專題12數列求和方法之倒序相加法一、單選題1．已知是上的奇函數，,,則數列的通項公式為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由在上為奇函數，知，令，則，得到．由此能夠求出數列的通項公式．【詳解】由題已知是上的奇函數，故，代入得：，∴函數關于點對稱，令，則，得到，∵，，倒序相加可得，即，故選：C．【點睛】思路點睛：利用函數的性質以及倒序相加法求數列的通項公式問題.先利用函數的奇偶性得到函數的對稱中心，再用換元法得到，最后利用倒序相加法求解數列的通項公式.2．已知是上的奇函數，，則數列的通項公式為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由在上為奇函數，知，令，則，得到．由此能夠求出數列的通項公式．【詳解】由題已知是上的奇函數，故，代入得：，∴函數關于點對稱，令，則，得到，∵，，倒序相加可得，即，故選：C．【點睛】思路點睛：先利用函數的奇偶性得到函數的對稱中心，再利用對稱性以及倒序相加法求數列的通項公式.3．已知，（），則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用累加法即可求出通項公式．【詳解】解：∵，則當時，，……，，∴，化簡得，又，∴，經檢驗也符合上式，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查累加法求數列的通項公式，考查數列的遞推公式的應用，考查倒序相加法求數列的和，考查計算能力，屬于中檔題．4．設n為滿足不等式的最大正整數，則n的值為（）．A．11 B．10 C．9 D．8【答案】D【分析】利用倒序相加法可求得，進而解不等式求得最大正整數.【詳解】設，則，又，，，由得：，，，，，的值為.故選：.【點睛】本題考查了與組合數有關的不等式的求解問題；涉及到了利用倒序相加法求解數列的前項和的問題，屬于中檔題.5．已知函數滿足，若數列滿足，則數列的前10項和為（）A． B．33 C． D．34【答案】A【分析】根據，并結合倒序相加法可求出，再利用等差數列求和公式得到答案.【詳解】函數滿足，①，②，由①②可得，，所以數列是首項為1，公差為的等差數列，其前10項和為.故選：A.【點睛】本題考查了函數的性質，考查倒序相加法求和，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力，屬于中檔題.6．已知函數滿足，若數列滿足，則數列的前20項和為（）A．100 B．105 C．110 D．115【答案】D【分析】根據函數滿足，利用倒序相加法求出，再求前20項和．【詳解】解：函數滿足，①，②，由①②可得，，所以數列是首項為1，公差為的等差數列，其前20項和為．故選：D．【點睛】本題主要考查函數的性質及倒序相加法求和，屬于基礎題．7．已知函數，設（），則數列的前2019項和的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先可得，又，則，即，則可得，再由及計算可得；【詳解】解：因為，所以所以因為所以，所以則數列的前2018項和則所以所以又故選：【點睛】本題考查數列的遞推公式的應用，函數與數列，倒序相加法求和，屬于中檔題.8．已知若等比數列滿足則（）A． B．1010 C．2019 D．2020【答案】D【詳解】等比數列滿足即2020故選：D【點睛】本題綜合考查函數與數列相關性質，需要發現題中所給條件蘊含的倒數關系，尋找規律進而求出答案.9．設函數，利用課本（蘇教版必修）中推導等差數列前項和的方法，求得的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先計算出的值，然后利用倒序相加法即可計算出所求代數式的值.【詳解】，，設，則，兩式相加得，因此，.故選：B.【點睛】本題考查函數值的和的求法，注意運用倒序相加法，求得是解題的關鍵，考查化簡運算能力，屬于中檔題．10．設等差數列的前項和是，已知，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據等差數列求和公式表示出，根據結合等差數列性質求解.