錄上頁下頁返回結束例如,復合函數求導步驟：（1）.分解符合函數；（2）運用求導法則；（3）回代推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形.目錄上頁下頁返回結束例2.12求下列函數的導數解:目錄上頁下頁返回結束熟練之后，可以省去分解過程，如下：對中間變量求導分解法則

再中間變量對最終變量求導同理中間變量目錄上頁下頁返回結束例2.13求下列函數的導數解:中間變量目錄上頁下頁返回結束第一中間變量第二中間變量目錄上頁下頁返回結束第一中間變量第二中間變量目錄上頁下頁返回結束目錄上頁下頁返回結束例2.13解:特別地，目錄上頁下頁返回結束例2.14解:記號說明：目錄上頁下頁返回結束例2.15.求解:注：必要時可先對函數進行變形，使其形式便于求導目錄上頁下頁返回結束例2.16求下列函數的導數解:目錄上頁下頁返回結束目錄上頁下頁返回結束內容小結1.復合函數求導法則(鏈式法則)2.復合函數求導步驟：（1）分解（2）法則（3）回代省略函數結構圖：目錄上頁下頁返回結束作業(yè)

P49習題2.3（B）

1（奇數項），3目錄上頁下頁返回結束2.4隱函數和參數式函數的導數2.4.1隱函數的導數2.4.2參數式函數的導數目錄上頁下頁返回結束2.4.1

隱函數的導數顯函數：直接表示成的解析式.如,隱函數：由方程可確定y關于x

的函數，但不可顯化

.如,再如,可確定y是x

的函數,可確定y是x

的函數,并可顯化為目錄上頁下頁返回結束隱函數求導方法:方程兩邊對

x

求導(含導數的方程)注意：方程兩邊對

x

求導時，把看作的函數，的函數看作是以為中間變量的的復合函數.目錄上頁下頁返回結束例2.17

求由方程所確定的隱函數的導數.解:

方程兩邊對

x

求導解出得目錄上頁下頁返回結束例2.18

求由方程所確定的隱函數的導數。解:

方程兩邊對

x

求導解得目錄上頁下頁返回結束例2.19

求由橢圓方程在點處的切線方程.解:

橢圓方程兩邊對

x

求導故切線方程為目錄上頁下頁返回結束對數求導法:例2.20

設函數，證明證明函數是由方程所確定的隱函數。兩邊對求導，得所以即得：目錄上頁下頁返回結束例2.21

設函數，證明，證明

函數是由方程所確定的隱函數。兩邊對求導，得1=因為所以故，目錄上頁下頁返回結束例2.22

求的導數.解:兩邊取對數,得兩邊對x

求導目錄上頁下頁返回結束例2.23求的導數.解:兩邊取對數,得兩邊對x

求導目錄上頁下頁返回結束1)對冪指函數，其中可用對數求導法求導:說明:目錄上頁下頁返回結束2)有些顯函數(多項式子的積或商)用對數求導法求導很方便.例2.24

設函數，求解:兩邊取對數,得兩邊對x

求導所以目錄上頁下頁返回結束2.4.2參數式函數的導數若參數方程可確定一個

y

與

x之間的函數關系,稱是由參數方程所確定的函數.

當都存在，且時目錄上頁下頁返回結束(此時看成x

是

y的函數)當都存在，且時目錄上頁下頁返回結束例2.25

求由方程

所確定的函數的導數解目錄上頁下頁返回結束例2.26

求擺線（為常數）上對應于的點M0處的切線方程.的點M0的坐標為又即擺線在M0處的切線斜率為1，故所求的切線方程為：

解

擺線上對應于目錄上頁下頁返回結束例2.27

以初速度、發(fā)射角發(fā)射炮彈，已知炮彈的運動規(guī)律是

為重力加速度）的運動方向；的速率（圖2-4）（1）求炮彈在任一時刻（2）求炮彈在任一時刻目錄上頁下頁返回結束目錄上頁下頁返回結束解（1）炮彈任一時刻的運動方向，的切線方向，就是指炮彈運動軌跡在時刻而切線方向可由切線的斜率反映.目錄上頁下頁返回結束（2）炮彈的運動速度是一個向量，設時的速率為，則目錄上頁下頁返回結束內容小結1.隱函數求導方法：2.對數求導法：方程兩邊對

x

求導(含導數的方程)適用于冪指函數及多個式子連乘,連除表示的函數.目錄上頁下頁返回結束參數方程3.參數式函數的求導方法：目錄上頁下頁返回結束作業(yè)

