/2017年全國高中數學聯賽A卷一試一、填空題1.設是定義在上的函數.對任意實數有.又當時..則的值為__________.2.若實數滿足.則的取值范圍是__________.3.在平面直角坐標系中.橢圓的方程為.為的上焦點.為的右頂點.是C上位于第一象限內的動點.則四邊形OAPF的面積的最大值為__________.4.若一個三位數中任意兩個相鄰數碼的差不超過1.則稱其為"平穩數".平穩數的個數是。5.正三棱錐P-ABC中.AB=1.AP=2.過AB的平面α將其體積平分.則棱PC與平面α所成角的余弦值為________.6.在平面直角坐標系中.點集.在中隨機取出三個點.則這三點中存在兩點之間距離為的概率為__________.7.在中.是邊的中點.是線段的中點.若.的面積為.則的最小值為__________.8.設兩個嚴格遞增的正整數數列滿足：.對任意正整數.有..則的所有可能值為__________.二、解答題9.設為實數.不等式對所有成立.證明：.10.設是非負實數.滿足.求的最小值和最大值.11.設復數滿足..且〔其中表示復數的實部.〔1求的最小值；〔2求的最小值.2017年全國高中數學聯賽A卷二試一.如圖.在中..為的內心.以為圓心.為半徑作圓.以為圓心.為半徑作圓.過點的圓與,分別交于點〔不同于點.設與交于點.證明：二.設數列定義為..求滿足的正整數的個數.三.將方格紙中每個小方格染三種顏色之一.使得每種顏色的小方格的個數相等.若相鄰連個小方格的顏色不同.則稱它們的公共邊為"分隔邊".試求分隔邊條數的最小值.四.設均是大于1的整數..是個不超過的互不相同的正整數.且互素.證明：對任意實數.均存在一個.使得.這里表示實數到與它最近的整數的距離.2017年全國高中數學聯賽A卷一試答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全國高中數學聯賽A卷二試答案一.二.三.四.2017年全國高中數學聯合競賽一試〔B卷一、填空題：本大題共8個小題,每小題8分,共64分.1.在等比數列中...則的值為.2.設復數滿足.則的值為.3.設是定義在上的函數.若是奇函數.是偶函數.則的值為.4.在中.若.且三條邊成等比數列.則的值為.5.在正四面體中.分別在棱上.滿足..且與平面平行.則的面積為.6.在平面直角坐標系中.點集.在中隨機取出三個點.則這三個點兩兩之間距離均不超過2的概率為.7.設為非零實數.在平面直角坐標系中.二次曲線的焦距為4.則的值為.8.若正整數滿足.則數組的個數為.二、解答題〔本大題共3小題.共56分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.9.設不等式對所有成立.求實數的取值范圍.10.設數列是等差數列.數列滿足..〔1證明：數列也是等差數列；〔2設數列、的公差均是.并且存在正整數.使得是整數.求的最小值.11.在平面直角坐標系中.曲線.曲線.經過上一點作一條傾斜角為的直線.與交于兩個不同的點.求的取值范圍.2017年全國高中數學聯合競賽加試〔B卷一、〔本題滿分40分設實數滿足.令.證明：二、〔本題滿分40分給定正整數.證明：存在正整數.使得可將正整數集分拆為個互不相交的子集.每個子集中均不存在4個數〔可以相同.滿足.三、〔本題滿分50分如圖.點是銳角的外接圓上弧的中點.直線與圓過點的切線分別相交于點.與的交點為.與的交點為.與的交點為.求證：平分線段.四、〔本題滿分50分設..集合.求的元素個數的最大值.一試試卷答案1.答案：解：數列的公比為.故.2.答案：。解：設.由條件得.比較兩邊實虛部可得.解得：.故.進而.3.答案：。解：由條件知...兩式相加消去.可知：.即.4.解：由正弦定理知..又.于是.從而由余弦定理得：.5.解：由條件知.平行于.因為正四面體的各個面是全等的正三角形.故..由余弦定理得..同理有.作等腰底邊上的高.則.故.于是.6.解：注意中共有9個點.故在中隨機取出三個點的方式數為種.當取出的三點兩兩之間距離不超過2時.有如下三種情況：〔1三點在一橫線或一縱線上.有6種情況.〔2三點是邊長為的等腰直角三角形的頂點.有種情況.〔3三點是邊長為的等腰直角三角形的頂點.其中.直角頂點位于的有4個.直角頂點位于.的各有一個.共有8種情況.綜上可知.選出三點兩兩之間距離不超過2的情況數為.進而所求概率為.7.解：二次曲線方程可寫成.顯然必須.故二次曲線為雙曲線.其標準方程為.則.注意到焦距.可知.又.所以.8.解：由條件知.當時.有.對于每個這樣的正整數.由知.相應的的個數為.從而這樣的正整數組的個數為.當時.由.知..進而.故.此時共有2組.綜上所述.滿足條件的正整數組的個數為.9.解：設.則.于是對所有成立.由于..對給定實數.設.則是關于的一次函數或常值函數.注意.因此等價于.解得所以實數的取值范圍是.10.解：〔1設等差數列的公差為.則所以數列也是等差數列.〔2由已知條件及〔1的結果知：.因為.故.這樣若正整數滿足.則.記.則.且是一個非零的整數.故.從而.又當時.有.綜上所述.的最小值為.11.解：設.則直線的方程為.代入曲線的方程得..化簡可得：①.由于與交于兩個不同的點.故關于的方程①的判別式為正.計算得..因此有.②設的橫坐標分別為.由①知...因此.結合的傾斜角為可知..③由②可知..故.從而由③得：注1：利用的圓心到的距離小于的半徑.列出不等式.同樣可以求得②中的范圍.注2：更簡便的計算的方式是利用圓冪定理.事實上.的圓心為.半徑為.故.加試試卷答案一、證明：當時.不等式顯然成立以下設.不妨設不異號.即.那么有因此二、證明：取.令.設.則.故.而.所以在中不存在4個數.滿足三、證明：首先證明.即證連接.因為.所以.①由題設.是圓的切線.所以..又〔注意是弧的中點.于是由①知②因為.所以.于是③而④由②.③.④得.即又.故設邊的中點為.因為.所以由塞瓦定理知.三線共點.交點即為.故由可得平分線段四、解：考