第02講二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)【知識梳理】一．二次函數(shù)的圖象（1）二次函數(shù)y＝ax2（a≠0）的圖象的畫法：①列表：先取原點（0，0），然后以原點為中心對稱地選取x值，求出函數(shù)值，列表．②描點：在平面直角坐標系中描出表中的各點．③連線：用平滑的曲線按順序連接各點．④在畫拋物線時，取的點越密集，描出的圖象就越精確，但取點多計算量就大，故一般在頂點的兩側(cè)各取三四個點即可．連線成圖象時，要按自變量從小到大（或從大到小）的順序用平滑的曲線連接起來．畫拋物線y＝ax2（a≠0）的圖象時，還可以根據(jù)它的對稱性，先用描點法描出拋物線的一側(cè)，再利用對稱性畫另一側(cè)．（2）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象看作由二次函數(shù)y＝ax2的圖象向右或向左平移||個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．二．二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減小；x＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．②當a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減小；x＝﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．三．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（1）二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；②頂點式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標；③交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．【考點剖析】一．二次函數(shù)的圖象（共9小題）1．（2022秋?安徽期中）函數(shù)y＝ax+1與y＝ax2+bx+1（a≠0）的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】分別討論a＞0與a＜0兩種情況時一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象的草圖，進而求解．【解答】解：當a＞0時，直線y＝ax+1從左至右上升，拋物線y＝ax2+bx+1開口向上，選項A正確，選項B，D錯誤．當a＜0時，直線y＝ax+1從左至右下降，拋物線y＝ax2+bx+1開口向下，選項C錯誤．故選：A．【點評】本題考查函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．2．（2022秋?懷遠縣期中）如圖所示的拋物線是二次函數(shù)y＝（m﹣2）x2﹣3x+m2+m﹣6的圖象，那么m的值是﹣3．【分析】由圖可知，二次函數(shù)圖象經(jīng)過坐標原點，然后代入函數(shù)解析式進行計算即可求出m的值，再根據(jù)拋物線開口向下求出m的取值范圍，從而得解．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝（m﹣2）x2﹣3x+m2+m﹣6經(jīng)過（0，0），∴m2+m﹣6＝0，解得m1＝2，m2＝﹣3，∵拋物線開口向下，∴m﹣2＜0，解得m＜2，∴m＝﹣3．故答案為：﹣3．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象，觀察圖形得到拋物線經(jīng)過坐標原點是解題的關(guān)鍵，要注意根據(jù)拋物線的開口方向確定出m的取值范圍，這也是本題容易出錯的地方．3．（2022秋?大觀區(qū)校級月考）已知函數(shù)y＝|x2﹣4|的大致圖象如圖所示，那么：方程|x2﹣4|＝m．（m為實數(shù)）①若該方程恰有3個不相等的實數(shù)根，則m的值是m＝4．②若該方程恰有2個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是m＝0或m＞4．【分析】方程|x2﹣4|＝m（m為實數(shù)）有3個，2個不相等的實數(shù)根，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝|x2﹣4|的圖象與直線y＝m的圖象有3個，2個交點，由此即可解決問題．【解答】解：①方程|x2﹣4|＝m（m為實數(shù)）有3個不相等的實數(shù)根，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝|x2﹣4|的圖象與直線y＝m的圖象有3個交點，因為函數(shù)y＝|x2﹣4|與y軸交點（0，4），觀察圖象可知，兩個函數(shù)圖象有3個交點時，m＝4．故答案為：m＝4．②方程|x2﹣4|＝m（m為實數(shù)）有2個不相等的實數(shù)根，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝|x2﹣4|的圖象與直線y＝m的圖象有2個交點，因為函數(shù)y＝|x2﹣4|與y軸交點（0，4），觀察圖象可知，兩個函數(shù)圖象有2個交點時，m＞4或m＝0．故答案為：m＞4或m＝0．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象、根的判別式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．4．（2022秋?潁上縣期中）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象，則函數(shù)y＝a（x﹣b）2+c的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】先根據(jù)y＝ax2+bx+c的圖象得到a、b、c的正負情況，然后即可得到函數(shù)y＝a（x﹣b）2+c的圖象的開口方向，頂點坐標解頂點坐標所在的位置，從而可以判斷哪個選項中圖象符合題意．【解答】解：由y＝ax2+bx+c的圖象可得，a＜0，b＞0，c＞0，∵函數(shù)y＝a（x﹣b）2+c，∴該函數(shù)的圖象開口向下，頂點坐標為（b，c），且該函數(shù)圖象的頂點在第一象限，故選：B．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出a、b、c的正負情況，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．5．（2022秋?蚌山區(qū)月考）對于二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+2的圖象，下列說法正確的是（）A．開口向下 B．對稱軸是直線x＝﹣1 C．頂點坐標是（﹣1，2） D．當x＜1時，y隨x的增大而減小【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以判斷各個選項中的說法是否正確．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+2，∴該函數(shù)的圖象開口向上，故選項A的說法錯誤，對稱軸是直線x＝1，故選項B中的說法錯誤；頂點坐標為（1，2），故選項C中的說法錯誤；當x＜1時，y隨x的增大而減小，故選項D中的說法正確；故選：D．【點評】本題考查拋物線的開口方向，對稱軸，頂點坐標，增減性，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．6．（2022?包河區(qū)三模）已知二次函數(shù)y＝ax2+（b﹣1）x+c+1的圖象如圖所示，則在同一坐標系中y1＝ax2+bx+1與y2＝x﹣c的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】由已知二次函數(shù)y＝ax2+（b﹣1）x+c+1的圖象與x軸的交點的橫坐標在0﹣1和1﹣2之間，就可以確定二次函數(shù)y＝ax2+bx+1與直線y＝x﹣c的交點的橫坐標在0﹣1和1﹣2之間．