P55習題2.4（B）

1，2，5目錄上頁下頁返回結束2.5高階導數和導數的物理含義2.5.1

高階導數2.5.2導數的物理含義目錄上頁下頁返回結束速度即加速度即引例：變速直線運動2.5.1高階導數目錄上頁下頁返回結束定義2.2設函數的導數可導,或即或的二階導數

,記作的導數為則稱目錄上頁下頁返回結束類似地,二階導數的導數稱為三階導數,階導數的導數稱為n

階導數,或依次類推,分別記作函數的二階及二階以上的導數稱為函數的高階導數.目錄上頁下頁返回結束例2.28

求函數的四階導數解

目錄上頁下頁返回結束例2.29

求函數的階導數.

解依次類推最后可得目錄上頁下頁返回結束例2.30

若存在二階導數，求函數的二階導數.

解目錄上頁下頁返回結束例2.31

求函數的n階導數.解

目錄上頁下頁返回結束依次類推最后可得目錄上頁下頁返回結束例2.32

設隱函數由方程確定，求解

方程兩邊對求導，

解得（１）（２）目錄上頁下頁返回結束再將（1）式兩端對求導，解得（３）將（2）代入（3），得目錄上頁下頁返回結束例2.33

設函數的參數式為求的二階導數.解目錄上頁下頁返回結束因為，所以求二階導數相當于確定的函數的導數，繼續(xù)應用參數式函數的求導法則，求由參數方程得到

目錄上頁下頁返回結束2.5.2

導數的物理含義

導數的本質:函數增量與自變量增量比值的極限.類似問題在物理學中有:1、加速度2、線密度3、功率4、電流強度

是速度增量與時間增量之比的極限

是質量增量與長度增量之比的極限

是電量增量與時間增量之比的極限變化率問題

是做功增量與時間增量之比的極限目錄上頁下頁返回結束1.速度與加速度設物體作直線運動，位移函數，速度函數和加速度函數分別為目錄上頁下頁返回結束如設位移函數為（g為重力加速度，取g=9.8m/s2），求時的速度和加速度.則目錄上頁下頁返回結束2.線密度設非均勻的線材質量與線材長度有關系，則在處的線密度（即單位長度的質量）從小端開始計長，求中點處的線密度.因為長為處的截面積的直徑如圖形狀的柱形鐵棒，鐵的密度為7.8g/cm3，d=2cm，D=10cm，目錄上頁下頁返回結束所以長為的柱形體體積質量函數：密度函數：中點處的線密度為：目錄上頁下頁返回結束3.功率單位時間內做的功稱為功率，若做功函數為，則時的功率.

如：質量為的汽車，能在時間內把汽車從靜止狀態(tài)加速到若汽車啟動后作勻加速直線運動，求發(fā)動機的最大輸出功率.加速度目錄上頁下頁返回結束汽車的位移函數為：據第二運動定律，汽車受推力為所以推力作功函數為功率函數時達到最大輸出功率為馬力目錄上頁下頁返回結束4.電流電流是單位時間內通過導體界面的電量，即電量關于時間的變化率，記為通過截面的電量，為截面上的電流，則

現設通過截面的電量則通過該截面的電流為：目錄上頁下頁返回結束1.高階導數的求法內容小結2.導數的物理含義作業(yè)

P60習題2.5（B）

3，6，7，8，9目錄上頁下頁返回結束2.6微分2.6.1微分的概念2.6.2微分的基本公式與運算法則2.6.3微分在數值計算上的應用2.6.4絕對誤差與相對誤差目錄上頁下頁返回結束2.6.1

微分的概念引例:

一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少?變到邊長由其設薄片邊長為x,面積為A,則面積的增量為當x

在得增量時,1.微分的定義目錄上頁下頁返回結束關于△x

的線性主部高階無窮小時為故目錄上頁下頁返回結束定義2.3:

若函數在點的增量可表示為(A

為不依賴于△x

的常數)的微分,則稱函數而稱為記作即在點可微,目錄上頁下頁返回結束結論:

