數理統計中常用的分布除正態分布外，還有三個非常有用的連續型分布，即

2分布t

分布F分布數理統計的三大分布(都是連續型).它們都與正態分布有密切的聯系.！在本章中特別要求掌握對正態分布、

2分布、t分布、F分布的一些結論的熟練運用.它們是后面各章的基礎.第四節三大抽樣分布及常用統計量的分布三大抽樣分布及常用統計量的分布（卡方）——分布定義1:設總體，是的一個樣本,則統計量的概率密度函數為則稱統計量服從自由度為n的分布，記作三大抽樣分布及常用統計量的分布01357911131517x0.50.40.30.20.1n=1n=4n=10圖5-4f(y)其圖形隨自由度的不同而有所改變.分布密度函數的圖形注：自由度是指獨立隨機變量的個數，三大抽樣分布及常用統計量的分布性質1：2分布的數學期望與方差設

2～

2(n)，則E(

2)=n，D(

2)=2n.性質2：2分布的可加性設且相互獨立，則三大抽樣分布及常用統計量的分布三大抽樣分布及常用統計量的分布定理1設(X1，X2，…，Xn)為取自正態總體X～N(

，

2)的樣本，則證明由已知，有Xi～N(

，

2)且X1，X2，…，Xn相互獨立，則且各相互獨立，由定義1:得三大抽樣分布及常用統計量的分布

定理3:

設(X1，X2，…，Xn)為來自正態總體

X～N(

，

2)的樣本，則(1)樣本均值與樣本方差S

2相互獨立；(2)(4.1)(4.1)式的自由度為什么是n-1？從表面上看，是n個正態隨機變量的平方和，但實際上它們不是獨立的，它們之間有一種線性約束關系：=0這表明，當這個n個正態隨機變量中有n-1個取值給定時，剩下的一個的取值就跟著唯一確定了，故在這n項平方和中只有n-1項是獨立的.所以(4.1)式的自由度是n-1.三大抽樣分布及常用統計量的分布

定理3：設(X1，X2，…，Xn)為來自正態總體

X～N(

，

2)的樣本，則(1)樣本均值與樣本方差S

2相互獨立；(2)(4.1)與以下補充性質的結論比較：

性質設(X1，X2，…，Xn)為取自正態總體X～N(

，

2)的樣本，則三大抽樣分布及常用統計量的分布其幾何意義見圖5-5所示.其中f(x)是

2-分布的概率密度.f(x)xO圖5-5顯然，在自由度n取定以后，的值只與有關.2分布的上側分位點三大抽樣分布及常用統計量的分布例如，當n=21，=0.05時，由附表3(P254)可查得，32.67即三大抽樣分布及常用統計量的分布二、t分布定義3

設隨機變量X～N(0，1)，Y～

2(n)

，且X與Y相互獨立，則稱統計量服從自由度為n的t分布，記作t分布的概率密度函數為T

～t(n).其圖形如圖5-6所示(P106)，

其形狀類似標準正態分布的概率密度的圖形.當n較大時，t分布近似于標準正態分布.三大抽樣分布及常用統計量的分布定理4設(X1，X2，…，Xn)為來自正態總體

X～N(

，

2)的樣本，則統計量證由于與S

2相互獨立，且由定義3得三大抽樣分布及常用統計量的分布定理5

設(X1，X2，…，Xn1)和(Y1，Y2，…，Yn2)

分別是來自正態總體N(1

，2)和N(2

，2)的樣本，且它們相互獨立，則統計量其中、分別為兩總體的樣本方差.三大抽樣分布及常用統計量的分布三大抽樣分布及常用統計量的分布t分布的上側分位點對于給定的

(0<

<1)，稱滿足條件的點t(n)為t分布的上分位點。其幾何意義見圖5-7.f(t)tOt(n)圖5-7三大抽樣分布及常用統計量的分布t分布的雙側分位點由于t分布的對稱性，稱滿足條件的數t/2(n)為t分布的雙側分位點。其幾何意義如圖5-8所示.f(t)tOt/2(n)

/2

/2-t/2(n)圖5-8三大抽樣分布及常用統計量的分布在附表4(P256)中給出了t分布的臨界值表.例如，當n=15，=0.05時，查t分布表得，t0.05(15)=t0.05/2(15)=1.7532.131其中t0.05/2(15)由P{t(15)≥t0.025(15)}=0.025查得.

