第09講函數比較大小問題1.五種冪函數的圖象和性質(1)冪函數的圖象.(2)五種冪函數的性質函數y=xy=x2y=x3y=x-1定義域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性單調遞增x∈[0,+∞)時,單調遞增,x∈(-∞,0)時,單調遞減單調遞增單調遞增x∈(0,+∞)時,單調遞減,x∈(-∞,0)時,單調遞減定點(1,1),(0,0)(1,1)2.指數函數的單調性(1)當時，在上單調遞減；(2)當時，在上單調遞增；3.指數函數的單調性(1)當時，在上單調遞減；(2)當時，在上單調遞增；4.常用方法(1)作差法(2)臨界值法，常見臨界值為0，1，不常見有，等考點一利用冪函數性質比較大小考點二指數式，冪式大小比較考點三比較對數，指數，冪的大小問題考點一：利用冪函數性質比較大小例1．已知冪函數，對任意的且，滿足，若，，，則的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．無法判斷【答案】B【分析】根據冪函數的定義和性質即可求解.【詳解】∵已知函數是冪函數，∴，∴，或，，或.對任意的且，滿足，故是增函數，∴.若，，，即，∴，即，即.則，故選：B.對點訓練．（2023·河北·高三學業考試）已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據冪函數的單調性確定函數值大小，即可得a，b，c的大小關系.【詳解】由于冪函數在上單調遞增，又，，，，所以，則.故選：D.考點二：指數式，冪式大小比較例2．（2023·全國·高三專題練習）設，，，則（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】將三個指數冪化成同底指數冪，利用指數函數的單調性即可得解.【詳解】因為，，，又函數在上單調遞增，，所以所以，故選：C對點訓練．設，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用指數函數和冪函數的單調性進行比較即可.【詳解】解：，因為函數是增函數，所以，即.又，所以.故選：C考點三：比較對數，指數，冪的大小問題例3．（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學校考一模）已知，，，則，，的大小關系為（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】根據指數函數和對數函數的單調性，即可比較大小.【詳解】解：由于是減函數且，而，所以，又因為是減函數，而，，綜上，，故選：A.例4．（2023·陜西咸陽·校考模擬預測）設，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指對數的性質與中間數比大小即可.【詳解】，所以.故選：D.對點訓練．已知，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】通過和中間數比大小即可.【詳解】；；；所以故選：D一、單選題1．已知正實數，，滿足，則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據指數式與對數式互化公式，結合構造新函數，利用新函數的單調性進行求解即可.【詳解】設，則，，，令.則在上為減函數，∴，故，故選：A2．（2023·高三課時練習）給出下列命題：①若a＞b，則；②若，則；③若a＞b，則；④若，則.其中，正確的命題是（

）.A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】B【分析】①④可舉出反例，②可通過不等式的基本性質得到；③可利用冪函數的單調性得到.【詳解】若，此時，①錯誤；若，則，故，兩邊平方可得：，②正確；因為在R上單調遞增，故若，則，③正確；若，不妨設，不滿足，④錯誤.故選：B3．圖中，，分別為冪函數，，在第一象限內的圖象，則，，依次可以是（

）A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3【答案】D【分析】根據冪函數的圖象，結合冪函數的性質判斷參數的大小關系，即可得答案.【詳解】由題圖知：，，，所以，，依次可以是，，3．故選：D4．已知是上的增函數，、、、則、、的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用冪函數和指數函數的性質比較大小，再由單調性比較a、b、c大小.【詳解】因為函數在上單調遞增，所以，因為在R上單調遞減，所以，所以，是上的增函數，故故選：A5．（2023·江蘇宿遷·江蘇省沭陽高級中學校考模擬預測）若，，且滿足，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據指數函數的單調性判斷即可.【詳解】由，可得.因為函數在上單調遞減，所以.因為函數在上單調遞減，所以.因為函數在上單調遞減，所以.綜上，.故選：C6．（2023·全國·高三專題練習）設，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】（1）利用冪函數單調性即可判斷A，利用正切函數單調性即可判斷B，舉例，即可判斷C，利用對勾函數和二次函數性質即可判斷D.【詳解】根據冪函數在上為單調增函數，故時，，故A錯誤，根據三角函數在上為單調增函數，故時，故，故B錯誤，，即，，但與的大小關系不明，如，，顯然此時，故C錯誤，根據對勾函數的圖像與性質當時，可知，而，根據二次函數圖像與性質可知其值域，當時，，當時，，故當時，則，故，故D正確.故選：D.7．（2023·全國·高三專題練習）若，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據指數函數和冪函數的單調性，將a，b，c與中間值0，1進行比較，即可得出.【詳解】解：在R上是減函數，，在上是增函數，在R上是減函數，，則，即，又在R上是增函數，，即，綜上所述，可知，故選：B.8．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據指數函數的單調性結合中間量法即可得解.【詳解】解：因為，，，又因為在R上是增函數，所以，所以.故選：B.9．（2023·江蘇·二模）設，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用對數函數的單調性和指數以及對數的運算，并借助中間量進行比較，即得答案．【詳解】，，所以，由于，所以，即，而，所以，故選：D．10．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據指數函數與對數函數的單調性比大小.【詳解】，即，，即，，即，所以，故選：D.11．下列選項中兩數大小關系錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據冪函數的單調性可判斷A；根據指數函數的單調性可判斷B；根據對數函數的單調性可判斷C；根據誘導公式及正切函數的單調性可判斷D.【詳解】對于A，因為函數在上單調遞增，且，所以，故A正確；對于B，因為函數在上單調遞增，且，所以，故B正確；對于C，因為函數在上單調遞減，且，所以，故C錯誤；對于D，，因為在上單調遞增，且，所以，所以，所以，故D正確.故選:C.12．（江西省部分學校2023屆高三下學期聯考數學（理）試題（一））已知，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別利用指數和對數函數的單調性，求出的范圍即可比較大小得出正確選項.【詳解】，因為，所以，因為，所以，又，所以，故，故選：D.13．（2023·四川成都·石室中學校考模擬預測）設，，，則下列關系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據對數函數的圖象與性質得，通過比值法結合基本不等式和放縮的技巧即可得，則，最后再利用對數函數單調性得，最終得到答案.【詳解】因為，，所以，所以，所以，所以.故選：A.14．（2023·貴州銅仁·統考二模）若，，，則，，的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式及合理放縮，結合對數運算性質即可得到答案.【詳解】運用基本不等式，以及放縮技巧，得，，故選：D.15．（2023·北京·北京四中校考模擬預測）已知，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由換底公式結合對數函數的單調性得出，繼而由冪函數、指數函數、對數函數的單調性作出判斷即可.【詳解】，.因為，且，所以，即.由冪函數的性質可知，，故A錯誤；由指數函數的性質可知，，故B正確；因為，，所以，故C錯誤；由對數函數的性質可知，，故D錯誤；故選：B二、填空題16．設，則與的大小為______.【答案】【分析】由冪函數的單調性判斷，【詳解】冪函數在上單調遞增，而，則，故答案為：17．令，，，則三個數的大小順序是_______．（用“”連接）【答案】【分析】根據指數函數和對數函數單調性，結合臨界值即可確定大小關系.【詳解】，.故答案為：.18．設，，，則a，