第十章習題課數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù)一、數(shù)項級數(shù)的判別法利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性正項級數(shù)判別法nfi

￥必要條件

lim

un

=

0不滿足發(fā)

散滿足nfi

￥un比值判別法lim

un+1

=nfi

￥根值判別法

lim

n

un

=

rr

<1收

斂r

>1發(fā)

散r

=1不定部分和有界比較判別法積分判別法其它法判別3.任意項級數(shù)判別法為收斂級數(shù)Leibniz判別法:若且則交錯級數(shù)收斂,且余項概念:若收斂,稱絕對收斂若發(fā)散,稱條件收斂例1. 判別下列級數(shù)的斂散性:解:(1)11nnfi

￥nfi

￥ lim

nn

n

=

lim

n

n

=1,由于調和級數(shù)發(fā)散，據(jù)比較判別法,原級數(shù)發(fā)散.利用比值判別法,可知原級數(shù)發(fā)散.nfi

￥nuu[(n

+1)!]2

2n2lim

n+1

=

lim2(n

+1)2

(n!)2nfi

￥2nfi

￥=

lim

n

=

+￥由于，用比值法,可判斷級數(shù):23(3)

￥n=1nn

cos2

np因此由比較法可知原級數(shù)收斂。收斂2n

2nnn

cos2

np由于 3

￡發(fā)散,

由比較判別法知原級數(shù)發(fā)散

。(a

>

0,

s

>

0):(5)￥n=1nansa

<1

時收斂;a

>1

時發(fā)散.a

=1

時,與p

級數(shù)比較可知s>1

時收斂;s

￡1

時發(fā)散.11nnfi

￥nnfi

￥

ln10

n由于

lim

ln10

n

=

lim=

+￥由于

lim

nsannnfi

￥snn

)nfi

￥

(=

lima=a,

因此例2.設正項級數(shù)和也收斂.提示:

因lim

un

=

lim

vn

=

0

,\

存在

Nnfi

￥

nfi

￥>0當,n>N

時又因￡

2(

un

2

+

vn

2

)利用收斂級數(shù)的性質及比較判斂法易知結論正確.都收斂,證明級數(shù)例3. 設級數(shù) 收斂

,

且是否也收斂？說明理由.問級數(shù)解:對正項級數(shù),由比較判別法可知但對任意項級數(shù)卻不一定收斂.例如,取級數(shù)收斂,級數(shù)nfi

￥

unlim

vn收斂,發(fā)散.n(-1)n=1

+

limnfi

￥=1+

nn(-1)n

1vn

=例4. 選擇題>￥1.

設級數(shù)un

收斂，則必定收斂的級數(shù)為（n=1n=1n

u

n

n￥A.

(-1)2nB.u￥n=1n=1￥C.

(u2n-1

-

u2n

)n=1￥D.

(un

+

un+1

)Dnn2.

設0

￡

a

￡

1

(n

=1,

2,...),

則下列級數(shù)中肯定收斂的是￥n=1n(

1)n

a￥B.

-n=1nA.

ann=1￥C.

n

an

2D.n(-1)

a￥n=1n2[sin(na

)

1￥n=13.

設a

為常數(shù)，則級數(shù)-

]（

C

）nA.

絕對收斂C.

發(fā)散B.

條件收斂D.

收斂性與a

的取值有關.n4.

設un=

(-1)n

ln(1+

1

),

則級數(shù)（

C

）nu￥2nu￥

n=1

n=1A.和都收斂.

B.nu￥n=12nu￥n=1和都發(fā)散.nu￥n=12nu￥n=1C.收斂，發(fā)散。D.nu￥n=12nu￥n=1發(fā)散，收斂.5.

下列選項正確的是（

A

）A.

若和都收斂，則收斂。2nun=1￥

￥2n=1nv2nn(u

+

v

)￥n=12nu￥n=1n

n|

u

v

|￥n=1B.

若收斂，則和都收斂。2nv￥n=1nu

?

1發(fā)散，則n

.nu￥C.

若正項級數(shù)n=1￥

￥D.

若un

收斂，且un

?vn

,(n

=1,2,...),則vn

也收斂.n=1

n=1例5.設正項數(shù)列單調減少，且發(fā)散，nn￥(-1)

an{a

}n=1是否收斂？并說明理由。n=1￥試問級數(shù)(

1

)nan

+1nfi

￥解

數(shù)列

an

單調減少且有下界

0，故存在極限。設

lim

an

=

a,

知

an

?

a

?