但當n>45時，如無詳細表格可查，可以用標準正態分布代替t分布查t(n)的值.即t(n)≈u，n>45.

一般的t分布臨界值表中，詳列至n=30，當n>30就用標準正態分布N(0,1)來近似.三大抽樣分布及常用統計量的分布三、F分布服從第一自由度為n1，第二自由度為n2的F分布，定義5.5

設隨機變量X～

2(n1)、Y～

2(n2)，且與相互獨立，則稱隨機變量記作F～F(n1，n2).概率密度函數其中其圖形見圖5-9.(P108)

三大抽樣分布及常用統計量的分布性質：若X～F(n1，n2)，則～F(n2，n1).F

分布的上側分位點對于給定的

(0<

<1)，稱滿足條件的數F(n1，n2)為F分布的上側分位點。其幾何意義如圖5-7所示.f(y)xO圖5-7F(n1,n2)其中f(y)是F分布的概率密度.三大抽樣分布及常用統計量的分布F分布的上側分位點F(n1,n2)的值可由F

分布表查得.

附表5、6、7(P258～P266)分

=0.1、

=0.05、

=0.01給出了F分布的上分位數.當時n1=2,n2=18時，有F0.01(2,18)=6.01

在附表5、6、7中所列的值都比較小，當較大時，可用下面公式查表時應先找到相應的值的表.例如，≈0.166三大抽樣分布及常用統計量的分布定理5.4

為正態總體的樣本容量和樣本方差；

設為正態總體的樣本容量和樣本方差；且兩個樣本相互獨立，則統計量證明由已知條件知且相互獨立，由F分布的定義有三大抽樣分布及常用統計量的分布小結幾種常用分布的定義三大抽樣分布及常用統計量的分布正態總體樣本均值的分布

設總體，是的一個樣本,則樣本均值服從正態分布U—分布三大抽樣分布及常用統計量的分布——分布

定義設總體，是的一個樣本,則稱統計量服從自由度為n的分布，記作自由度是指獨立隨機變量的個數，n個相互獨立的標準正態分布之平方和服從自由度為n的分布三大抽樣分布及常用統計量的分布t—分布定義5.4

設隨機變量X～N(0，1)，Y～

2(n)

，且X與Y相互獨立，則稱統計量服從自由度為n的t分布或學生氏分布，記作T

～t(n).t-分布的密度函數的圖形相似于標準正態分布的密度函數.當n較大時，t分布近似于標準正態分布.三大抽樣分布及常用統計量的分布F分布服從第一自由度為n1，第二自由度為n2的F分布，定義5.5

設隨機變量X～

2(n1)、Y～

2(n2)，且與相互獨立，則稱隨機變量記作F～F(n1，n2).三大抽樣分布及常用統計量的分布

例1

設總體X～N(0,1)，X1，X2，…，Xn為簡單隨機樣本，試問下列統計量各服從什么分布？解(1)因為Xi～N(0,1)，i=1,2,…,n.所以X1-X2～N(0,2)，故～t(2).三大抽樣分布及常用統計量的分布

例1

設總體X～N(0,1)，X1，X2，…，Xn為簡單隨機樣本，試問下列統計量各服從什么分布？續解(2)因為X1～N(0,1)，故～t(n-1).三大抽樣分布及常用統計量的分布

例1

設總體X～N(0,1)，X1，X2，…，Xn為簡單隨機樣本，試問下列統計量各服從什么分布？續解(3)因為所以～F(3，n-3).三大抽樣分布及常用統計量的分布例2

若T～t(n)，問T2服從什么分布？解因為T～t(n)，可以認為其中U～N(0,1)，V～2(n)，U2～2(1)，～F(1,n).三大抽樣分布及常用統計量的分布例3