關于如何建立一個數學模型第1頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三一、模型準備了解實際背景明確建模目的搜集有關信息掌握對象特征

形成一個比較清晰的“問題”

拿到需要解決的問題之后，首先應該做的事情是:了解有關背景知識，查閱前人在這方面的工作，并在此基礎上探討解決問題的方法。第2頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三例1.1CMCM-96B題：節水洗衣機

由于淡水資源的短缺以及洗衣機的廣為普及，節約洗衣機用水十分重要。假設放入衣物和洗滌后洗衣機的運行程序為：加水一漂洗一脫水一加水一漂洗一脫水一，····(稱“加水一漂水一脫水”為一輪。)現為洗衣機設計一種程序(包括運行多少輪、每輪加水量等)，使得在滿足一定洗滌效果的條件下，總用水量最少，選用合理數據計算。第3頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三洗衣的基本原理

洗衣的基本原理就是將吸附在衣物上的污物溶于水中，通過脫去污水而帶走污物。無論是如何精心設計的洗衣方式和程序都是以此為基礎的。洗衣的過程就是通過加水來實現上述“溶污物一脫污水”動作的反復執行，使得殘留在衣物上的污物越來越少，直到滿意的程度.

通常洗衣要加入洗滌劑，它幫助衣物上原有的污物溶解.洗滌劑本身也是不希望留在衣物上的東西.因此“污物”應是衣物上原有污物與洗滌劑的總和.第4頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三例1.2：CMCM-92B題。

組成生命蛋白質的若干種氨基酸可以形成不同的組合。通過質譜實驗測定分子量來分析蛋白質分子的組成時，遇到的首要問題是如何將它的分子量X分解為幾個氨基酸的已知分子量之和。第5頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三分析：題目要求根據蛋白質的分子量給出所有的氨基酸組合方式。

令M為蛋白質的分子量，表示第i種氨基酸的分子量，ai表示第i種氨基酸的數目，問題歸結為求解下列不定方程計算結果表明，當蛋白質的分子量為1000時，解的個數已達到28268個，這樣的模型對于實際的工作而言并無多大的意義。第6頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

要想建立一個合理的有用的模型，首先應該了解生物學中關于蛋白質組成以及化學中關于分子結構測試方面的知識，例如原題中提到了質譜儀的使用，質譜儀可以精確測定分子量和分子式，即可以知道蛋白質分子中包含的C、N、O、H、S每一種原子的數目，利用這些信息，不僅可以大減少解的數目和計算機運行時間，而且便模型更具有實用性。有些問題可能是某一領域中早已存在的問題，專家們已經有過許多研究，充分利用他們的研究結果，對于建模有很大的幫助.例如:

CMCM-91B題（施肥效果分析）第7頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

農學家已經總結出肥料對作物生長作用的一些規律，如米采利希學說：只增加某種養分x時，引起產量的增加與該種養分供應充足時達到的最高產量A與現有產量W的差成正比：其中C為常數，綜合運用這些農學家的經驗規律，結合所給實驗數據，就容易建立施肥量與產量關系的模型。例1.3CMCM-92A題（施肥效果分析）

總之，抓住了本質的東西，建立的模型才是有合理性，一個模型的優與劣，最根本的是在于是否采用恰當的方法，合理地描述了實際問題，而不是取決于是否用到了高深的數學知識。第8頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三二、模型假設1、假設的依據:（1）、對問題內在規律的認識。（2）、對數據或現象的分析。針對問題特點和建模目的，作出合理的、簡化的假設設，在合理與簡化之間作出折中第9頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三2、基本原則：（1）多數的原則。如曲線擬合時，可根據多數點的分布趨勢來確定曲線，經驗證后，選擇誤差少的曲線。（2）發展的原則。觀察事物的發展方向。（3）主導性的原則。分析何種因素起主導作用。如修盤山公路，主導性因素是公路坡度在一個合理范圍內。（4）相對性的原則。第10頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三例2.1：AMCM-92B題，在應急系統的研制過程中，優秀論文作者作了如下假定：

（1）、從派遣中心到事故發生地點的距離以兩地橫坐標和縱坐標之差的絕對值之和度量（2）、修理隊總以30里/小時的平均速度行駛（3）、在緊急情況下，修理隊隨時可供派遣（4）、修理隊的車輛無損壞情況……這些假設給應急系統的設計帶來了方便3、假設的分類：（1）簡化問題的假設。（2）對所研究對象進行近似，使之滿足建模所用數學方法必需的前提條件。第11頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三例2.2：椅子能否在不平的地面放穩？第二條假設為我們利用連續函數的零點定理奠定了基礎。模型假設四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;地面高度連續變化，可視為數學上的連續曲面;地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。第12頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

建立數學模型就是采用或建立某種數學方法來解決具體的問題，而每種理論的應用都必須滿足一定的理想化條件，因此能否應用某種數學方法的關鍵在于所研究對象是否近似滿足理想化條件。必須著重指出的是，對于一個假設，最重要的是它是否符合實際情況，而不是為了解決問題的方便，即假設必須合理。

第13頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三例2.3：雙層玻璃窗的功效北方城鎮的有些建筑物的窗戶是雙層的，如圖所示：兩層厚度為的玻璃夾著一層厚度為的空氣，試建立一個模型描述熱量通過窗戶的傳導（即流失）過程。以上假設為我們利用熱傳導定理奠定了基礎。假設1、熱量傳播只有傳導，沒有對流2、T1,T2不變，熱傳導過程處于穩態3、材料均勻，熱傳導系數為常數第14頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