【詳解】由題：等差數列中：．故選：B【點睛】此題考查等差數列求和公式和等差數列性質的綜合應用，熟練掌握相關性質可以減少計算量.11．已知Fx=fx+12?2是R上的奇函數，A．an=n B．an=2n+1 【答案】B【分析】由Fx=fx+12?2在R上為奇函數，知f（12?x）+f（【詳解】由題已知Fx=fx+故F（?x）=?F（x），代入得：f（1∴函數f（x）關于點（12，2）對稱，令t=12∵anan倒序相加可得2an=4（n+1）故選B．【點睛】本題考查函數的基本性質，借助函數性質處理數列問題問題，對數學思維的要求比較高，要求學生理解f（1212．已知函數，則的值為（）A．4033 B．-4033C．8066 D．-8066【答案】D【解析】試題分析：，所以原式.考點：函數求值，倒序求和法.【思路點晴】本題主要考查函數求值與倒序相加法.注意到原式中第一個自變量加上最后一個自變量的值為，依此類推，第二個自變量加上倒數第二個自變量的值也是，故考慮是不是定值.通過算，可以得到，每兩個數的和是，其中，所以原式等價于個即.13．已知為R上的奇函數，，則數列的通項公式為A． B． C． D．【答案】C【分析】觀察到的自變量頭尾加得1，根據為R上的奇函數和得到即可求解.【詳解】∵為R上的奇函數，∴代入得：當時，，當為偶數時：當為奇數時：綜上所述，，故選C.【點睛】本題考查數列與函數的綜合應用.關鍵在于發現規律，再建立與已知的聯系.二、填空題14．設數列的通項公式為該數列的前n項和為，則_________.【答案】【分析】利用誘導公式和同角三角函數基本關系式可知，再利用倒序相加法求和.【詳解】，，，，，，…，，，，.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題考查求三角函數的和，解題關鍵是找到，然后利用倒序相加法求和.15．已知函數，，正項等比數列滿足，則等于______．【答案】【解析】試題分析：因為，所以．因為數列是等比數列，所以，即．設①，又＋…＋②，①+②，得，所以．考點：1、等比數列的性質；2、對數的運算；3、數列求和．【知識點睛】如果一個數列，與首末兩項等距離的兩項之和等于首末兩項之和（都相等，為定值），可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到一個常數列的和，這一求和方法稱為倒序相加法．如等差數列的前項和公式即是用此法推導的．16．設是函數的導數，是的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”.已知：任何三次函數都有拐點，又有對稱中心，且拐點就是對稱中心.設，數列的通項公式為，則_______.【答案】8【分析】由題意對已知函數求兩次導數可得圖象關于點對稱，即，即可得到結論．【詳解】解：，，，令，解得：，而，故函數關于點對稱，，，，，，同理可得，，，，故答案為：8.【點睛】本題主要考查導數的基本運算，利用條件求出函數的對稱中心是解決本題的關鍵．求和的過程中使用了倒序相加法．17．已知，等差數列的前項和為，且，則的值為___________.【答案】【分析】先求出，并判斷，（且），再由函數得到，最后求的值即可.【詳解】解：因為等差數列的前項和為，且，所以，解得：，則，（且）因為，則，所以設，則，由上述兩式相加得：，則故答案為：1009.【點睛】本題考查等差數列的通項的性質、等差數列的前項和、倒序相加法，是中檔題.18．設函數，數列滿足，則______.【答案】【分析】由題得，設,考慮一般情況，，即得解.【詳解】由題得,，兩式相加得，考慮一般情況，設,則所以故答案為：【點睛】本題主要考查對數的運算和倒序相加求和，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.19．若()，則數列的通項公式是___________.【答案】【分析】根據自變量的和為1時，函數值的和為2，運用數列的求和方法，倒序相加法求和，計算數列的通項公式.【詳解】，，兩式相加可得，，所以.故答案為：【點睛】本題考查倒序相加法求和，重點考查推理能力和計算能力，屬于基礎題型.20．對任意都有.數列滿足：，則__________.