北師大八年級數學下冊知識點總結

北師大版八年級數學下冊各章知識要點第一章三角形的證明一、全等三角形的判定和性質：1.判定方法包括SSS、SAS、ASA、AAS和HL直角三角形。2.全等三角形的對應邊相等，對應角相等。二、等腰三角形的性質1.等腰三角形有兩邊相等，底角相等。2.推論包括頂角平分線、底邊中線和高線重合，等邊三角形各角相等且每個角都等于60°。3.等腰三角形是軸對稱圖形。三、等腰三角形的判定1.定理包括等角對等邊。2.推論包括等邊三角形和等腰三角形。3.反證法是證明命題結論的一種方法。四、直角三角形1.直角三角形的性質包括兩銳角互余，勾股定理，銳角等于30°的特殊情況和斜邊上的中線等于斜邊的一半。2.判定方法是三邊平方和等于斜邊平方。3.互逆命題和互逆定理是一種命題或定理的變形。五、線段的垂直平分線和角平分線1.線段的垂直平分線的性質包括距離相等和三角形的外心。2.角平分線的性質包括距離相等和三角形的內心。第二章一元一次不等式和一元一次不等式組本章介紹一元一次不等式和一元一次不等式組的概念和解法。（刪除明顯有問題的段落）1.定義：不等式是用符號“＜”（或“≤”）和“＞”（或“≥”）連接的式子。2.基本性質：-性質1：不等式的兩邊加（或減）同一個整式，不等號的方向不變。例如，如果a>b，則a+c>b+c，a-c>b-c。（注：移項要變號，但不等號不變）-性質2：不等式的兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。例如，如果a>b，并且c>0，則ac>bc，a/b>b/c。-性質3：不等式的兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。例如，如果a>b，并且c<0，則ac<bc，a/b<b/c。-比較大小：作差法a>b<===>a-b>0a=b<===>a-b=0a<b<===>a-b<03.不等式的解：能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解。4.不等式的解集：一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。5.解不等式：求不等式解集的過程叫做解不等式。邊界：有等號的是實心圓點，無等號的是空心圓圈。6.一元一次不等式：不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是1，叫做一元一次不等式。7.解不等式的步驟：1、去分母；2、去括號；3、移項、合并同類項；4、系數化為1。8.列一元一次不等式組解實際問題的一般步驟：（1）審題；（2）設未知數，找（不等量）關系式；（3）根據不等量關系式列不等式（組）；（4）解不等式組；（5）檢驗；（6）作答。9.一元一次不等式與一次函數教材第50頁。10.一元一次不等式組：關于同一未知數的幾個一元一次不等式合在一起，就組成一個一次不等式組。一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，焦作這個一元一次不等式組的解集。求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。二、圖形的平移1.平移的定義：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。關鍵：a.平移不改變圖形的形狀和大小（也不會改變圖形的方向，但改變圖形的位置）。b.圖形平移三要素：原位置、平移方向、平移距離。2.平移的規律(性質)：經過平移，對應點所連的線段平行（或在一條直線上）且相等，對應線段平行（或在一條直線上）且相等、對應角相等。3.最高公因式：多項式的最高公因式是指能夠整除該多項式的最高次數的公式，可以用輾轉相除法求得。4.因式定理：如果一個多項式P(x)滿足P(a)=0，那么(x-a)就是P(x)的一個因式。二、常見的因式分解方法：1.提公因式法：對于一些多項式，它們的各項都含有相同的因式，可以先提取出公因式，再進行因式分解。2.分組分解法：將多項式的各項分成兩組，每組內各項都有一個相同的因式，然后再進行因式分解。3.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可以用來因式分解一些二次多項式。4.完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2，可以用來因式分解一些二次多項式。5.差平方公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)，a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)，可以用來因式分解一些三次多項式。三、因式分解的應用：1.