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2+（b﹣1）x+c+1的圖象與x軸的交點的橫坐標在0﹣1和1﹣2之間，∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+1與直線y＝x﹣c的交點的橫坐標在0﹣1和1﹣2之間，∴在同一坐標系中y1＝ax2+bx+1與y2＝x﹣c的圖象可能是A，故選：A．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)及一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵．7．（2022秋?利辛縣校級月考）如圖，點E、F、G、H分別是正方形ABCD邊AB、BC、CD、DA上的點，且AE＝BF＝CG＝DH．設(shè)A、E兩點間的距離為x，四邊形EFGH的面積為y，則y與x的函數(shù)圖象可能為（）A． B． C． D．【分析】本題需先設(shè)正方形的邊長為m，然后得出y與x、m是二次函數(shù)關(guān)系，從而得出函數(shù)的圖象．【解答】解：設(shè)正方形的邊長為m，則m＞0，∵AE＝x，∴DH＝x，∴AH＝m﹣x，∵EH2＝AE2+AH2，∴y＝x2+（m﹣x）2，y＝x2+x2﹣2mx+m2，y＝2x2﹣2mx+m2，＝2[（x﹣m）2+]，＝2（x﹣m）2+m2，∴y與x的函數(shù)圖象是A．故選：A．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2021秋?金安區(qū)期末）已知等腰直角△ABC的斜邊AB＝4，正方形DEFG的邊長為，把△ABC和正方形DEFG如圖放置，點B與點E重合，邊AB與EF在同一條直線上，將△ABC沿AB方向以每秒個單位的速度勻速平行移動，當點A與點E重合時停止移動．在移動過程中，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積S與移動時間t（s）的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．【分析】分別清楚0＜t≤1，1＜t≤2，2＜t≤3，3＜t≤4的函數(shù)關(guān)系式即可判斷．【解答】解：①當0＜t≤1時，S＝＝t2，函數(shù)為開口方向向上的拋物線；②當1＜t≤2時，如圖2，設(shè)BC交FG于H，則FH＝BF＝，則GH＝﹣BF＝，S＝S正方形DEFG﹣S△HMG＝﹣＝﹣t2+4t﹣2，函數(shù)為開口方向向下的拋物線；③當2＜t≤3時，S＝2；④當3＜t≤4時，同理可得S＝＝﹣t2+6t﹣7，函數(shù)為開口方向向下的拋物線；故只有選項C符合題意．故選：C．【點評】此題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)題意得出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵．9．（2022秋?杜集區(qū)校級月考）已知二次函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣4．（1）在給定的直角坐標系中，畫出這個函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)圖象，直接寫出當y＜0時x的取值范圍．【分析】（1）利用列表，描點，連線作出圖形即可；（2）寫出函數(shù)圖象在x軸下方的部分的x的取值范圍即可．【解答】解：（1）列表：x…01234…y…0﹣3﹣4﹣30…描點、連線如圖；（2）由圖象可知：當y＜0時x的取值范圍是0＜x＜4．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象，注意：二次函數(shù)的解析式的三種形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）；（2）頂點式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交點式（與x軸）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．二．二次函數(shù)的性質(zhì)（共17小題）10．（2022秋?田家庵區(qū)校級月考）拋物線y＝2（x+9）2﹣3的頂點坐標是（）A．（9，3） B．（9，﹣3） C．（﹣9，3） D．（﹣9，﹣3）【分析】由拋物線解析式可得拋物線頂點坐標．【解答】解：∵y＝2（x+9）2﹣3，∴拋物線頂點坐標為（﹣9，﹣3），故選：D．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的頂點式．11．（2022秋?淮南月考）拋物線y＝x2﹣6x+9的頂點坐標是（）A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（﹣3，9） D．（3，9）【分析】先將拋物線解析式化為頂點式，即可得到該拋物線的頂點坐標．【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，∴該拋物線的頂點坐標為（3，0），故選：A．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是可以將拋物線解析式化為頂點式．12．（2022秋?廬陽區(qū)校級期中）拋物線y＝（x+1）2﹣1的對稱軸是（）A．直線x＝0 B．直線x＝1 C．直線x＝﹣1 D．直線y＝1【分析】根據(jù)拋物線的頂點式，可以寫出該拋物線的對稱軸，本題得以解決．【解答】解：∵拋物線的解析式為y＝（x+1）2﹣1，∴該拋物線的對稱軸是直線x＝﹣1，故選：C．【點評】本題考查將二次函數(shù)的性質(zhì)，解析式化為頂點式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k，頂點坐標是（h，k），對稱軸是直線x＝h．13．（2022秋?蕪湖期中）在同一平面直角坐標系中作出y＝2x2，y＝﹣2x2，的圖象，它們的共同點是（）A．關(guān)于y軸對稱，拋物線的開口向上 B．關(guān)于y軸對稱，拋物線的開口向下 C．關(guān)于y軸對稱，拋物線的頂點都是原點 D．當x＞0時，y隨x的增大而減小【分析】根據(jù)解析式中的a值判斷拋物線的開口方向，再由解析式求出頂點坐標和對稱軸．【解答】解：∵在函數(shù)y＝2x2，y＝﹣2x2，中，a取值范圍分別為：a＞0，a＜0，a＞0，∴拋物線的開口方向分別為：向上，向下，向上，由函數(shù)y＝2x2，y＝﹣2x2，的解析式可知，頂點坐標都為（0，0），∴它們的共同點是關(guān)于y軸對稱，拋物線的頂點都是原點．故選：C．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握y＝ax2的圖象關(guān)于y軸對稱，頂點為原點是解題關(guān)鍵．14．（2022秋?淮南月考）定義符合min{a，b}的含義為：當a＞b時，min{a，b}＝b；當a＜b，min{a，b}＝a，如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．則min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（）A．0 B．1 C． D．【分析】先求出兩個函數(shù)的交點坐標，再根據(jù)min的定義解答即可．【解答】解：聯(lián)立，解得，，所以，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，讀懂題目信息，理解定義符號的意義并考慮求兩個函數(shù)的交點是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋?蚌埠期中）下列拋物線中，與拋物線y＝x2﹣2x+4具有相同對稱軸的是（）A．y＝4x2+2x+1 B．y＝x2﹣4x C．y＝2x2﹣x+4 D．y＝﹣2x2+4x【分析】根據(jù)題目中的拋物線，可以求得它的對稱軸，然后再求出各個選項中的二次函數(shù)的對稱軸，即可解答本題．【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，∴該拋物線的對稱軸是直線x＝1，A、y＝4x2+2x+1的對稱軸是直線x＝﹣＝﹣，故該選項不符合題意；B、y＝x2﹣4x的對稱軸是直線x＝﹣＝2，故該選項不符合題意；C、y＝2x2﹣x+4的對稱軸是直線x＝﹣＝，故該選項不符合題意；D、y＝﹣2x2+4x的對稱軸是直線x＝﹣＝1，故該選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．16．（2022秋?安徽期中）若拋物線y＝﹣2（x+m﹣1）2﹣3m+6的頂點在第一象限，則m的取值范圍是（）A．m＜1 B．m＜2 C．1＜m＜2 D．﹣2＜m＜﹣1【分析】直接利用頂點形式得出頂點坐標，結(jié)合第一象限點的特點列出不等式解答即可．【解答】解：∵拋物線y＝﹣2（x+m﹣1）2﹣3m+6，∴頂點坐標為（﹣m+1，﹣3m+6），∵頂點在第一象限，∴﹣m+1＞0，﹣3m+6＞0，∴m的取值范圍為m＜1．故選：A．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k的頂點坐標為（h，k），以及各個象限點的坐標特征．17．（2022秋?利辛縣月考）如圖選項中，能描述函數(shù)y＝ax2+b與y＝ax+b，（ab＜0）的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷出各個選項中函數(shù)y＝ax2+b與y＝ax+b中a、b的正負情況，然后即可判斷哪個選項符合題意．【解答】解：選項A中y＝ax+b的a＜0，b＞0，y＝ax2+b的a＞0，b＞0，故選項A不符合題意；選項B中y＝ax+b的a＞0，b＜0，y＝ax2+b的a＞0，b＜0，故選項B符合題意；選項C中y＝ax+b的a＜0，b＞0，y＝ax2+b的a＜0，b＜0，故選項C不符合題意；選項D中y＝ax+b的a＞0，b＜0，y＝ax2+b的a＜0，b＜0，故選項D不符合題意；故選：B．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．18．（2022秋?包河區(qū)校級月考）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝bx+c的圖象和反比例函數(shù)y＝的圖象在同一坐標系中大致是（）A． B． C． D．【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的圖象開口向下和對稱軸可知b＜0，由拋物線交y的正半軸，可知c＞0，由當x＝1時，y＜0，可知a+b+c＜0，然后利用排除法即可得出正確答案．【解答】解：∵二次函數(shù)的圖象開口向下，∴a＜0，∵﹣＜0，∴b＜0，∵拋物線與y軸相交于正半軸，∴c＞0，∴直線y＝bx+c經(jīng)過一、二、四象限，由圖象可知，當x＝1時，y＜0，∴a+b+c＜0，∴反比例函數(shù)的圖象必在二、四象限，故A、B、D錯誤，C正確；故選：C．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，反比例函數(shù)及一次函數(shù)的性質(zhì)，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵．19．（2022?定遠縣校級一模）如圖，函數(shù)的圖象，若直線y＝x+m與該圖象只有一個交點，則m的取值范圍為或m≤0．【分析】利用排除法，先求得直線y＝x+m與該圖象有兩個或三個交點時m的取值，則可求得結(jié)論．【解答】解：由題意，直線y＝x+m與函數(shù)y＝的圖象恒相交，①當m＞0時，直線y＝x+m與直線y＝﹣x（x＜0）恒相交，與拋物線y＝﹣x2+2x（x＞0）至少有一個交點時，即方程x+m＝﹣x2+2x（x＞0）有兩個實數(shù)根，∴x2﹣x+m＝0，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×m≥0，解得：；∴當時，直線y＝x+m與函數(shù)y＝的圖象有兩個或三個交點，∴當時，直線y＝x+m與函數(shù)y＝的圖象只有一個交點；②當m≤0時，由圖象可知，直線y＝x+m與函數(shù)y＝的圖象只有一個交點，綜上，若直線y＝x+m與該圖象只有一個交點，則m的取值范圍為或m≤0．故答案為：或m≤0．【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標的特征，二次函數(shù)圖象上點的坐標的特征，圖象的交點與一元二次方程根的判別式的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合法解答是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋?蜀山區(qū)校級月考）求下列二次函數(shù)圖象的開口方向、頂點坐標和對稱軸：（1）y＝3x2﹣6x+4；（2）y＝﹣x2+2x+．【分析】（1）將題目中的函數(shù)解析式化為頂點式，即可寫出該函數(shù)圖象的開口方向、頂點坐標和對稱軸；（2）將題目中的函數(shù)解析式化為頂點式，即可寫出該函數(shù)圖象的開口方向、頂點坐標和對稱軸．【解答】解：（1）∵y＝3x2﹣6x+4＝3（x﹣1）2+1，∴該函數(shù)圖象的開口向上，頂點坐標為（1，1），對稱軸為直線x＝1；（2）∵y＝﹣x2+2x+＝﹣（x﹣2）2+，∴該函數(shù)圖象的開口向下，頂點坐標為（2，），對稱軸為直線x＝2．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．21．（2022秋?利辛縣月考）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）：（1）該函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝1．（2）當x＞m時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是m≥1．【分析】（1）利用對稱軸公式即可求得；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝﹣＝1，故答案為：1；（2）∵a＜0，∴拋物線開口向下，∵對稱軸為直線x＝1，∴當x＞1時，y隨x的增大而減小，∵當x＞m時，y隨x的增大而減小，∴m的取值范圍是m≥1，故答案為：m≥1．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋?蜀山區(qū)校級月考）已知拋物線y＝x2﹣2x﹣2．（1）在平面直角坐標系中畫出這條拋物線．（2）直接寫出這條拋物線的對稱軸，頂點坐標．（3）直接寫出當x取什么值時，y隨x的增大而減小？（4）直接寫出當x取什么值時，y＞1？【分析】（1）列表、描點，連線，在坐標系內(nèi)畫出函數(shù)圖象即可；（2）由（1）可得出結(jié)論；（3）根據(jù)拋物線的對稱軸可直接得出結(jié)論；（4）直接根據(jù)函數(shù)圖象可得出結(jié)論．【解答】解：（1）列表：x…﹣10123…y…1﹣2﹣3﹣21…描點、連線畫出函數(shù)圖象如圖；（2）拋物線的對稱軸為直線x＝1，頂點坐標為（1，﹣3）；（3）由函數(shù)圖象可知，當x＜1時，y隨x的增大而減小；（4）由函數(shù)圖象可知，當x＜﹣1或x＞3時，y＞1．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，能根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．23．（2022?