0，若

a

=

0,

則由

Leibniz

判別法知，nn(1)

a￥n=1級數(shù)收斂，與題設矛盾，因此a

>

0.11由于

(n

n)

￡

(

)

,an

+1

a

+1且當 時，a

>

01()na

+1￥n=1收斂(

1

)nan

+1￥由比較判別法知，級數(shù)n=1收斂。;n

+1￥(3)

(-1)

lnn=1nn例6. 討論下列級數(shù)的絕對收斂性與條件收斂性:(-1)

n+1

;n+1sin(2)p

n+1￥n=1p解.(2)因各項取絕對值后所得放大級數(shù)故原級數(shù)絕對收斂。收斂,1n+1￥n=1p￥n

+1(

1)

ln(3)

-n=1nnln

n

+11nnfi

￥另一方面，原級數(shù)為交錯級數(shù)，因單調遞減,且由Leibniz判別法知原級數(shù)收斂;所以原級數(shù)僅條件收斂ln(1+

1

)1nnfi

￥由于lim

n

=

lim

n

=1，故級數(shù)不絕對收斂。￥n=1各項取絕對值后得到的級數(shù)為ln

n

+1，采用比較法

n函數(shù)項級數(shù)的收斂、求和與展開一、求冪級數(shù)收斂域的方法二、冪級數(shù)和函數(shù)的求法三、函數(shù)的冪級數(shù)和傅里葉級數(shù)展開求和展開(在收斂域內進行)時為數(shù)項級數(shù);時為冪級數(shù);(an

,bn

為傅氏系數(shù))時,為傅立葉級數(shù).基本問題：求收斂域；求和函數(shù)；級數(shù)展開.一、求冪級數(shù)收斂域的方法?標準形式冪級數(shù):先求收斂半徑R

再討論x

=–R處的斂散性.非標準形式冪級數(shù)通過換元轉化為標準形式直接用比值法或根值法例1.求冪級數(shù)xnnn13

+(-2)n

的收斂區(qū)間，并討論該￥n=1區(qū)間端點處的收斂性。解由limn+1

n+1[3n

+(-2)n

]nnfi

￥

[3+(-2) ](n

+1)23nn1+(-

)3=

limnfi

￥

2

n

+13[1+

(-

)n+1

]13=知收斂半徑為3,收斂區(qū)間為(-3,3).在 處，x

=

3冪級數(shù)為3nnn13

+(-2)￥n=111,n23)n￥n=1

1+(-n

=

1231+(-)n由1

1n

2n>1￥n=1

n及發(fā)散，知x

=3為發(fā)散點.x在

=

-3

處，

冪級數(shù)為1(-3)n3n

+(-2)n

n￥n=1由=(-3)n

(-1)n

[3n

+(-2)n

]-

2n3n

+(-2)n

3n

+(-2)n2n=

(-1)n

-3n

+(-2)n得(-3)n

13n

+(-2)n

n￥n=1=1n

n(-1)￥n=12n13n

+(-2)n

n￥n=1-2nnn13

+(-2)

n11=

(23)n

n1+(-

2)n3￥23<

3

()n

，因此級數(shù)2nnn1n=1

3

+(-2)

n￥收斂，而級數(shù)n=1n(-1)n

1收斂，1xnnn3

+(-2)

n￥n=1級數(shù)在x

=-3

處收斂。因此例2.n￥a

(x

-1)

nn=0處的斂散性.已知冪級數(shù)x

=

-1在處收斂，判別此解

設n級數(shù)在x

=2￥a

(x

-1)

nn=0(1-

R,1+

R),的收斂半徑為R,則收斂區(qū)間為處收斂，故有冪級數(shù)在x

=-11-

R

<

-1即

R

?

2.

因此級數(shù)在

(-1,

3)內絕對收斂，

因此級數(shù)在x

=2

處絕對收斂。思考：若級數(shù)在x=-1處條件收斂，求級數(shù)的收斂半徑。結論：R

=2.求部分和式極限代數(shù)運算變換法:分解、套用公式分析變換法（在收斂區(qū)間內）二、冪級數(shù)和函數(shù)的求法求和逐項求導或求積分na

x￥*

nn=0S

*(x)對和式積分或求導S

(x)難￥

an

xnn=0n=1￥n-1nxn-1

a逐項求積分->求和->求導nna

xf

(x)

=￥n=0nxn￥an-1n=1逐項求導->求和->求積分直接求和:直接變換,求部分和等間接求和:轉化成冪級數(shù)求和,再代值。數(shù)項級數(shù)求和例3.求冪級數(shù)法1先求出收斂區(qū)間則122=

x

sin

x\

S

(x)

=

1

sin

x

+

x

cos

x,2

2設和函數(shù)為法2易求出級數(shù)的收斂域為x=

1

sin

x

+

x

cos

x

,2

2)x￥2n+2(-1)n12

n=0

(2n

+1)!(

￠=的和函數(shù).(2n

+1)!

n

+11(-1)例3.2.求冪級數(shù)￥x2n+1n=0n(2n

+1)

!

n

+11(-1)S

(x)

=x2n+1￥n=0n(2n

+1)

!

n

+11(-1)1S

(x)

=x2n+2￥n=0xn(2n

+1)

!

n

+11(-1)A(x)

=x2n+2￥n=0nxS

(x)

=

1

A(x)=

2sin

xx2n+1(2n

+1)

!

