2022?2023學年高三年級模擬試卷

數學

(滿分：150分考試時間：120分鐘)

2023.1

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中只有一

個選項符合要求.

1.己知全集U={x|-2<x<3},集合4={x[-貝"°A=()

A.(-1,1]B.(-2,-1]U(1,3)

C.[-1,1)D.(-2,-1)U[1,3)

2.若復數z在復平面內對應的點在直線y=l上，且2=12,則z=()

A.1—iB.1+iC.-1+iD.—1—i

3.(5一1)6的二項展開式中的常數項是()

A.-20B.-15C.15D.20

4.經驗表明，樹高y與胸徑x具有線性關系，為了解回歸方程的擬合效果，利用下列數

據計算殘差，用來繪制殘差圖.

胸徑x/cm18.219.122.324.526.2

樹高的觀測值)，/m18.919.420.822.824.8

樹高的預測值jWm18.619.321.523.024.4

則殘差的最大值和最小值分別是（）

A.0.4,-1.8B.1.8,-0.4C.0.4,-0.7D.0.7,一0.4

5.為測量河對岸的直塔A8的高度，選取與塔底8在同一水平面內的兩個測量基點C,

D,測得/BCQ的大小為60°,點C,。的距離為200m,在點C處測得塔頂A的仰角為45°,

在點。處測得塔頂4的仰角為30。，則直塔AB的高為()

A.100mB.100^3m0.(200^3-200)mD.200m

6.已知圓心均在X軸上的兩圓外切，半徑分別為八，-2(為〈「2)，若兩圓的一條公切線的

方程為丫=乎(x+3),則：=()

45

A.B.2CWD.3

7.設G為△A8C的重心，則&+2GB+3GC=()

A.0B.ACC.BCD.AB

]ii3

8.設〃=而3，b=e,c=2\n5,則()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<a<c

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.在正方體中，AE=,A4”&=§CC\,則()

A.EF1.BD

B.EG〃平面48斤

C.EF_L平面BiCDi

D,直線EF與直線BOi異面

10.已知拋物線C：產=》的焦點為F,點M,N均在C上，若△FMN是以F為直角頂

點的等腰三角形，則MN=()

A.*2]B.^2—1

1

C.D.V2+1

11.已知等差數列｛斯｝中，當且僅當，?=7時，S”取得最大值.記數歹U｛卷｝的前k項和為

Tk,則下列結論正確的是()

A.若&=S8，則當且僅當k=13時，，取得最大值

B.若S6<S8，則當且僅當&=14時，。取得最大值

C.若S6>&，則當且僅當上=15時，/取得最大值

D.若力“6N*,S?,=0,則當％=13或14時，A取得最大值

12.將樣本空間。視為一個單位正方形，任一事件均可用其中的區域表示，事件發生的

概率為對應區域的面積.在如圖所示的單位正方形中，區域I表示事件A8,區域n表示事件

A~B,區域I和HI表示事件B,則區域IV的面積為()

III

IIIw

A.P(AB)

B.P(A+B)

c.PCAI-B)PCB)

D.PCA)P(~B)

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知sin(n—x)=；,xG(0,4),則tanx=.

14.已知橢圓C的左、右焦點分別為尸2,點P在橢圓C上，若△PF/2是以Q為頂

點的等腰三角形，且COSNBPF2=W，則C的離心率6=.

15.設過直線x=2上一點A作曲線y=r—3x的切線有且只有兩條，則滿足題設的一個

點A的縱坐標為._

16.已知球。的表面積為100兀cn?,p是球。內的定點，OP=y[]0cm,過P的動直

線交球面于A，B兩點,AB=4y[5cm,則球心。到AB的距離為cm；若點A,B

的軌跡分別為圓臺01。2的上、下底面的圓周，則圓臺OQ的體積為cm3.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演

算步驟.

17.(本小題滿分10分)

已知數列｛斯｝中，a\,。2，。3，…，。6成等差數列，。5，。6，。7，…成等比數列，02——

10,〃6=2.

(1)求數列｛“"｝的通項公式；

(2)記數列｛斯｝的前〃項和為S”，若a>0，求〃的最小值.

2

18.(本小題滿分12分)

己知四邊形ABC。內接于圓。，AB=3,AD=5,ZBAD=\20°,AC平分NB4D

(1)求圓O的半徑；

(2)求AC的長.

3

19.(本小題滿分12分)

如圖，已知菱形A8CD的邊長為2,N4BC=60。，E為AC的中點，將△AC。沿AC翻

折使點D至點D'.

(1)求證：平面BDE上平面4BC；

(2)若三棱錐。718c的體積為平，求二面角OABC的余弦值.

20.(本小題滿分12分)

甲、乙、丙三人進行乒乓球單打比賽，約定：隨機選擇兩人打第一局，獲勝者與第三人

進行下一局的比賽，先獲勝兩局者為優勝者，比賽結束.已知每局比賽均無平局，且甲贏乙

的概率為:，甲贏丙的概率為:，乙贏丙的概率為g.