包河區(qū)二模）在函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了列表，描點、連線畫函數(shù)圖象，并結(jié)合圖形研究函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用的過程，以下是研究三次函數(shù)y＝ax3+x2（a≠0）的性質(zhì)時．列表和描點的部分過程．請按要求完成下列各小題．x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2﹣101…y…0mn0…（1）表格中m＝4；n＝2；并在給出的坐標系中用平滑的曲線畫出該函數(shù)的大致圖象；（2）結(jié)合圖象，直接寫出x+3≤ax3+x2的解集為：﹣6≤x≤﹣2或x≥2．【分析】（1）把x＝﹣1，y＝代入y＝ax3+x2（a≠0）求得a．然后利用函數(shù)解析式分別求出m、n，利用描點法畫出圖象即可；（2）利用圖象即可解決問題．【解答】解：（1）把x＝﹣1，y＝代入y＝ax3+x2（a≠0）得，﹣a+＝，解得a＝，∴y＝x3+x2，當x＝﹣4時，y＝x3+x2＝4；當x＝﹣2時，y＝x3+x2＝2；∴m＝4，n＝2，函數(shù)y＝x3+x2的圖象如圖所示：故答案為：4，2；（2）由圖象可知，不等式x+3≤ax3+x2的解集為﹣6≤x≤﹣2或x≥2．故答案為：﹣6≤x≤﹣2或x≥2．【點評】本題考查函數(shù)圖象和性質(zhì)，能夠從表格中獲取信息，利用描點法畫出函數(shù)圖象，并結(jié)合函數(shù)圖象解題是關(guān)鍵．24．（2022?淮北一模）設(shè)二次函數(shù)y1、y2的圖象的頂點坐標分別為（a，b）、（c、d），若a＝2c、b＝2d，且兩圖象開口方向相同，則稱y1是y2的“同倍項二次函數(shù)”．（1）寫出二次函數(shù)y＝x2+x+1的一個“同倍項二次函數(shù)”；（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1＝x2+nx和二次函數(shù)y2＝x2+3nx+1，若y1+y2是y1的“同倍項二次函數(shù)”，求n的值．【分析】（1）先求出y＝x2+x+1的頂點坐標，然后根據(jù)同倍項二次函數(shù)的定義求出答案；（2）先求出y1和y1+y2的解析式并求出頂點坐標，然后根據(jù)條件a＝2c，b＝2d，且開口方向相同求出n的值．【解答】解：（1）∵y＝x2+x+1，∴y＝（x+）2+，∴二次函數(shù)y＝x2+x+1的頂點坐標為（﹣，），∴二次函數(shù)y＝x2+x+1的一個“同倍項二次函數(shù)”的頂點坐標為（﹣1，），∴同倍項二次函數(shù)的解析式為y＝（x+1）2+；（2）y1＝x2+nx＝（x+）2﹣，頂點坐標為（﹣，﹣），y1+y2＝x2+nx+x2+3nx+1＝2x2+4nx+1＝2（x+n）2+1﹣2n2，頂點坐標為（﹣n，1﹣2n2），∵y1+y2是y1的“同倍項二次函數(shù)”，∴1﹣2n2＝2×（﹣），解得：n＝±．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握“同倍項二次函數(shù)”的定義，理解題意，按條件的要求求得答案即可．25．（2021秋?安慶期末）已知函數(shù)y＝（1）用描點法畫出此函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)圖象，直接寫出當x為何值時，y隨著x的增大而減小？（3）當y＝k時，對應(yīng)的自變量x的值有2個，直接寫出k的取值范圍．【分析】（1）描點法畫出函數(shù)的圖象即可；（2）觀察圖象即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)圖象即可求解．【解答】解：（1）如圖所示；（2）由圖象可知，當x＜1或x＞2時，y隨著x的增大而減小；（3）由圖象可知，k的取值范圍是1≤k≤3或k＝4．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確畫出函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵．26．（2022秋?迎江區(qū)期中）定義符號min{a，b}含義為：當a＞b時min{a，b}＝b；當a＜b時min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，2）＝﹣4．則min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（）A． B． C．1 D．0【分析】min{a，b}的含義就是取二者中的較小值，畫出函數(shù)圖象草圖，利用函數(shù)圖象的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】解：在同一坐標系xOy中，畫出二次函數(shù)y＝﹣x2+1與正比例函數(shù)y＝﹣x的圖象，如圖所示．設(shè)它們交于點A、B．令﹣x2+1＝﹣x，即x2﹣x﹣1＝0，解得：x＝或，∴A（，），B（，）．觀察圖象可知：①當x≤時，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函數(shù)值隨x的增大而增大，其最大值為；②當＜x＜時，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x，函數(shù)值隨x的增大而減小，其最大值為小于；③當x≥時，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函數(shù)值隨x的增大而減小，最大值為．綜上所述，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．故選：A．【點評】本題考查了二次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，充分理解定義min{a，b}和掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共11小題）27．（2022秋?蚌山區(qū)校級月考）已知拋物線的頂點坐標是（2，﹣1），且與y軸交于點（0，3），這個拋物線的表達式是（）A．y＝x2﹣4x+3 B．y＝x2+4x+3 C．y＝x2+4x﹣1 D．y＝x2﹣4x﹣1【分析】由于已知拋物線的頂點坐標，則設(shè)拋物線的頂點式為y＝a（x﹣2）2﹣1（a≠0），再把（0，3）代入可計算出a的值即可．【解答】解：∵拋物線的頂點坐標為（2，﹣1）∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2﹣1（a≠0），把（0，3）代入得：4a﹣1＝3，解得，a＝1．所以，這條拋物線的解析式為：y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3．故選：A．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給點的特征選擇適當?shù)姆椒ǎ?8．（2022秋?杜集區(qū)校級月考）若某二次函數(shù)圖象的形狀與拋物線y＝3x2相同，且頂點坐標為（0，﹣2），則它的表達式為y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2．【分析】利用頂點式求解即可．【解答】解：圖象頂點坐標為（0，﹣2），可以設(shè)函數(shù)解析式是y＝ax2﹣2，又∵形狀與拋物線y＝﹣3x2相同，即二次項系數(shù)絕對值相同，∴|a|＝3，∴這個函數(shù)解析式是：y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2，故答案為：y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，如果已知三點坐標可以利用一般式求解；若已知對稱軸或頂點坐標利用頂點式求解比較簡單．29．（2022?