【答案】【分析】采用倒序相加法即可求得結果.【詳解】由題意得：，，，……，，，，解得：.故答案為：.【點睛】本題考查利用倒序相加法求和的問題，屬于基礎題.21．函數，數列滿足，其前項和為，則_____.【答案】2019【分析】由二倍角公式可得，則，再求其前2019項的即可，或根據函數的解析式化簡得到求解.【詳解】（法一）：，（法二）：，所以，所以，，所以，所以.故答案為：【點睛】本題考查三角函數誘導公式及數列求和降冪公式：，，22．推導等差數列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得__________.【答案】.【分析】通過誘導公式可知，結合，可求出原式為.【詳解】解：設，，，則，即，故答案為:【點睛】本題考查了誘導公式，考查了同角三角函數的基本關系.本題的關鍵是結合誘導公式對所求式子倒序求和.23．設，利用課本中推導等差數列前n項和的公式的方法，可求得_________．【答案】【分析】由題干可證出，再由倒序相加法可得所求為對的組合，即個，計算即可得解.【詳解】，，因此，所以.故答案為：.【點睛】本題考查倒序相加法求數列的前項和，考查邏輯思維能力和運算能力，屬于常考題.24．已知數列滿足，且，若函數，記，則數列的前7項和為__________.【答案】7【分析】利用等差數列的性質可得，再利用二倍角的余弦公式可得，利用倒序相加法即可求解.【詳解】數列滿足，，數列是等差數列，，，，同理，數列的前7項和為7.故答案為：7.【點睛】本題考查了等差數列的性質、二倍角的余弦公式、誘導公式以及倒序相加法，屬于中檔題.25．給出定義：對于三次函數設是函數的導數，是的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”，經過研究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.已知函數.設.若則__________．【答案】-4037【分析】由題意對已知函數求兩次導數,令二階導數為零,即可求得函數的中心對稱,即有,,借助倒序相加的方法,可得進而可求的解析式,求導,當代入導函數解得,計算求解即可得出結果.【詳解】函數函數的導數由得解得,而故函數關于點對稱,故，兩式相加得，則.同理,,,令,則,,故函數關于點對稱,,兩式相加得,則.所以當時,解得:,所以則.故答案為:-4037.【點睛】本題考查對新定義的理解,考查二階導數的求法,仔細審題是解題的關鍵,考查倒序法求和,難度較難.三、解答題26．已知數列的前n項和為．（Ⅰ）若為等差數列，求證：；（Ⅱ）若，求證：為等差數列．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析.【分析】（1）根據為等差數列，利用倒序相加法證明即可；（2）由前n項和公式有、，相加后整理可得，為等差數列得證．【詳解】（Ⅰ）證明：已知數列為等差數列，設其公差為d，則有，于是，①又，②①+②得：，即．（Ⅱ）證明：∵，當時，，∴，③，④④-③并整理，得，即，∴數列是等差數列．【點睛】本題考查了已知等差數列的通項公式，應用倒序相加法求證前n項和公式，由前n項和公式，結合等差數列的定義證明等差數列，屬于基礎題.27．已知函數，設數列滿足，且.（1）求數列的通項公式；（2）若記，2，3，，，求數列的前項和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由得到，然后變形為，利用等差數列的定義求解.（2）由（1）得到，由，利用倒序相加法求解.【詳解】（1）因為，所以由得，所以，，所以是首項為2，公差為2的等差數列，所以，所以.（2）由（1）知，則，，，所以，，，兩式相加，得：，所以.【點睛】本題主要考查數列的遞推關系，等差數列的定義及通項公式以及倒序相加求和，話考查了運算求解的能力，屬于中等題.28．已知f(x)＝(x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函數y＝f(x)的圖像上的兩點，且線段P1P2的中點P的橫坐標是.（1）求證：點P的縱坐標是定值；（2）若數列{an}的通項公式是an＝，求數列{an}的前m項和Sm.