2021?2022學年高二第二學期期中考試

數學試題

一、單項選擇題：共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上.

1.按序給出。為兩類元素，4類中的元素排序為甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，匕類中的

元素排序為子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.在兩類中各取1個元素組成1個

排列，則。類中選取的元素排在首位，匕類中選取的元素排在末位的排列的個數為()

A.240B.200C.120D.60

【答案】C

【解析】

【分析】根據乘法計數原理即可求解.

【詳解】解：從。類中取1個元素有10種取法，從。類中取1個元素有12種取法，

則共有10x12=120種取法.

故選：C.

2.若卜4=4,忖=4,<>=彳，則a/=()

A.4B.4GC.8D.873

【答案】C

【解析】

【分析】由數量積的定義計算.

［詳解］a?〃=W忖cos<a,b>=4x4xcosy=8.

故選：C.

3.己知A與B是兩個事件，P(B)=-,P(AB)=-,則尸(A|8)等于()

48

【答案】D

【解析】

【分析】根據條件概率公式可直接求得.

1

【詳解】由條件概率的計算公式，可得P（A|B）=￡舒=：=；.

4

故選：D

4.從2名教師和5名學生中，選出3人參加“我愛我的祖國”主題活動.要求入選的3人中至少有一名教

師，則不同的選取方案的種數是（）

A.20B.55C.30D.25

【答案】D

【解析】

【分析】根據題意，用間接法分析：先計算從2名教師和5名學生中選出3人的選法，再計算其中“入選

的3人沒有教師”的選法數目，分析可得答案.

【詳解】解：根據題意，從2名教師和5名學生中，選出3人，有C；=35種選法，

若入選的3人沒有教師，即全部為學生的選法有=10種，

則有35-10=25種不同的選取方案，

故選：D.

5.已知空間中非零向量”，b，且%|=2,忖=3,<a,b>=60°,則的值為（）.

A.797B.97C.病D.61

【答案】C

【解析】

【分析】根據空間向量數量積的定義可得"一3dH2a_30=61,進而求出n一30的值.

【詳解】V|2a-3d=（2a-34=4）+9片—12ad=4x4+9x9-121小Wcos60°

=97-12x2x3x2=61,

2

rr

.取-3萬卜府，

故選：C.

6.二項式（2x—丁了的展開式中第3項的二項式系數為（）

A.-56B.56C.-28D.28

【答案】D

【解析】

【分析】二項式展開式第什1項的二項式系數為C,"進而得到答案.

【詳解】二項式展開式第三項的二項式系數為《=28.

故選：D.

7.在三棱錐P-A3。中，CP、CA.CB兩兩垂直，AC=CB=1,PC=2,如圖，建立空間直角

坐標系，則下列向量中是平面Q48的法向量的是()

B.(1,72,1)

C.(1,1,1)D.(2,-2,1)

【答案】A

【解析】

n-PA-0

【分析】設平面A48的一個法向量為”=(x,y,l)，利用，,求出x、y的值，可得出向量〃的

n-AB=O

坐標，然后選出與“共線的向量坐標即可.

【詳解】PA=(l,0,-2),AB=(—U,O)，設平面PA8的一個法向量為“=(x,y/)，

n-PA=Qx-2=0x=21

由，則《解得＜cn=(2,2,I).

n-AB=OT+y=0卜=2

又=因此，平面Q鉆的一個法向量為

故選：A.

【點睛】本題考查平面法向量的計算，熟悉法向量的計算方法是解題的關鍵，考查計算能力，屬于基礎

題.

8.在空間直角坐標系中，定義：平面。的一般方程為Ar+B），+Cz+D=O（A,B,C,DeR,且A,

B,C不同時為零），點尸（事,為/0）到平面a的距離°」今,則在底面邊長與高都

為2的正四棱錐P-ABC。中，底面中心。到側面Q46的距離d等于（）

A.好B.—C.2D.5

55

【答案】B

【解析】

【分析】欲求底面中心。到側面的距離，先利用建立空間直角坐標系求出點4B,P的坐標，及側面的

方程，最后利用所給公式計算即可.

【詳解】以底面中心。為原點，建立空間直角坐標系。孫z,如圖所示:

則<9(0,0,0),41,1,0),3(-1,1,0),P(0,0,2),

設平面A鉆的方程為Ar+By+Cz+O=0,將點A,B,P的坐標代入計算得A=0,B=-D,

C=-^D,所以方程可化為—。y-；Dz+Q=0,即2y+z-2=0,

|2x0+0-2|2A/5

所以d=J~'

一/。2-2

故選：B.

【點睛】本小題主要考查點、線、面間的距離計算、空間直角坐標系的應用、空間直角坐標系中點到平

面的距離等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想.屬于基礎題.

二、多項選擇題：共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分，將正確選項涂在

等犀卡.

9.若G；=Cji，則正整數X的值是（）

A.1B.4C.6D.8

【答案】AC

【解析】

【分析】由組合數的性質，直接計算結果.

【詳解】由組合數的性質可知x=2x—l或x+2x-l=17,解得：x=l或x=6.