(1)若甲、乙兩人打第一局，求丙成為優勝者的概率；

(2)求恰好打完2局結束比賽的概率.

4

21.（本小題滿分12分）

已知雙曲線C過點（3,小）,且C的漸近線方程為），=*第

（1）求C的方程；

（2）設A為C的右頂點，過點P（—2小，0）的直線與圓0：/+^=3交于點M，M直

線AM,AN與C的另一交點分別為。，E,求證：直線OE過定點.

5

22.(本小題滿分12分)

已知0＜。＜1,函數yU)=x+a[i,g(x)=x+1+\og(lx.

(1)若g(e)=e,求函數/U)的極小值；

(2)若函數y=7(x)—g(x)看在唯一的零點，求〃的取值范圍.

6

2022?2023學年高三年級模擬試卷（海安）

數學參考答案及評分標準

1.B2.D3.C4.C5.A6.B7.B8.D9.AB10.BD11.BD12.BC

13.坐14.115.2(答案不唯一，一6也正確)16.小65^10兀

17.解：（1）設等差數列。2,…，〃6的公差為d.

+d=-10,

因為。2=—10，熊=2,所以J,,一解得

lat+5d=2,

所以a"=-13+5—l)X3=3〃-16(lW〃W5,〃GN*).(3分)

設等比數列。5,恁，s，…的公比為q，則4=案=3=-2,

所以為=一(一2廣5(〃26,/GN*).

[3〃-16,

綜上，。尸_?-5”GN*.(5分)

⑵由⑴知，當"W5時，斯V0,要使S“>0,則心6,(6分)

5X42[]—(—2)W-51

此時S〃=(ai+a2H----F〃5)+(〃6H----F〃〃)=5X(-13)+--X3+1_(_0>.

乙1\L)

…2|1—(-2)

一35十\.(8分)

由&>0，得（一2）"一5〈一竽，

所以（〃一5）必為奇數，此時2"-5>竽，

所以n-5的最小值為1,所以n的最小值為12.（10分）

18.解：（1）設圓。的半徑為R.在△ABD中，由余弦定理8>=AB2+A￡）2—2A8AZ>COS

ZBAD,

得502=32+52-2x3x5X（一；）=49,所以8。=7.（3分）

在圓。的內接△ABQ中，由正弦定理，得27?=$山駕/）=目方，

故/?=￥，所以圓0的半徑為羋.（6分）

（2）因為四邊形ABC。內接于圓。，所以NBAQ+NBCO=180。.

又/54。=120。，故NBC￡）=60。.因為AC平分NBA。，所以NBAC=60。.（8分）

（解法1）因為AC平分/BAO,所以及7^~CD,所以8C=CD

又因為NBC￡>=60。，所以△BCD為正三角形，所以8c=80=7.（10分）

（解法2）在圓O的內接△ABC中，由正弦定理，得.與“=2R.

sinABAC

所以BC=2Rsin6（T=今后X坐=7.（10分）

在△ABC中，由余弦定理BC2=AB2+AC2-2ABACCOSABAC,

得72=32+AC2-2X3XACXCOS60。，即4c2-34C—40=0,解得4c=8或AC=-5,

因為AC>0,所以AC=8,所以AC的長為8.（12分）

19.（1）證明：由菱形ABCQ知，D'A=D'C,又E為AC的中點，所以。七L4C,

同理，可得8EL4c.（2分）

因為D'E,8Eu平面BD'E,D'EQBE=E,所以AC_L平面BD'E.

因為4Cu平面A8C,所以平面平面4BC.（4分）

（2）解：過點O作。77_LBE交BE于點H,由（1）知，平面平面48c.

7

又平面BDEC平面ABC=BE,OHu平面D'BE,所以Q77_L平面ABC.（6分）

因為三棱錐OABC的體積為平，所以士X坐X22XOH=平，解得。，”=平.（8

在RtaOEH中，D'E=yf3,所以Ef/二坐,于是BH=BE—EH=^.

（解法1）如圖，以E為坐標原點，EA,EB分別為x軸、y軸，過點E與平面ABC垂直的

直線為z軸建立空間直角坐標系，則A（l,0,0）,8（0,小,0）,0（0,半，半），所以嬴

=(-1,小，0),BD'=(0.-).

心A

設平面D'AB的法向量”=(x,y,z),則n-AB=0,n-BD'=0,即一x+小y=0,

z=0,令x=#,得、=巾，z=l,

所以”=（觀，A/2,l）.（10分）

又平面ABC的一個法向量m=（0,0,1）,

所以cos(n,m}—

也XI3

所以二面角0ABe的余弦值為].（12分）

（解法2）過點H作HFVAB交AB于點F,連接D'F.