函數在點可微的充要條件是即故證:“必要性”已知在點可微,則在點的可導,且目錄上頁下頁返回結束“充分性”已知即在點的可導,則目錄上頁下頁返回結束說明(1)當很小時,有近似公式與是等價無窮小,故當時（2）如果函數在某區(qū)間內每一點處都可微，處的微分為函數在區(qū)間內則稱函數在該區(qū)間內是可微函數，一點任（3）表明導數是函數的微分與自變量的的商，故導數也稱為微商.微分目錄上頁下頁返回結束例2.34

求函數在處，對應于分別為0.1和0.01時的改變量及微分自變量的改變量解

在處，當時當時，目錄上頁下頁返回結束例2.35

求函數微分.，.解目錄上頁下頁返回結束2.微分的幾何意義切線縱坐標的增量設函數的圖像如圖2-7所示，點，

在圖像上，過分別作

軸，軸的平行，線相交于點

，則有向線段過點再作圖像曲線的切線，設其傾斜角為交于點則有向線段目錄上頁下頁返回結束函數在點處的微分在幾何上表示函數圖像在點處切線的縱坐標的相應改變量.微分的幾何意義目錄上頁下頁返回結束2.6.2微分的基本公式與運算法則1.微分的基本公式目錄上頁下頁返回結束(C

為常數)2.微分的四則運算法則目錄上頁下頁返回結束分別可微,的微分為一階微分形式的不變性3.復合函數的微分法則則復合函數故目錄上頁下頁返回結束例2.36

求解

目錄上頁下頁返回結束例2.37

已知函數，求

=

解:目錄上頁下頁返回結束例2.38

證明參數式函數的求導公式。的參數方程形式為，其中可導，則：證明設函數當

時，目錄上頁下頁返回結束例2.39

用求微分的方法，求由方程

所確定的隱函數的微分與導數。解

對方程兩端分別求微分，有即當時，可得即目錄上頁下頁返回結束2.6.3

微分在數值計算上的應用當很小時,使用原則:得近似等式:目錄上頁下頁返回結束特別當很小時,常用近似公式:很小)目錄上頁下頁返回結束證明:(1)記，則；，則

代入,即得目錄上頁下頁返回結束例2.40

求的近似值(精確到第4位小數)..解由知目錄上頁下頁返回結束的近似值.解:例2.41

計算算式屬于常用工程公式（1）的類型，必須把寫成的形式，其中

易求且較小。因為，所以目錄上頁下頁返回結束2.6.4

絕對誤差與相對誤差某量的精確值為A,其近似值為a,絕對誤差：若稱為測量

A

的絕對誤差限稱為測量

A

的相對誤差限相對誤差：目錄上頁下頁返回結束誤差傳遞公式:已知測量誤差限為按公式計算

y

值時的誤差故y

的絕對誤差限約為相對誤差限約為若直接測量某量得x,目錄上頁下頁返回結束例2.42

設測得圓鋼截面的直徑

測量D的

解:計算A

的絕對誤差限約為

A

的相對誤差限約為圓鋼截面積,試估計面積的誤差.絕對誤差限欲利用公式計算(mm)目錄上頁下頁返回結束1.微分概念

微分的定義及幾何意義

可導可微2.微分運算法則一階微分形式不變性:3.微分的應用近似計算絕對誤差與相對誤差內容小結目錄上頁下頁返回結束作業(yè)P68習題2.6（B）

2，3，4，5，8目錄上頁下頁返回結束第3章導數的應用3.1微分中值定理3.2羅必塔法則3.3函數的單調性、極值和最值3.4函數圖形的凹凸與拐點3.5曲線的曲率3.1微分中值定理3.1.1羅爾定理定理3.1（羅爾理）設函數滿足下列三個條件：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)，（2）在開區(qū)間內可導，（3）在兩端點處的函數值相等，即。則在內至少有一點使得函數在該點處的導數等于零，即。下圖是羅爾定理的幾何直觀表示，你能說出羅爾定理的幾何意義是什么嗎?幾何意義是：在兩個高度相同的點之間的一段連續(xù)曲線上，除端點外各點都有不垂直于x軸的切線，那么至少有一點處的切線是水平的。注意：羅爾定理要求函數必須同時滿足三個條件，否則結論不一定成立。

例3.1驗證函數并求出。解在區(qū)間上連續(xù)，所以滿足羅爾定理的三個條件。令。所以存在，使得。由羅爾定理可知，如果函數滿足定理的三個條件，則方程在區(qū)間內至少有一個實根。這個結論常被用來證明某些方程的根的存在性。例3.2如果方程有正根，證明方程必定在內有根。

