專題24任意角和弧度制及三角函數的概念知識梳理考綱要求考點預測常用結論方法技巧題型歸類題型一：象限角及終邊相同的角題型二：弧度制及其應用題型三：三角函數的定義題型四：三角函數值符號的判定培優訓練訓練一：訓練二：訓練三：訓練四：訓練五：訓練六：強化測試單選題：共8題多選題：共4題填空題：共4題解答題：共6題一、【知識梳理】【考綱要求】1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能進行弧度與角度的互化.3.理解任意角三角函數(正弦、余弦、正切)的定義.【考點預測】1．角的概念(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形．(2)分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉方向不同分為正角、負角、,零角.,按終邊位置不同分為象限角,和軸線角.))(3)相反角：我們把射線OA繞端點O按不同方向旋轉相同的量所成的兩個角叫做互為相反角．角α的相反角記為－α.(4)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號rad表示．(2)公式角α的弧度數公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長用l表示)角度與弧度的換算1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長公式弧長l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.任意角的三角函數(1)設α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P(x，y)，則sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)任意角的三角函數的定義(推廣)：設P(x，y)是角α終邊上異于原點的任意一點，其到原點O的距離為r，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(3)三角函數值在各象限內的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如圖．【常用結論】1.三角函數值在各象限的符號規律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.角度制與弧度制可利用180°＝πrad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制必須一致，不可混用.3.象限角4.軸線角【方法技巧】1.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數k(k∈Z)賦值來求得所需的角．2.確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的方法先寫出kα或eq\f(α,k)的范圍，然后根據k的可能取值確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在位置．3.應用弧度制解決問題的方法(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數的最值問題．(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．4.利用三角函數的定義，已知角α終邊上一點P的坐標可求α的三角函數值；已知角α的三角函數值，也可以求出角α終邊的位置．5.判斷三角函數值的符號，關鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結合三角函數值在各象限的符號確定所求三角函數值的符號，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標軸上的情況．二、【題型歸類】【題型一】象限角及終邊相同的角【典例1】(多選)下列與角eq\f(2π,3)的終邊相同的角是()A．eq\f(14π,3) B．2kπ－eq\f(2π,3)(k∈Z)C．2kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z) D．(2k＋1)π＋eq\f(2π,3)(k∈Z)【典例2】集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范圍(陰影部分)是()【典例3】若角α是第二象限角，則eq\f(α,2)是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角【題型二】弧度制及其應用【典例1】(多選)已知扇形的周長是6cm，面積是2cm2，則下列選項正確的有()A．扇形的半徑為2 B．扇形的半徑為1C．圓心角的弧度數是1 D．圓心角的弧度數是2【典例2】一扇形是從一個圓中剪下的一部分，半徑等于圓半徑的eq\f(2,3)，面積等于圓面積的eq\f(5,27)，則扇形的弧長與圓周長之比為________．【典例3】已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長l；(2)若扇形的周長為20cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？【題型三】三角函數的定義【典例1】已知角α的終邊上一點P(－eq\r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2)m,4)，則cosα＝________，tanα＝________.【典例2】已知角α的終邊過點P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m的值為()A.－eq\f(1,2) B.－eq\f(\r(3),2) C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)【典例3】若點P(cosθ，sinθ)與點Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))))關于y軸對稱，寫出一個符合題意的θ＝________.【題型四】三角函數值符號的判定【典例1】若sinθ·cosθ<0，eq\f(tanθ,sinθ)>0，則角θ是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【典例2】點P從(1，0)出發，沿單位圓逆時針方向運動eq\f(2π,3)弧長到達Q點，則Q點的坐標為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))【典例3】若角α的終邊落在直線y＝－x上，則eq\f(sinα,|cosα|)＋eq\f(|sinα|,cosα)＝________．