蜀山區(qū)校級三模）如圖，直線y＝﹣x+1與x軸交于點A，直線m是過點A、B（﹣3，0）的拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸，直線y＝﹣x+1與直線m交于點C，已知點D（n，5）在直線y＝﹣x+1上，作線段CD關(guān)于直線m對稱的線段CE，若拋物線與折線DCE有兩個交點，則a的取值范圍為（）A．a(chǎn)≥1 B．0＜a≤1 C．﹣＜a＜0或0＜a＜1 D．a(chǎn)≥1或a＜﹣【分析】根據(jù)題意求得C、D、E的坐標，由對稱軸為x＝﹣1，得出b＝2a，由拋物線y＝ax2+bx+c過點A（1，0）得出c＝3a，即可得出拋物線為y＝ax2+2ax﹣3a，然后分兩種情況：（i）若a＞0，拋物線開口向上且經(jīng)過D（﹣4，5），求得a＝1，由對稱性可知：當a≥1時，拋物線與折線DCE有兩個交點；ii）若a＜0，拋物線開口向下且經(jīng)過C（﹣1，2），求得a＝﹣；由對稱性可知：當a＜﹣時，拋物線與折線DCE有兩個交點；據(jù)此即可得出結(jié)論．【解答】解：∵直線y＝﹣x+1與x軸交于點A，點D（n，5）在直線y＝﹣x+1上，∴A（1，0），D（﹣4，5），∴拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為x＝﹣1，∴y＝1+1＝2，∴C（﹣1，2），∵C、E關(guān)于直線x＝﹣1對稱，∴E（2，5），∵＝﹣1，∴b＝2a，把A（1，0）代入拋物線y＝ax2+bx+c得c＝﹣3a，∴拋物線的解析式為：y＝ax2+2ax﹣3a（i）若a＞0，拋物線開口向上且經(jīng)過D（﹣4，5），把（﹣4，5）代入y＝ax2+2ax﹣3a求出：a＝1；由對稱性可知：當a≥1時，拋物線與折線DCE有兩個交點；（ii）若a＜0，拋物線開口向下且經(jīng)過C（﹣1，2），把C（﹣1，2）代入y＝ax2+2ax﹣3a求出：a＝﹣；由對稱性可知：當a＜﹣時，拋物線與折線DCE有兩個交點；綜上所述：當a≥1或a＜﹣時，拋物線與折線DCE有兩個交點；故選：D．【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論思想的運用是解題的關(guān)鍵．30．（2022秋?包河區(qū)期中）請寫出一個開口向下，并且與y軸交于點（0，3）的拋物線的表達式：y＝﹣x2+3（答案不唯一）．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線開口向下a＜0，然后寫出即可．【解答】解：拋物線解析式為y＝﹣x2+3（答案不唯一）．故答案為：y＝﹣x2+3（答案不唯一）．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，開放型題目，主要利用了拋物線的開口方向與二次項系數(shù)a的關(guān)系．31．（2022秋?無為市期中）形狀與開口方向都與拋物線y＝﹣2x2相同，頂點坐標是（0，﹣5）的拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝﹣2x2﹣5【分析】設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+h）2+k，由條件可以得出a＝﹣2，再將頂點坐標代入解析式就可以求出結(jié)論．【解答】解：設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2﹣5，且該拋物線的形狀與開口方向都與拋物線y＝﹣2x2相同，∴a＝﹣2，∴y＝﹣2x2﹣5，故答案為：y＝﹣2x2﹣5．【點評】本題考查了根據(jù)頂點式運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運用，在解答時運用拋物線的性質(zhì)求出a值是關(guān)鍵．32．（2022秋?蜀山區(qū)校級月考）二次函數(shù)的圖象如圖所示，求該圖象的解析式．【分析】由于已知拋物線頂點坐標，則可設(shè)頂點式y(tǒng)＝a（x﹣1）2+4，然后把（﹣1，0）代入后計算出a的值即可【解答】解：由圖象可知，拋物線的頂點為（1，4），與x軸的交點為（﹣1，0），（3，0），∴設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣1）2+4，把點（﹣1，0）代入得a?（﹣1﹣1）2+4＝0，解得a＝﹣1．所以二次函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣1）2+4．【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．33．（2022秋?包河區(qū)期中）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y滿足下表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…﹣50343m﹣5…（1）m的值為0；（2）求這個二次函數(shù)的表達式．【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性結(jié)合表中數(shù)據(jù)可看出對稱軸是直線x＝1，頂點坐標是（1，﹣4），所以x＝3和x＝﹣1是關(guān)于直線x＝1成軸對稱的關(guān)系，故可得m＝0；（2）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）2+4，同樣也是找一組點的坐標代入即可求出a的值．【解答】解：（1）∵由表中x、y的對應(yīng)值可知，當x＝0與x＝﹣2時y的值相等，∴對稱軸是直線x＝＝﹣1，∵點（﹣3，0）關(guān)于直線x＝﹣1的對稱點為（1，0），∴m＝0，故答案為：0；（2）由表可知，二次函數(shù)的頂點坐標為（﹣1，4），∴設(shè)二次函數(shù)的表達式為y＝a（x+1）2+4．將（0，3）代入上式得a+4＝3，解得a＝﹣1，故二次函數(shù)的表達式為y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3．【點評】考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的方法．本題中要求熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)．會從所給出的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)其對稱關(guān)系，求出頂點坐標，拋物線與x軸的交點坐標是解題的關(guān)鍵．34．（2022秋?瑤海區(qū)校級月考）如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），點B（2，﹣3），與y軸交于點C，拋物線的頂點為D．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在點P，使△PBC的面積是△BCD面積的4倍，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可；（2）設(shè)拋物線上的點P坐標為（m，m2﹣2m﹣3），結(jié)合方程思想和三角形面積公式列方程求解．【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），點B（2，﹣3），∴，解得b＝﹣2，c＝﹣3，∴拋物線的解析式：y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由如下：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D點坐標為（1，﹣4），令x＝0，則y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴C點坐標為（0，﹣3），又∵B點坐標為（2，﹣3），∴BC∥x軸，∴S△BCD＝×2×1＝1，設(shè)拋物線上的點P坐標為（m，m2﹣2m﹣3），∴S△PBC＝×2×|m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m2﹣2m|，當|m2﹣2m|＝4×1時，解得m＝1±，當m＝1+時，m2﹣2m﹣3＝1，當m＝1﹣時，m2﹣2m﹣3＝1，綜上，P點坐標為（1+，1）或（1﹣，1）．