【答案】（1）證明見解析；（2）Sm＝【分析】（1）先根據中點坐標公式得x1＋x2＝1，再代入化簡求得y1＋y2＝，即證得結果；（2）先求，再利用倒序相加法求，兩者相加得結果.【詳解】（1）證明：∵P1P2的中點P的橫坐標為，∴＝，∴x1＋x2＝1.∵P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函數y＝f(x)的圖像上的兩點，∴y1＝，y2＝，∴y1＋y2＝＋＝＝＝＝＝，∴點P的縱坐標為＝.∴點P的縱坐標是定值.（2）Sm＝a1＋a2＋a3＋…＋am＝令由（1）知＋＝.(k＝1，2，3，…，m－1)∴倒序相加得∴2S＝(m－1)，∴S＝(m－1).又f（1）＝＝，∴Sm＝S＋f（1）＝(m－1)＋＝.【點睛】本題考查利用指數性質運算、利用倒序相加法求和，考查基本求解能力，屬基礎題.29．已知f(x)＝(x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函數y＝f(x)的圖像上的兩點，且線段P1P2的中點P的橫坐標是.（1）求證：點P的縱坐標是定值；（2）若數列{an}的通項公式是an＝，求數列{an}的前m項和Sm.【答案】（1）見證明過程（2）Sm＝【分析】（1）根據P1P2的中點P的橫坐標是可得x1＋x2＝1，計算y1＋y2＝，代入x1＋x2＝1可得y1＋y2＝，即可得證；（2）利用倒序相加法求數列的和即可.【詳解】（1）證明：∵P1P2的中點P的橫坐標為，∴＝，∴x1＋x2＝1.∵P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函數y＝f(x)的圖像上的兩點，∴y1＝，y2＝∴y1＋y2＝＋＝＝＝＝＝，∴點P的縱坐標為＝.∴點P的縱坐標是定值．（2）Sm＝a1＋a2＋a3＋…＋am＝f＋f＋f＋…＋f＝f＋f＋f＋…＋f＋f(1)．令S＝f＋f＋f＋…＋f，①倒序得S＝f＋f＋f＋…＋f，②①＋②，得2S＝＋[f＋f]＋[f＋f]＋…＋[f＋f]．∵＋＝1(k＝1，2，3，…，m－1)，∴由（1）知f＋f＝.∴2S＝(m－1)，∴S＝(m－1)．又f(1)＝＝，∴Sm＝S＋f(1)＝(m－1)＋＝【點睛】本題主要考查了定值問題，數列倒序相加求和，考查了推理分析問題能力，運算能力，屬于中檔題.30．已知數列的前項和，函數對一切實數總有，數列滿足分別求數列、的通項公式.【答案】；【分析】利用的關系即可容易得到；根據函數性質，利用倒序相加法即可求得.【詳解】當當時滿足上式，故；∵=1∴∵①∴②∴①②，得【點睛】本題考查利用的關系求數列的通項公式，涉及倒序相加法求數列的前項和，屬綜合基礎題.新高考數學培優專練共39講（附解析版）目錄如下。全套39講（附解析）word版本見：高考高中資料無水印無廣告word群559164877新高考數學培優專練01圓錐曲線中的弦長問題（原卷板及解析版）新高考數學培優專練02圓錐曲線中的面積問題（原卷板及解析版）新高考數學培優專練03圓錐曲線中的中點弦問題（原卷板及解析版）新高考數學培優專練04圓錐曲線中的范圍問題（原卷板及解析版）新高考數學培優專練05圓錐曲線中的定點問題（原卷板及解析版）新高考數學培優專練06圓錐曲線中的定值問題（原卷板及解析版）新高考數學培優專練07圓錐曲線中的向量共線問題（原卷板及解析版）新高考數學培優專練08公式法求等差等比數列和（原卷板及解析版）新高考數學培優專練09數列求和方法之裂項相消法（原卷板及解析版）新高考數學培優專練10數列求和方法之錯位相減法（原卷板及解析版）新高考數學培優專練11數列求和方法之分組并項求和法（原卷板及解析版）新高考數學培優專練12數列求和方法之倒序相加法（原卷板及解析版）新高考數學培優專練13利用導數證明或求函數的單調區間（原卷板及解析版）新高考數學培優專練14分類討論證明或求函數的單調區間（含參）（原卷板及解析版）新高考數學培優專練15已知函數的單調區間求參數的范圍（原卷板及解析版）新高考數學培優專練16構造函數用函數單調性判斷函數值的大小（原卷板及解析版）新高考數學培優專練17利用導數求函數的極值（原卷板及解析版）新高考數學培優專練18利用函數的極值求參