1A

(x)

=

2n1(-1)￠￥n=0A(0)

=

0=

2(1-

cos

x)2

sin

xdxA￠(x)dxA(x)

==00xxxS

(x)

=

2

(1-

cos

x)例4.求級數(shù)(n

+1)2n!￥n=0的和.n!nx

,

收斂半徑R

=

+￥

,

原級數(shù)的￥(n

+1)2解設S

(x)=n=0和為S

(1).xnx由函數(shù)ex

的展開式，e￥n=0

n!=

xn+1n=0n!x￥xe

=

n

+1n!xn

，兩端乘x￥n=0兩端求導，(x

+1)ex

=xxn!n+1n

+1￥n=0x(x

+1)e

=

(n

+1)2n=0n!xn￥,求導(x2

+3x

+1)ex

=(n

+1)2n!￥得，n=0=

(12

+

3

+1)e1

=

5e，兩端成以x,得令x

=1(-1)n+(-1)n=￥1

￥n=0

n=0 (

2

n)!

(

2

n

+1)!2練習:1.求級數(shù)解:原式=￥n=0(

2

n

+1)!(-1)n=

1[cos

1

+sin1]2的和.(2n

+1)

+12

12.

求級數(shù)

2n￥n=0n

n2

-

n

+1(-1)的和.￥提示：考慮冪級數(shù)(-1)n

(n2

-

n

+1)xn

,

求其和函數(shù)。n=0S

(x)

=n￥n=0(-1)n

(n2

-

n

+1)xn

2

n

n

n￥

￥(-1)

(n

-

n)x

+

(-1)

x

n=2

n=0=n=2n

n￥1=

(-1)

n(n

-1)x

+1+

x1n=2￥=

x2

(-1)n

n(n

-1)xn-2

+11+

x2n

n(-1)

(x

)

￠=

x￥n=21+

x+2

n

nn=2￥￠=

x

((-1)

x

)1+1+

x21x2=

x

( )

￠+1+

x

1+

x2x2

1=

+(1+

x)3

1+

x把函數(shù)三、函數(shù)的冪級數(shù)和傅里葉級數(shù)展開函數(shù)的冪級數(shù)展開直接展開法—利用泰勒公式間接展開法—利用已知展式的函數(shù)及冪級數(shù)性質練習：展開成x

的冪級數(shù).(2

-

x11解:

=(2

-

x)221)=

(1

)2 1

-

xxn

=￥1

n=022n2nnxn-1,2

n=1￥=

1

例5.把函數(shù)展開為的冪級數(shù).1x2x

-

2x解

先把

1

展為x

-

2的冪級數(shù)，再兩邊求導.=1

1

1

x x

-

2

+

22=12￥2(1+

x

-

2)

2

n=0=(-1)n

(

x

-

2)n,2n+1(x

-

2)n￥=

(-1)nn=0兩端求導得0

<

x

<

4.x2-

1

=

￥n=1n=0(-1)n

n

(x

-

2)n-1

=

( 1)n+1

n

+1

(x

2)n,￥-

-故x21

=n=0n￥2n+22n+1

2n+2n

+1(x

-

2)n

,(-1)x

?

(0,

4)例6.設將f(x)展開成x

的冪級數(shù)并,求級數(shù)的和.解:21

+

x1￥n

2n(-1)

x

,n=01=x

?

(-1,1)x\

arctan

x

=

01

+

x2(-1)n￥d

x

=

2n+1,xn=0

2n

+1x

?