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，理解二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，利用方程思想解題是關(guān)鍵．35．（2022秋?蜀山區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝x的圖象與二次函數(shù)y＝﹣x2+bx（b為常數(shù)）的圖象相交于O，A兩點，點A坐標為（3，m）．（1）求m的值以及二次函數(shù)的表達式；（2）若點P為拋物線的頂點，連結(jié)OP，AP，求△POA的面積．【分析】（1）把點A的坐標為（3，m）代入y＝x可求出m的值，然后再把A點坐標代入二次函數(shù)表達式即可解答；（2）過點P作PC⊥x軸，垂足為C，交OA于點D，然后把△OPD的面積與△APD的面積相加即可．【解答】解：（1）把點A坐標為（3，m）代入一次函數(shù)y＝x中可得：m＝3，∴A（3，3），把點A坐標為（3，3）代入二次函數(shù)y＝﹣x2+bx中可得：3＝﹣9+3b，解得：b＝4，∴y＝﹣x2+4x，答：m的值為3，二次函數(shù)的表達式為：y＝﹣x2+4x；（2）過點P作PC⊥x軸，垂足為C，交OA于點D，過點A作AE⊥PC，垂足為E，∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴頂點P（2，4），把x＝2代入y＝x中得：y＝2，∴D（2，2），∴PD＝4﹣2＝2，∵△POA的面積＝△OPD的面積+△APD的面積，∴△POA的面積＝PD?OC+PD?AE＝PD（OC+AE）＝×2×3＝3，答：△POA的面積為3．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，正比例函數(shù)的圖象，把△POA的面積分成△OPD的面積與△APD的面積之和是解題的關(guān)鍵．36．（2022秋?廬陽區(qū)校級期中）如圖，二次函數(shù)與一次函數(shù)交于頂點A（﹣4，﹣1）和點B（﹣2，3）兩點，一次函數(shù)與y軸交于點C．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）y軸上是否存在點P使△PAB的面積為3．若存在，請求點P的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；（2）設(shè)P（0，n），根據(jù)S△PAB＝S△PAC﹣S△BPC列出關(guān)于n的方程，解方程即可求得．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)的頂點A（﹣4，﹣1），∴設(shè)二次函數(shù)為，∵經(jīng)過B（﹣2，3），∴3＝a（﹣2+4）2﹣1，解得，a＝1，∴二次函數(shù)；（2）設(shè)直線AB的解析式為y2＝kx+b，把A（﹣4，﹣1）和B（﹣2，3）代入得，解得，∴一次函數(shù)y2的解析式為y2＝2x+7；由一次函數(shù)y2＝2x+7可知C（0，7），設(shè)P（0，n），∴PC＝|n﹣7|，∴，∴|n﹣7|＝3，∴n＝4或10，∴P（0，4）或P（0，10）．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形面積，分割法求三角形面積是解題的關(guān)鍵．37．（2022秋?定遠縣期中）已知二次函數(shù)y＝﹣2x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（0，4）和B（1，﹣2）．（1）求此拋物線的解析式；（2）求此拋物線的對稱軸和頂點坐標；（3）設(shè)拋物線的頂點為C，試求△CAO的面積．【分析】（1）利用待定系數(shù)法把A（0，4）和B（1，﹣2）代入y＝﹣2x2+bx+c中，可以解得b，c的值，從而求得函數(shù)關(guān)系式即可；（2）利用配方法求出圖象的對稱軸和頂點坐標；（3）由（2）可得頂點C的坐標，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出△CAO的面積．【解答】解：（1）把A（0，4）和B（1，﹣2）代入y＝﹣2x2+bx+c，得：，解得：，所以此拋物線的解析式為y＝﹣2x2﹣4x+4；（2）∵y＝﹣2x2﹣4x+4＝﹣2（x2+2x）+4＝﹣2[（x+1）2﹣1]+4＝﹣2（x+1）2+6，∴此拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，頂點坐標為（﹣1，6）；（3）由（2）知：頂點C（﹣1，6），∵點A（0，4），∴OA＝4，∴S△CAO＝OA?|xc|＝×4×1＝2，即△CAO的面積為2．【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)解析式的三種形式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形的面積，難度適中．正確求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列拋物線中，與拋物線具有相同對稱軸的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題目中的拋物線，可以求得它的對稱軸，然后再求出各個選項中的二次函數(shù)的對稱軸，即可解答本題．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸是直線，A、的對稱軸是直線，故該選項不符合題意；B、的對稱軸是直線，故該選項不符合題意；C、的對稱軸是直線，故該選項不符合題意；D、的對稱軸是直線，故該選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查拋物線的對稱軸，解答本題的關(guān)鍵是熟練計算拋物線的對稱軸．2．（2022秋·安徽六安·九年級校考階段練習(xí)）將拋物線向右平移3個單位，再向上平移1個單位，則平移后的拋物線的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由拋物線平移不改變二次項系數(shù)a的值，根據(jù)點的平移規(guī)律“左移減，右移加，上移加，下移減”可知移動后的頂點坐標，再由頂點式可求移動后的函數(shù)表達式．【詳解】解：的頂點坐標為，把點向右平移3個單位，再向上平移1個單位得到的對應(yīng)點的坐標為，所以平移后的拋物線的解析式是．故選：D．【點睛】此題考查了二次函數(shù)圖象的平移與幾何變換，利用拋物線解析式的變化規(guī)律：“左移減，右移加，上移加，下移減”是解題的關(guān)鍵．3．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）若拋物線的頂點在第二象限，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】把二次函數(shù)化為頂點式，寫出頂點坐標，根據(jù)頂點在第二象限得到的取值范圍．【詳解】解：由得，，拋物線的頂點坐標為，頂點在第二象限，，解得：，故選：A．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的特征，將二次函數(shù)的一般式化為頂點式，熟練掌握第二象限的點的特征是解題的關(guān)鍵．4．