因為。77,平面ABC,根據三垂線定理，得凡

所以NDFH是二面角。A8C的平面角.（10分）

在Rt/\BFH中，HF=BHsin30。=與.

在尸中，D'F=yjD'H2+HF2=小，

所以cos/。77/=券=；,所以二面角OA8C的余弦值為:.（12分）

20.解：（1）記“第i局甲勝、乙勝、丙勝”分別為事件A”Bi,Q,i=\,2,3,4,

記“丙成為優勝者”為事件。，則。=4C2c3+BC2C3,（2分）

所以「（￡＞）=P（4C2C3+5C2C3）=P（A?C2c3）+P（&C2c3）

=P（Ai）P（C2lAi）P（C3lAlC2）+P（Bl）P（C2IBl）P（C3[BiC2）（4分）

=gX（1-3）x（1-2）+（lT）X（1-2）X（1-3）^9+93，

所以丙成為優勝者的概率是3.（6分）

（2）記“甲、乙打第一局“為事件4,“甲、丙打第一局”為事件B,“乙、丙打第一局”

為事件C,“恰打完2局比賽結束”為事件E,其中A,B,C兩兩互斥，且和為樣本空間,

8

依題意，P(A)=P(B)=P(O=].

所以P(E|A)=P(A1A2+B1B2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2|A|)+P(B1)P(B2|B1)

」1,21=4

-3X3+3X2-9,

1121412122

同理可得，尸(E|B)=gX1+gX]=g,P(￡|Q=2X]+5Xg=g.(9分)

根據全概率公式知，P(E)=P(AE)+P(BE)+P(CE)^P(E\A)P(A)+P(E\B)P(B)+P(E\QP(C)

414

-X-+-

=X1+21=￡

9393十33-27，

所以恰好打完2局結束比賽的概率為1考4.（12分）

21.（1）解：當x=3時，代入y=*x,得>=小>啦，所以雙曲線C的焦點在x軸

上.（2分）

不妨設雙曲線C的方程為1-y2=A（2>0）,將點（3,y/2）代入，得4=1,

所以C的方程為與一戶1.（4分）

（2）證明：設yi）,MM，及），0a3，"），Eg，y4），由⑴知4（小，0）.（5分）

=

因為P,M,N三點共線，所以入x+2^3（不妨記為吩

則但+25加一3+2小加=0,即加丁2一12），1=2小。1一”）.（6分）

設直線AM的方程為0=尤3）（x-小）.

（工一小）,

由消去y并整理，得（2%彳一小X]—3）f+3小y\x+3（6+

小x\—6)=0.

3(汨-(即+2小)事(xi+2小)

則小X3，故冗3=.(8分)

(xi—小)(2%i+*\/3)2%1+小，”2汨+市

1=1??1TXH小（及+25）3y2

問理可得，X4-功+小，以=2起+小

~V3yiy[3y2

2x]+y[32及+小

所以直線DE的斜率

小5+2小)小(升+2小)

2xi+小2%2+小

2（%”—也了1）+小（/―11）

3小（X2~X\）

4小（）“一丁2）+小（竺一yi）

自=/0分）

3小(X2~xi)

所以直線OE的方程為y+舟=-g小黑浮],

小k（xi+2小）一Sy

即y=—kxA又因為yi=A（xi+2小）,所以y=-Ax

2x\+y[32xi+^3

所以直線QE過定點（0,0）.（12分）

22.解：⑴由g（e）=e,得e+l+1oga=e,即log?e=-1,所以分）

9

所以內:)=%+/一+則/(X)=l—eF令/(x)=0,得x=L(3分)

當xe(—8,])時，/(%)<(),故兀r)在(一8,1)上單調遞減；

當x￡(l,+8)時，/(x)>o,故/U)在(1,+8)上單調遞增，

所以函數於)的極小值為11)=2.(5分)

(2)記pa)=y(x)—8(功=|一|一log”-1,因為OVaVl,所以InaVO,

e.11xcf?In%—1

則p'(x)=?rIna—~.=;.

八'xlnaxlna

記^(jr)=xaxlln2a—1,則q'(x)=(ax~1+xax~1Ina)ln2a=(l+xIna)avlln2a.

1_i

令/(x)=0,得工=一方^，記其為《>0)，此時a=e~y.

當x￡(0,f)時,如)>0,故-x)在(0,。上單調遞增;

當+8)時，/(x)V0,故虱0在(3+8)上單調遞減，

I111

所以我幻在處取得極大值式/)=*匕一；)門(-7)2—1=7e7-1—1.(7分)

不難發現函數y=1e；「一1在，￡(0,+8)上單調遞減，且正數零點為1.

當f'l,即:時，有虱f)W0,故“(x)》0,所以p(x)單調遞增.

又p(l)=0,所以函數p(x)有唯一的零點，所以/