三、【培優訓練】【訓練一】如圖，在平面直角坐標系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0，1)，此時圓上一點P的位置在(0，0)，圓在x軸上沿正向滾動.當圓滾動到圓心位于(2，1)時，eq\o(OP,\s\up6(→))的坐標為________.【訓練二】在一塊頂角為120°、腰長為2的等腰三角形厚鋼板廢料OAB中，用電焊切割成扇形，現有如圖所示兩種方案，既要充分利用廢料，又要切割時間最短，問哪一種方案最優？【訓練三】若角α的終邊落在直線y＝eq\r(3)x上，角β的終邊與單位圓交于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))，且sinα·cosβ<0，則cosα·sinβ＝________.【訓練四】《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)，弧田由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧對弦長，“矢”指半徑長與圓心到弦的距離之差．現有圓心角為eq\f(2π,3)，半徑長為4的弧田(如圖所示)，按照上述公式計算出弧田的面積為________．【訓練五】在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱．若sinα＝eq\f(1,3)，則cos(α－β)＝()A．－1 B．－eq\f(7,9)C．eq\f(4\r(2),9) D．eq\f(7,9)【訓練六】已知圓O與直線l相切于點A，點P，Q同時從A點出發，P沿著直線l向右運動，Q沿著圓周按逆時針方向以相同的速度運動，當Q運動到點A時，點P也停止運動，連接OQ，OP(如圖)，則陰影部分面積S1，S2的大小關系是________．四、【強化測試】【單選題】1.下列與角eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達式中正確的是()kπ＋45°(k∈Z)B.k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C.k·360°－315°(k∈Z)D.kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)2.給出下列四個命題：①－eq\f(3π,4)是第二象限角；②eq\f(4π,3)是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正確命題的個數為()A.1 3.已知點P(sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的終邊上，且θ∈[－2π，0)，則角θ的大小為()A.－eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3) C.－eq\f(2π,3) D.－eq\f(4π,3)4.若角α的終邊在直線y＝－x上，則角α的取值集合為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝k·2π－\f(π,4)，k∈Z))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝k·2π＋\f(3π,4)，k∈Z))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝k·π－\f(3π,4)，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝k·π－\f(π,4)，k∈Z))))5.已知點P(tanα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限6.若扇形的面積為eq\f(3π,8)、半徑為1，則扇形的圓心角為()A.eq\f(3π,2)B.eq\f(3π,4)C.eq\f(3π,8)D.eq\f(3π,16)7.在平面直角坐標系中，，，，是圓x2＋y2＝1上的四段弧(如圖)，點P在其中一段上，角α以Ox為始邊，OP為終邊，若tanα<cosα<sinα，則P所在的圓弧是()A.B.C.D.8.在直角坐標系xOy中，角α的始邊為x軸的非負半軸，頂點為坐標原點O，已知角α的終邊l與單位圓交于點A，m)，將l繞原點逆時針旋轉eq\f(π,2)與單位圓交于點B(x，y)，若tanα＝－eq\f(4,3)，則x＝()A.0.6 B.0.8 C.－0.6 D.－【多選題】9.下列說法正確的有()A．經過30分鐘，鐘表的分針轉過π弧度B．1°＝eq\f(180,π)radC．若sinθ>0，cosθ<0，則θ為第二象限角D．若θ為第二象限角，則eq\f(θ,2)為第一或第三象限角10.角α的終邊在第一象限，則eq\f(sin\f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2))))＋eq\f(cos\f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2))))＋eq\f(tan\f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(tan\f(α,2))))的值為()A．－1B．1C．－3D．311.在平面直角坐標系xOy中，角α的頂點在原點O，以x正半軸為始邊，終邊經過點P(1，m)(m<0)，則下列各式的值恒大于0的是()A.eq\f(sinα,tanα) B．cosα－sinαC．sinαcosα D．sinα＋cosα12.已知角α的終邊過點P(－4m，3m)(m≠0)，則2sinα＋cosα的值可能是()A．1 B．eq\f(2,5)C．－eq\f(2,5) D．－1【填空題】13.若角α的終邊經過點P(3m，－4m)(m<0)，則sinα＋cosα＝________.14.已知扇形的圓心角為120°，弧長為2π，則扇形面積為________．15.函數y＝eq\r(2sinx－1)的定義域為________．16.已知點P(sinθ，cosθ)是角α終邊上的一點，其中θ＝eq\f(2π,3)，則與角α終邊相同的最小正角為________．【解答題】17.已知eq\f(1,|sinα|)＝－eq\f(1,sinα)，且lg(cosα)有意義．(1)試判斷