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中學(xué)校考一模）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則代數(shù)式的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先把點代入到二次函數(shù)解析式得到，進而推出，再把整體代入到所求式子中得到，由此利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，∴，∵，∴；∵，，∴當時，有最小值，最小值為，故選C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的最值問題，正確推出且是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·安徽安慶·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用配方法將二次函數(shù)解析式化為頂點式，即可得出頂點坐標．【詳解】∵∴頂點坐標是故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點坐標，利用配方法求頂點坐標是解題的關(guān)鍵．6．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則在同一坐標系中與的圖象可能是()A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知二次函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標為、，就可以確定二次函數(shù)與直線的交點的橫坐標為、，于是可得答案．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標為、，二次函數(shù)與直線的交點的橫坐標為、，在同一坐標系中與的圖象可能是，故選：A．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)及一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵．7．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知拋物線的圖象如圖所示，其對稱軸為直線，那么一次函數(shù)的圖象大致為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得出，進而得出，，判斷出一次函數(shù)的圖象過第一、三、四象限，再判斷一次函數(shù)與y軸交點在與0之間，一次函數(shù)與x軸交點是1，即可得出答案．【詳解】解：∵拋物線對稱軸為直線，∴，∴，根據(jù)二次函數(shù)：，，∴，，∴一次函數(shù)的圖象過第一、三、四象限，當時，，∴，∴一次函數(shù)與y軸交點在與0之間，當時，，∴，∴一次函數(shù)與x軸交點是1，故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023·安徽·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，垂直于x軸的直線分別交拋物線y＝x2（x≥0）和拋物線y＝x2（x≥0）于點A和點B，過點A作AC∥x軸交拋物線y＝x2于點C，過點B作BD∥x軸交拋物線y＝x2于點D，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)A（m，m2），則B（m，m2），根據(jù)題意得出C（2m，m2），D（m，m2），即可求得BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，從而求得＝．【詳解】設(shè)A（m，m2），則B（m，m2），∵AC∥x軸交拋物線y＝x2于點C，BD∥x軸交拋物線y＝x2于點D，∴C（2m，m2），D（m，m2），∴BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，.故選C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.根據(jù)特征表示出A、B、C、D點的坐標是解題的關(guān)鍵．9．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）在同一平面直角坐標系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)及反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)可進行求解．【詳解】解：當時，則，所以二次函數(shù)的圖象開口向上，與y軸交于負半軸，而反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限；故B、C選項錯誤；當時，則，所以二次函數(shù)的圖象開口向下，與y軸交于正半軸，而反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限；故A正確，D選項錯誤；故選A．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握這兩種函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·安徽安慶·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，與y軸的交點B在和之間（不包括這兩點），對稱軸為直線．下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中含所有正確結(jié)論的選項是（）A．①③ B．①③④ C．②④⑥ D．①③④⑤【答案】D【分析】根據(jù)圖象開口方向，對稱軸，與y軸的交點即可得到a、b、c的符號，判斷①對錯；根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸得到x軸的另一個交點為，進而得到時，，即可判斷②對錯；根據(jù)交點坐標得到，進而得到，再利用對稱軸得到，從而求得，即可判斷③對錯；根據(jù)圖象與y軸的交點，得到，進而得到，；根據(jù)交點坐標得到，進而得到，即可判斷⑤對錯．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象開口向上，，對稱軸為直線，在y軸右側(cè)，、異號，圖象與y軸的交點在y軸負半軸，，，①正確；函數(shù)的圖象與x軸交于點，對稱軸為直線，函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點為，由圖象可知，時，，，②錯誤；函數(shù)的圖象與x軸交于點，，，對稱軸為直線，，，，，，③正確；函數(shù)的圖象與y軸的交點B在和之間（不包括這兩點），，，，，④正確；函數(shù)的圖象與x軸交于點，，，，⑤正確，正確結(jié)論有①③④⑤，故選D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)解題關(guān)鍵．二、填空題11．（2023·安徽淮南·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）拋物線的頂點坐標是_________．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點式直接求解即可．【詳解】解：，∴頂點坐標是．故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的頂點，解題關(guān)鍵在于能夠掌握二次函數(shù)頂點式的基本性質(zhì)．12．（2022秋·安徽蚌埠·九年級校考期中）若，，為二次函數(shù)的圖象上的三點，則，，大小關(guān)系為______．【答案】/【分析】根據(jù)給出的二次函數(shù)判斷開口方向向上，對稱軸為直線，即可根據(jù)自變量的大小判斷函數(shù)值的大小【詳解】∵二次函數(shù)為：∴∴二次函數(shù)的開口向上，對稱軸為：，∴當時，二次函數(shù)的函數(shù)值隨x的增大而減小，∵，∴，故答案為：【點睛】本題考查了本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的對稱軸和開口方向是解決問題的關(guān)鍵13．