證明設，則在上連續(xù)，

在內存在，且。所以在上滿足羅爾定理的條件。由羅爾定理的結論，在內至少有一點，使得，即為方程的根。3.1.2拉格朗日中值定理定理3.2（拉格朗日中值定理）設函數滿足系列條件：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)，（2）在開區(qū)間內可導，則在內至少有一點，使得。

下圖（圖3-2）是拉格朗日值值定理的幾何直觀表示，你能說出朗格朗日中值定理的幾何意義嗎？如果曲線上連續(xù)，且除端點A,B外處處都有不垂直于X的切線，那么在這條曲線上（兩端點除外）至少有一點P，使得該點的切線與線段AB平行。注意：拉格朗日中值定理要求函數同時滿足兩個條件，否則結論不一定成立。例3.3驗證在區(qū)間上拉格朗日中值成立，并求出。解顯然在區(qū)間上連續(xù)，在內存在。所以拉格朗日中值定理成立。令，即所以。例3.4證明時，不等式。證明改寫欲求證的不等式為。構造函數，因為，即要證，因為在上連續(xù)，在內存在，由拉格朗日中值定理得：至少存在一點，使得，即，顯然，則

，改寫的欲求證的不等式成立，原不等式得證。拉格朗日中值定理可以改寫成另外的形式，如：（1）（2）（3）推論3.1如果即在內是常數函數。證明任取因為，顯然在上連續(xù)，在內可導。于是由拉格朗日中值定理有又因為對于內一切都有而，所以，于是，即。既然對于內任意都有，那么說明在內是一個常數。推論3.2如果。證明因為根據推論3.1，得，移項即得結論。返回3.2羅必塔法則在極限的討論中我們已經看到：若當時，兩個函數都是無窮小或無窮大，則求極限時不能直接用商的極限運算法則，其結果可能存在，也可能不存在；即使存在，其值也因式而異。因此常把兩個無窮小之比或無窮大之比的極限，稱為型或型未定式（也稱為型或型未定型）極限。對這類極限，一般可以用下面介紹的羅必塔法則，它的特點是在求極限時以導數為工具。3.2.1型未定式定理3.3（羅必塔法則1）設函數滿足：（1）（2）函數在的某個鄰域內（點可除外）可導，且，（3），（可以是常數，也可以為、），則。在具體使用羅必塔法則時，一般先驗證定理的條件（1），如果是型未定式，則可以做下去，只要最終得到結果就達到求極限的目的了。例3.5求。解。例3.6求。解。注意：如果應用羅必塔法則后極限仍然是型未定式，那么只要相關導數存在，可以繼續(xù)日用羅必塔法則，直至求出極限；另外，例3.6中已不是未定式，不能對它使用羅必塔法則，否則要導致錯誤的結果。例3.7求。解。

3.2.2型未定式定理3.3（羅必塔法則2）設函數滿足：（1）（2）函數在的某個鄰域內（點可除外）可導，且，（3），（可以是常數，也可以為、），則。在具體使用羅必塔法則時，一般先驗證定理的條件（1），如果是型未定式，則可以做下去，只要最終得到結果就達到求極限的目的了。例3.8求。

解

例3.9求。解

例3.10求。解相繼應用羅必塔法則次，得

.3.2.3其他類型的未定式對函數在求的極限時，除型和型未定式外，還有下列一些其它類型的未定式：（1）型：中的一個函數的極限為0，另一個函數的極限為，求的極限；（2）型：與的極限都為，求的極限；（3）型：的極限為1，的極限為，求的極限；（4）型：與的極限都為0，求的極限；（5）型：的極限為，的極限為0，求的極限。這些類型的未定式，可按下述方法處理：對（1）、（2）兩種類型，課利用適當變換將他們化為型或型未定式，再用羅必塔法則求極限；對（3）、（4）、（5）三種類型未定式，直接使用，化為型。例3.11求。