[-1,1]f

(x)

=2n(-1)n2n

+1x￥n=0￥n=02n+22n

+1(-1)n+x于是當x

?0時￥+

x2n+2n=0

2n

+1(-1)n￥n=1(-1)n-1+2nx2n(-1)nx￥n=0

2n

+1f

(x)

=

￥n=12n

+1(-1)n=1

+2nx￥n=12n

-11

2n

-1-2n

+1(-1)n

1=1

+2nx(-1)n2nx

,2￥=1

+

2n=11

-

4n上式對x

=0也成立，因此￥f

(x)

=1

+

2x2n

,n=11

-

4n2(-1)n0

<|

x

|￡1￥f

(x)

=1

+

2x2n

,n=11

-

4n2(-1)n的和.并求級數(shù)令x

=1得，2(-1)n1-

4n￥f

(1)

=1+

2n=14p2

=解得2.函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開系數(shù)公式及計算技巧;

收斂定理;

延拓方法例7.設f

(x)=x2

,0

<x

￡

2p,把f

(x

)展開成以2p

為周期的傅里葉級數(shù).解

把函數(shù)延拓為以

2p

為周期的函數(shù)，記延拓后的函數(shù)為

g(x).

將

g

(

x

)

展開成以2p

為周期的傅里葉級數(shù)，

就得到了要求的f

(

x

)

的傅里葉級數(shù)。將g

(x

)在[-p,p

]上展開，有np-pa

=

1p=

10pg(x)

cos

nxdx

=

1

2p

g(x)

cos

nxdx0pn22p

4x2

cos

nxdx

=

,n

=1,

2,...00p3a

=

1

2p

x2

dx

=

8

p

20npb

=

1n2p

4px2

sin

nxdx

=

-x228p

sin

nx),￥=

p

+

43(

1

cos

nx

-n

nn=10

<

x

<

2p得類似的，有練習的Fourier級數(shù)展開式為，1、設是f

(x)以2p為周期的周期函數(shù)，當x

?

(-p

,p

]時，f

(x)

=

x2

-

2x,

又設

f

(x)￥n=1(an

cos

nx

+

bn

sin

nx)+a02記其和函數(shù)為S

(x)，求a4

、S

(x)在[-p,p

]閉區(qū)間上的表達式及S

(10

p

)的值.3作業(yè)P2916、78、1015￥(3)

(-1)

ln

;n=1nnn

+1例4. 討論下列級數(shù)的絕對收斂性與條件收斂性:(-1)(2)￥n=1

n+1

;n+1sinp

n+1p解. (1)

P

>1

時,

絕對收斂

;0<p

≤1時,條件收斂;p≤0時,發(fā)散.故原級數(shù)絕對收斂。1(2)因各項取絕對值后所得放大級數(shù)￥n+1

收斂,n=1p￥n

+1(

1)

ln(3)

-n=1nnln

n

+11nnfi

￥另一方面，原級數(shù)為交錯級數(shù)，因單調遞減,且由Leibniz判別法知原級數(shù)收斂;所以原級數(shù)僅條件收斂.ln(1+

1

)1nnfi

￥由于lim

n

=

lim

n

=1，故級數(shù)不絕對收斂。￥n=1各項取絕對值后得到的級數(shù)為ln

n

+1，采用比較法，

n￥(4)

(-1)n=1(n

+1)!nn+1(n

+

2)!n因=unun+1(n

+1)n+2n

+1

n

+11=

n

+

2

(1

-)n+1

n

fi

￥=

e-1

<1所以原級數(shù)絕對收斂。練習:解:(1))21

(x2n-1原式=￥n=12(0

<

<1)x2￠1

￥n=1nx2=

(nx222x

1

-

x2122

-

x)￠=

(

)

=(2

-

x2

)22

+

x2顯然

x

=

0

時上式也正確,

而在

x

=

–故和函數(shù)為x≠02

級數(shù)發(fā)散,求下列冪級數(shù)的和函數(shù)：12nx2n-1)￠=

(

x

(

2

)

)￥=

(n=1x￥-

x

nn

+1

n=1

+1

+

1

ln

(1

-

x)x-1)

ln

(1

-

x)1x=1

+

(xn￥=xn￥-1xnn n

+1

n

x￥n=1

n=1

n=1￥xn+1n

+1n=1=

-

解 原式

=

1

1

nx=

-ln(1-

x)

-

1

[ln(1-

x)

-

x]x≠0x=1

+

(

1

-1)

ln

(1

-

x)

,顯然

x

=

0

時,

和為

0

;

x

=

–1

時,

級數(shù)也收斂

.根據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性

,

有0

<

x

<1nnxn13

+(-2)

n￥n=1級數(shù)在x

=-3

處收斂。練習:求下列級數(shù)的斂散區(qū)間:(1)￥(1+

1

)n2

xn

;nn=1(2)2nn

x2n

.￥n=1>nnnfi

￥

nfi

￥解:

lim

n

a=

lim

(1

+

1)n

=

ee當x

=–1

時,)n+1

>

e1n(1

+e1nnu=

n(1

+

1)n(n

fi

￥

)fi

1

?

0e)

.1e

e(-1

,