（2023·安徽·九年級校考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象開口向下，則m的值是______．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義可得及開口向下時即可解答．【詳解】解：根據(jù)題意得：解得：，故答案為．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的定義及性質(zhì)，易錯點是只考慮其次數(shù)是2，沒有考慮開口向下時的性質(zhì)．14．（2023春·安徽蚌埠·九年級校考階段練習(xí)）把拋物線向左平移2個單位長度，然后向下平移3個單位長度，平移后拋物線的表達式為__________．【答案】/【分析】根據(jù)平移法則：“左加右減，上加下減”，按平移要求寫出平移后表達式，再化簡即可．【詳解】∵拋物線向左平移2個單位，向下平移1個單位∴新拋物線的表達式為∴所得拋物線的函數(shù)表達式為，化為一般式．故答案為或．【點睛】本題考查了函數(shù)圖象平移的法則，記憶法則和正確應(yīng)用法則是解題的關(guān)鍵．15．（2016秋·安徽蕪湖·九年級統(tǒng)考期中）點，，均在二次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是___________．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式的特點，其對稱軸為，圖象開口向下，在對稱軸的右側(cè)，隨的增大而減小，據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可知，與關(guān)于對稱軸對稱，可判斷．【詳解】解：，對稱軸為，，在對稱軸的右側(cè)，隨的增大而減小，，，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可知，與關(guān)于對稱軸對稱，故，故答案為．【點睛】本題考查了函數(shù)圖象上的點的坐標與函數(shù)解析式的關(guān)系，同時考查了函數(shù)的對稱性及增減性，解題的關(guān)鍵是利用對稱性求解．16．（2023春·安徽宿州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的函數(shù)，點為拋物線頂點．（1）當點最高時，______；（2）在（1）的條件下，當，函數(shù)有最小值，則______．【答案】或【分析】（1）將拋物線一般式化為頂點式得到頂點的坐標為，把縱坐標化為的形式，即可得到結(jié)果；（2）把（1）中求得的代入得，這時當時，函數(shù)有最小值為，當時，函數(shù)有最小值為，所以的取值范圍一定在對稱軸的左邊或右邊，再分兩種情況討論即可求得的值．【詳解】解：（1），頂點的坐標為，，當時，取得最大值為，當點最高時，，故答案為：；（2）當時，，這時當時，函數(shù)有最小值為，當，函數(shù)有最小值，的取值范圍一定在對稱軸的左邊或右邊，當時，，函數(shù)有最小值為，，解得：，，，；當時，，函數(shù)有最小值為，，解得：，，，即，．綜上所述，的值為或，故答案為：或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和最值的求法，求最值除了考慮開口方向還要考慮自變量的取值范圍和對稱軸的關(guān)系，這是解決本題的關(guān)鍵．17．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考二模）設(shè)二次函數(shù)，其中a為實數(shù)．（1）二次函數(shù)的對稱軸為直線_______________．（用含a的式子表示）（2）若二次函數(shù)在有最小值，則實數(shù)a的值是_______________．【答案】/4【分析】（1）直接利用拋物線的對稱軸公式可得答案；（2）分三種情況討論：當，即，則當時，y有最小值，最小值為，當，即，則當時，y有最小值，當，即，則當時，y有最小值，從而可得答案．【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)，∴對稱軸為直線：，故答案為：；（2）當，即，則當時，y有最小值，最小值為，不合題意，舍去；若，即，則當時，y有最小值，∴，∴，解得（舍去），；當，即，則當時，y有最小值，∴，解得（舍去）．故答案為4．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．18．（2023·安徽合肥·合肥38中校考二模）已知點是拋物線上一動點．（1）當點M到y(tǒng)軸的距離不大于1時，b的取值范圍是______；（2）當點M到直線的距離不大于時，b的取值范圍是，則的值為______．【答案】/0或5/5或0【分析】（1）先求出拋物線的對稱軸為直線，根據(jù)點M到y(tǒng)軸的距離不大于1，得出，根據(jù)二次函數(shù)的增減性，求出b的取值范圍即可；（2）根據(jù)點到直線的距離不大于，得出，即，從而得出，然后根據(jù)，求出a的范圍，即可得出．【詳解】解：（1）∵，∴拋物線的對稱軸為直線，∵點M到y(tǒng)軸的距離不大于1，∴，∴此時點M在對稱軸的左側(cè)，∵，∴在對稱軸的左側(cè)隨x的增大而減小，∴當時，b取最大值，且最大值為，當時，b取最小值，且最小值為，∴b的取值范圍是；故答案為：；（2）∵點到直線的距離不大于，∴，即，∴，令，代入，即，解得：，，令，代入，即，解得：，，∴點M應(yīng)為或上的動點，當時，，當時，，綜上分析可知，的值為0或5；故答案為：0或5．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的增減性，二次函數(shù)，當時，在對稱軸的左側(cè)y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大；當時，在對稱軸的左側(cè)y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而減小．三、解答題19．（2022秋·安徽蚌埠·九年級校考期中）對于拋物線．(1)將拋物線的表達式化為頂點式．(2)填下表并在坐標系中畫出此拋物線．............(3)結(jié)合圖象，當時，則y的取值范圍是．【答案】(1)；(2)見解析；(3)【分析】（1）利用配方法變形即可；（2）列表、描點、連線即可；（3）結(jié)合（2）中圖象和表格即可得出結(jié)論．【詳解】（1）．∴拋物線的頂點式為．（2）x…01234…y…3003…函數(shù)圖象如圖所示：（3）根據(jù)函數(shù)圖象可知，當時，y的取值范圍是．【點睛】此題考查的是二次函數(shù)解析式的變形、畫二次函數(shù)的圖象和根據(jù)自變量的取值范圍，求函數(shù)值的取值范圍，掌握配方法、畫二次函數(shù)的圖象的一般步驟和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此題的關(guān)鍵．20．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)中的x和y滿足下表：x?012?y?0343m?(1)根據(jù)表格，直接寫出該二次函數(shù)的對稱軸以及m的值；(2)求該二次函數(shù)的表達式．【答案】(1)二次函數(shù)的對稱軸為直線；(2)【分析】（1）由于，；，，則可利用拋物線的對稱性得到對稱軸；然后利用對稱性確定m的值；（2）設(shè)頂點式，然后把代入求出a的值，從而得到拋物線解析式．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，，∴拋物線的對稱軸為直線，∵和所對應(yīng)的函數(shù)值相等，∴；（2）解：設(shè)拋物線解析式為，把代入得，解得，∴該二次函數(shù)的解析式為，即．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)