故選：AC

10.對于m,〃eN*，下列排列組合數結論正確的是（）

A.加瑪=〃￡詈B.C：+l=C；r'+C：C.A：=C；+A；D.A鬻=（m+l）A：

【答案】AB

【解析】

【分析】對于A、D：分別計算左右兩側，即可判斷是否成立；

對于B：由組合數的性質直接判斷；

對于C：由C：'H0直接判斷；

n\n\

【詳解】對于A：加C〃=m--------1=-—-----------,

（九一1）?）

〃C3'=n八/、=7~~公一V；，所以〃=故A正確；

對于B：由組合數的性質直接得到CM=C；；-'+C：.故B正確；

對于C：因為C；'H0,所以A，HC；：+A；.故C錯誤；

對于D：A：：；J",：,而（m+12：=（優+1）廠〃！\,所以人鬻。（加+1用〉故D錯誤.

[n—my.[n-m）].、

故選：AB

H.給出下列命題，其中正確的有（）

A.空間任意三個向量都可以作為一個基底

B.已知向量。//〃，則a，6與任何向量都不能構成空間的一個基底

c.A.B,M,N是空間中的四個點，若84，BM，BN不能構成空間的一個基底，那么A,B,

M,N共面

D.已知｛。,仇c｝是空間的一個基底，若加=a+c,則｛"，仇相｝也是空間的一個基底

【答案】BCD

【解析】

【分析】作為空間中基底的性質，結合各選項的描述判斷正誤即可.

【詳解】A：空間中共面的三個向量不能作為基底，故錯誤；

B：向量a//b，即a，匕可平移到一條直線上，它們與其它任何向量都會共面，故不能作為基底，正

確；

C：BA，BM>8N不能構成空間的一個基底，即它們共面，則A，B,M,N共面，正確；

D：是空間的介基底，即它們不共面，由〃?=a+c即共面，故〃與機,a不共面，貝U

詞是空間的一個基底，正確.

故選：BCD

12.甲箱中有3個白球和3個黑球，乙箱中有2個白球和4個黑球.先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中,

分別以4,4表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以B表示從乙箱中取

出的球是黑球的事件，則下列結論正確的是（）

2

A.兩兩互斥B.P（例4）=§

9

C.事件8與事件4相互獨立D.P（B）=一

''14

【答案】AD

【解析】

【分析】根據條件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知識，逐一分析選項，即可得答案.

【詳解】因為每次取一球，所以4,4是兩兩互斥的事件，故A項正確；

因為p(4)=p(4)=；,尸=

故B項錯誤;

又尸（814）=*^=；，所以P（8）=P（8A）+P（842）=gx；+gx^=2,故D項正確.

從甲箱中取出黑球，放入乙箱中，則乙箱中黑球變為5個，取出黑球概率發生變化，所以事件B與事件

A,不相互獨立，故C項錯誤.

故選：AD

三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分.請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.

13.若（2+ar），的展開式中第4項的系數是160,則。=,

【答案】1

【解析】

【分析】根據給定的二項式直接求出第4項，結合已知系數計算作答.

【詳解】(2+0X)6的展開式中的第4項為=8/c江3=160/丁，

依題意，160/=160，解得。=1,

所以a=l.

故答案為：1

14.已知3=(1,0,1),。=(%1,2),§.a-b=3>則向量a與〃的夾角為.

n

【答案】m

6

【解析】

【分析】利用空間向量數量積的坐標運算求出X的值，可求得cos<a/>,結合<a,6>的取值范圍可

求得<a,石>的值.

【詳解】由已知條件可得a力=》+2=3,解得x=l，所以，.=4+12+22=底,

■'a-b35/3

COS<ci,b>=1--j—i-r=—f=----j==---

|a|-|^|5/2x^/62，

zr

0<<a,b><7i因此，<“，〃>=一.

6

71

故答案為：—.

6

15.已知Q=(2,—1,3),人=(—1,4,—2),c=(3,2,2),若a，b，c三向量共面，則實數4等于

【答案】4

【解析】

【分析】依題意設c=+列方程組能求出結果.

【詳解】解：。=(2,-1,3),力=(一1,4,-2),。=(3,2,2),且。，〃，己三向量共面,

??設c=ma+nb，

/.(3,2,4)=(2〃？一九，-m+4/i,3/n-2n),

2m一〃二3

/.<-m+4〃=2,

3m-2〃=4

解得6=2,n=\,4=4.

故答案為：4.

16.2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”，有著可愛的外表和豐富的寓意，深受

各國人民的喜愛.某商店有4個不同造型的“冰墩墩''吉祥物和3個不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜臺

上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此間隔排列，則不同的排列方法種數為.(用數字作答)

【答案】144

【解析】

【分析】根據間隔排列知兩端均為“冰墩墩”，可以先排

【詳解】先排“冰墩墩”中間有三個空，再排“雪容融”，則閥=144.

故答案為：144.

四、解答題：共6小題，共70分.請在答題卡指定區域內作答，解答時寫出必要的文字說

明、證明過程或演算步驟.