求解方程：將多項式分解成若干個一次或二次因式的乘積形式，然后令每個因式等于0，解出方程的根。2.簡化式子：將一個復雜的多項式因式分解后，可以簡化式子，更方便計算。3.化簡分式：將分式的分子和分母都進行因式分解后，可以將分式化簡為最簡形式，更方便計算。4.求最大公因數：將兩個多項式分別進行因式分解，然后找到它們的最高公因數，可以用于簡化分式、求解方程等問題。3.提公因式法是一種因式分解的方法，可以將一個多項式化成兩個因式的乘積形式。具體步驟包括：(1)取各項系數的最大公約數作為公因式；(2)取相同字母的指數較小的作為公因式；(3)取相同多項式的指數較小的作為公因式；(4)將所有公因式相乘得到最終的公因式。4.找公因式的一般步驟包括：(1)取各項系數的最大公約數作為公因式；(2)取相同字母的指數較小的作為公因式；(3)取相同多項式的指數較小的作為公因式；(4)將所有公因式相乘得到最終的公因式。5.公式法是一種因式分解的方法，包括以下公式：(1)ma+mb+mc=m(a+b+c)；(2)a2-b2=(a+b)(a-b)；(3)a2±2ab+b=(a±b)2。6.分解因式的一般步驟包括：(1)先提取負號，再提取公因式；(2)根據多項式特點，選用平方差公式或完全平方公式；(3)將每一個多項式分解到不能再分解為止。7.因式分解與整式乘法是相反方向的變形。因式分解是將一個多項式化成幾個整式的積的形式，而整式乘法是將幾個整式的積化成一個多項式的形式。補充：十字相乘法是一種因式分解的方法，特別適用于二次三項式的因式分解。具體步驟為：(1)將二次項系數和常數項寫在豎式的兩端；(2)找出二次項和常數項的所有因數；(3)將這些因數兩兩相乘，填入豎式中相應的位置；(4)找出相乘得到中間一項系數的兩個數，將它們填在豎式中間位置的左右兩邊；(5)將左右兩邊的兩項合并即可得到原多項式的因式分解式。1.分式是由兩個整式組成的表達式，其中分母不能為零。分式的分子和分母可以含有字母，但分母中必須含有未知數。2.分式與整式最本質的區別是分式必須含有未知數，而分子可以含有字母也可以不含字母。分式有意義的條件是分母不為零，即分母中的代數式的值不能為零。分式的值為零的條件是分子為零且分母不為零。3.分式的基本性質是分式的分子和分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變。利用分式的基本性質進行分式變形是恒等變形，不改變分式值的大小，只改變形式。應用基本性質時要注意分母不能為零，分子分母要同時乘以或除以同一個整式，避免出現分子、分母乘除的不是同一個整式的錯誤。4.分式的乘除是將兩個分式相乘或相除得到一個新的分式。兩個分式相乘，將分子相乘的積作為積的分子，分母相乘的積作為積的分母；兩個分式相除，將除式的分子、分母顛倒位置后再與被除式相乘。5.分式乘方是將分式的分子和分母分別乘方。當正整數n為偶數時，有逆向運用$A=\frac{1}{n}B$成立。2.最簡分式是指分子和分母沒有公因數的分式。3.分式的通分和約分需要先分解因式。(1)約分是指利用分式的基本性質，將分子和分母的公因數約去。(2)最簡分式是指分子和分母沒有公因數的分式。(3)通分是指將幾個異分母的分式化為同分母的分式。(4)最簡公分母是指最簡單的公分母。4.分式的加減法有兩種情況：(1)同分母的分式相加減，分母不變，將分子相加減。(2)異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后按同分母分式的加減法進行計算。5.分式的符號法則是指分式的分子、分母和分式本身的符號，改變其中任何兩個分式的值不變。6.分式方程是指分母中含有未知數的方程。增根是指最簡公分母為增根，并且是分式方程化為整式方程的根。7.解分式方程的步驟包括：化簡、同乘最簡公分母、解整式方程、驗根。8.列分式方程解應用題的步驟包括：審題、設未知數、列方程、解方程、檢驗、寫出答案。9.應用題的基本類型包括：行程問題、數字問題、工程問題、順水逆水問題、相遇問題、追及問題、流水問題、濃度問題、利潤與折扣問題。10.平行四邊形是指兩組對邊分別平行的四邊形。平行四邊形是一種特殊的四邊形，其對邊平行且相等，鄰角互補，對角相等，對角線互相平分。要判定一個四邊形是否為平行四邊形，有以下幾種方法：如果兩組對邊分別平行，則這個四邊形是平行四邊形；如果兩組對邊分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；如果一組對邊既平行又相等，則這個四邊形是平行四邊形；如果兩條對角線互相平分，則這個四邊形是平行四邊形。兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。平行線間的距離處處相等。平行四邊形的面積可以通過底和高的乘積計算得出，即S=底×高=ah。三角形的中位線是連接三角形兩邊中點的線段，