解這是型未定式，因為，可將其轉化為型未定式，則：

例3.12求。

解這是型未定式，經過通分可將其轉化為型未定式，則：

例3.13求。

解這是型未定式，通過恒等變形可將其轉化為型未定式，則：

例3.14驗證極限存在，但不能用羅必塔法則求出。證明這是型未定式，可以利用羅必塔法則，得，因為的極限不存在，所以所給的極限無法用羅必塔法則求出。在使用羅必塔法則時，應注意一下幾點：（1）每次使用羅必塔法則時，必須檢驗極限是否屬于或型未定式，如果不是這兩種未定式，即不能使用該法則；（2）如果有可約因子或由非零極限的乘積因子，則可先約去或直接提取出，然后再使用羅必塔法則，以簡化演算步驟；（3）羅必塔法則與其它求極限方法（如等價小的無窮代換等）地混合使用，往往能簡化運算；（4）當極限不存在時，并不能斷定不存在，此時應考慮使用其它方法求極限。返回3.3函數的單調性、極值和最值本節(jié)我們將以導數為工具，研究函數的單調性及相關的極值、最值問題，學習如何確定函數的增減區(qū)間，如何判定極值和最值。3.3.1函數的單調性定理3.5設函數在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間可導，則有：（1）若在內，則函數在上單調增加；（2）若在內，則函數在上單調減少。證明設是內任意兩點，不妨設，利用拉格朗日中值定理有若，則必有，又因為，所以即。由于是內任意兩點，因此在上單調增加。同理可證，若，則函數在上單調減少。有時，函數在整個考察范圍上并不單調，這時，就需要把考察范圍劃分為若干個單調區(qū)間。如圖3-3所示，在考察范圍上，函數并不單調，但可以劃分為，，三個區(qū)間。在和上單調增加，而在上單調減少。圖3-3注意：如果函數在上可導，那么在單調區(qū)間的分界點處的導數為零，即（在圖3-3上表現為在點A,B處有水平切線）。一般稱導數在區(qū)間內部的零點稱為函數的駐點。這就啟發(fā)我們，對可導函數，為了確定函數的單調區(qū)間，只要求出考察范圍內的駐點。同時，如果函數在考察范圍內有若干個不可導點，而函數在考察范圍內由這若干個不可導點所分割的每個子區(qū)間是可導的，由于函數在經過不可導點時也可能會改變單調性，所以還需要找出考察范圍內部的全部的不可導點。綜上所述，確定函數的單調區(qū)間的做法為：確定函數的考察范圍I（除指定范圍外，一般是指函數的定義域）內部的全部駐點和不可導點；其次，用這些駐點和不可導點將考察區(qū)間分割為若干個子區(qū)間；最后，在每個子區(qū)間上用定理3.5判斷函數的單調性。為了清楚，最后一步常用列表方式表示。.例3.15討論函數的單調性。

解確定考察范圍.

因為此外有不可導點為。劃分考察區(qū)間為4個子區(qū)間：。列表確定每個子區(qū)間內導數的符號，利用定理3.5判斷函數的單調性。表3-1

所以，在和內是單調減少的，在和內是單調增加的。例3.16證明：當時，。證明構造函數，則當時，，所以，則在內單調增加，所以，又，即，移項即得結論。3.3.2函數的極值定義3.1設函數在內有定義，若對于任意一點，都有，則稱是函數的極大（或極小值），稱為函數的極大（或極小）值點。函數的極大、極小值統(tǒng)稱為函數的極值，極大值、極小值點統(tǒng)稱為函數的極值點。·定理3.6（極值的必要條件）設函數在其考察范圍內是連續(xù)的，不是的端點。若函數在處取得極值，則或者是函數得不可導點，或者是可導點。如果是的可導點。那么必定是函數的駐點，即。定理3.7（極值的第一充分條件）設函數在處連續(xù)，在內可導。當由小到大經過時，如果（1）由正變負，那么是的極大值點；（2）由負變正，那么是的極小值點；（3）不改變符號，那么不是的極值點。證明任取,在以和為端點的閉區(qū)間上，對函數使用拉格朗日中值定理，得當時，則，由已知條件，可得即當時，則，由已知條件，可得即綜上所述，對附近的任意，都有，由極值的定義可知，是的極大值點。定理3.8（極值的第二充分條件）設為函數的駐點，在點處有二階導數且，則必定是函數的極值點，且（1）當時，在處取得極大值；（2）當時，在處取得極小值；（3）當時，無法判斷。例3.17求函數的極值。解解法1（1）函數的考察范圍為。（2），得駐點為無不可導點。（3）利用定理3.7，判定駐點是否為函數的極值點。列表判定如3-2所示。表3-2解法2：前兩個步驟同解法1.又因為，則，由定理3.8可知：為極小值點，為極大值點。例3.18求函數的極值。解（1）函數的考察范圍為