17.用0,1,2,3,…，9十個數字可組成多少個不同的

(1)三位數？

(2)無重復數字的三位數？

(3)小于500且沒有重復數字的自然數？

【答案】(1)900(2)648

(3)379

【解析】

【分析】(1)根據分步乘法計數原理計算出正確答案.

(2)根據分步乘法計數原理計算出正確答案.

(3)根據分類加法、分步乘法計數原理計算出正確答案.

【小問1詳解】

由于0不能在百位，故百位上數字有9種選法，十位與個位上的數字均有10種選法.所以不同的三位數

共有9x10x10=900個.

【小問2詳解】

百位上的數字有9種選法，十位上的數字有除百位上的數字以外的9種選法，個位上的數字應從剩余8個

數字中選取，所以共有9x9x8=648個無重復數字的三位數.

【小問3詳解】

滿足條件的一位自然數有10個，兩位自然數有9x9=81個，三位自然數有4x9x8=288個，由分類加法

計數原理知共有10+81+288=379個小于500且無重復數字的自然數.

18.已知空間三點A(—2,0,2),8(—1,1,2),C(—3,0,4),設&=48,b=AC>

(1)求a和b夾角余弦值；

(2)設卜|=3,c〃BC，求c的坐標.

【答案】(1)_叵.

10

(2)。=(一2,—1,2)或(2,1,—2).

【解析】

【分析】(1)利用空間向量的坐標表示求8的坐標，再由向量夾角的坐標表示求a和力夾角的余弦

值；

(2)由向量平行有c=且/leR，寫出關于2的c坐標，再由空間向量模的坐標表示列方程求參

數，即可知c的坐標.

【小問1詳解】

由題設，a=(1,1,0),/?=(-1,0,2),

,,a-b-1VlO

??cos<>=-----=-產—尸=-------.

\a\\b\V2xV510

【小問2詳解】

由題設，3。=(一2,—1,2),由c//6C，即c=/lBC且幾€火，

Ac=(-2/L,-A,2A),則卜|=3"|=3,即2=±1,

2,—1,2)或(2,1,-2).

7

19.已知(l-2x)7=%+4]%+。2*2-1---F?7x,求：

(1)---的值；

(2)%+4+%+。6及4+%+%+%的值；

(3)各項二項式系數和.

【答案】(1)%+4]斗---F=-1；(2)%+a2+/+%=1093,<21+a3+a5+ci-j——1094；(3)128.

【解析】

【分析】令/'(X)=(l-2x)7=%+4X+/X2H----F%/,利用賦值法可得：

(1)%+q+???+%=/(l)；

/⑴+/⑴一〃一1)

(2)。0+%+%+。6=—''2'―L，〃]+々3+々5+。7=-'02'~~;

(3)各項二項式的系數和為少.

進而可得解.

【詳解】令=(l-2x)，=%+4%+〃2%2H-----

7

(1)4+qH----1-?7=/(1)=(1-2)=—1；

⑵由賦值法可得[〃1)=%+%+出+%+%+%+%+%=(1-2)7-

f(―1)=%—4+%—。3+〃4—〃5+〃6—%=(1+2)=2187

所以，4+/+4+4=〃1)；/(T)=T+；187-]093,

/(1)-/(-1)-1-2187

=-1094；

%+/+%+%F―T'

（3）該二項式展開式中各項系數和為27=128.

【點睛】本題考查利用賦值法求解各項系數和以及奇數項、偶數項的系數和、二項式系數和，考查計算

能力，屬于中等題.

20.某機構對某品牌機電產品進行了質量調查，下面是消費者關于質量投訴的數據：

擦傷凹痕外觀合計

保質期內18%13%32%63%

保質期后12%22%3%37%

合計30%35%35%10()%

（1）如果該品牌機電產品收到一個消費者投訴，那么投訴的原因不是凹痕的概率是多少？

（2）如果該品牌機電產品收到一個消費者投訴，旦投訴發生在保質期內，那么投訴的原因是產品外觀的

概率是多少？

（3）已知投訴發生在保質期后，投訴的原因是產品外觀的概率是多少？

（4）若事件A：投訴的原因是產品外觀，事件8：投訴發生在保質期內，則A和8是獨立事件嗎？

【答案】（1）—

（4）不是相互獨立事件.

【解析】

【分析】（1）根據條件概率公式直接計算；

（2）根據條件概率公式直接計算；

（3）根據條件概率公式直接計算；

（4）由獨立事件概率乘法公式直接判斷.

小問1詳解】

13

解：由已知得投訴的原因不是凹痕的概率為1-35%=65%=—；

20

【小問2詳解】

32

解：由已知得投訴發生在保質期內，投訴的原因是產品外觀的概率為32%+63%=一；

63

【小問3詳解】

3

解：投訴發生在保質期后，投訴的原因是產品外觀的概率為3%+37%=，；

37

【小問4詳解】

解：由已知得尸（A）=35%,P（B）=65%,P（4?）=32%，P（A