例2.4：AMCM-89A題要求對蠓蟲加以分類。在采用概率判別方法建模之前，作了如下假設：1、兩類蠓蟲的觸角與翅膀長度的總體均值、標準差和相關系數與學習樣本所能反映的值是相符的，2、觸角長度x和y服從二維正態分布這兩條假設為從概率論的角度對蠓蟲進行分類提供了根據，由于統計方法的應用必須建立在對大量樣本進行分析的基礎上，而我們面臨的問題是，題中所給的數據（15個學習樣本）太少，因此優秀論文作者清醒指出，這些假設未必一定可靠，這顯示了他們對實際問題及所用方法的深刻見解，第15頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三例2.5：AMCM-86A題—水道測量數據。對海底地形圖的插值擬合，其成立的條件是曲面必須光滑，因此有必要假設，海底地形無陡峭形狀，可當作光滑曲面處理，在實際中，由于海水的不斷沖蝕，這個假設是近似成立的，這樣就為模型的合理性提供了依據。

第16頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三三、模型的建立1、分析問題，闡明建模的依據。不同性質的問題需要采用不同的數學方法加以解決，建立什么樣的模型是由問題的本質決定的。

例3.1、Logistic模型。資源、環境等因素對人口增長的阻滯作用隨人口數量增加而變大，即增長率是人口數的減函數。最簡單的假設是例3.2CMCM-04B電力市場輸電阻塞模型

關于有功潮流近似表達的確定，有一篇優秀論文是怎樣分析的：根據功率疊加原理，我們認為各線路上的有功潮流應為各發電機組出力的線性組合。第17頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三隨機抽取兩組數據進行檢驗。如線路1受機組1的影響，線路3受機組4的影響，可以發現，有功潮流受到各機組的影響近似成線性關系。因此假設有功潮流關于各個機組出力的函數關系為2．采用適當的數學方法建立模型

主要有以下幾種類型（1）優化模型根據已知信息，對某一目標進行優化，如費用最小，時間最短等。如AMCM89B設計飛機排隊起飛的系統，CMCM-96B節水洗衣機，CMCM-010B鋼管訂購和運輸，等等。

第18頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三一般分三種情況。

1）給出了明確的優化目標

2）有些問題本身的性質（如圖與網絡中的NPC問題）決定了無法找到最優解。應從實際出發，設計近似算法，使目標盡可能優化。

3）沒有提出明確的優化目標，應根據實際需要，提出合理的優化目標。（2）微分方程模型所研究對象與已知因素之間的關系可以用微分方程的形式加以表示。如AMCM-85A動物群體的增長。CMCM-96A最優捕魚策略等。這類模型的求解主要是利用所給數據確定模型參數。第19頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三（3）統計分析模型如AMCM-89A可以用統計學中的Fisher判別法對蠓蟲加以分類。（4）插值與擬合模型這是離散數據連續化處理時常用的方法。如

AMCM-86A題海底地形的描繪，AMCM-91A水塔水流量的估計等。（5）其它。如計算機模擬，神經網絡等。大學生數學建模競賽試題解題方法總結第20頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三方法總結：

用的最多的方法是：微分方程、優化方法和概率統計的方法.

插值與擬合，隨機模擬在數據處理時很有必要。灰色系統理論、神經網絡、模糊數學經常被亂用。層次分析只能做半定量分析第21頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三3．創造性地改造已有模型。

數學建模的問題一般來自解決的實際問題，沒有現成的模型可直接套，能否提出自己見解是評價一個數學模型優劣的重要標準。因為時間和知識水平的限制，一般在現有的模型上對已有的模型進行必要的修正，或者創造條件而使用這些模型。

例3.3：AMCM-96A，北卡羅米納隊利用等高線圖確定目標的方法很有創造性，盡管有其他不足，仍被評為特獎。例3.5：CMCM-00A題DNA序列分類問題，需要做的是提DNA序列的分類特征。第22頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三例3.5減肥問題在以下假設下：1、體重增加正比于吸收的熱量；2、代謝引起的體重減少正比于體重；3、運動引起的體重減少正比于體重，且與運動形式有關。得到下面的基本模型：基本模型第23頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

四、模型簡化

根據賽題的實際情況，對建立的模型作出合理的簡化是解決問題的關鍵。

例4.1CMCM-98B第24頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

根據題意，得到購買Si的金額為xi的交易費為但因M相當大，Si若被選中，其投資額xi一般都超過ui，交易費可簡化為第25頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三數學模型的建立是一個從實際——數學——實際的過程，用恰當的數學方法對實際問題進行抽象化描述后，可編寫計算機程序或運用各種軟件包（Matlab,Mathematica，Lingo等是非常有用的數學軟件包）對模型進行求解，得到數學結果之后，問題并未完全解決，前已述及，我們在建立數學模型的過程中，作了各種近似和簡化，而且更重要的是，我們建立的數學模型僅用到了題中給出的數據，因此，模型的結果是否具有實際意義或滿足實際要求，有待于細致的分析。五、模型求解及結果的分析第26頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三一個最典型的例子是：AMCM-92A題——控制空中交通雷達發射功率的計算。

按照原題中給出的關于接收線路的靈敏度即對10微瓦的信號會作出反應，通過模型計算，對于大飛機（保證雷達反射截面大于75米2）而言，雷達發射功率為7.3×106瓦，雖然很大，但還是可以達到。要控測到小飛機（雷達反射截面約為2米2），雷達需要的發射功率為2.6×1013瓦！這顯然是不合理的。第27頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

優秀論文作者通過查閱資料，由1944年某雷達天線信噪比的數據算出，該雷達可以對瓦的信號作出反應，相比之下，本題所給的雷達的靈敏度就太差了，按照瓦的靈敏度重新計算，得到雷達的發射功率只需大于36千瓦即可，這就比較符合實際了第28頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三六、模型的檢驗完成模型的設計及求解之后，我們還需要對模型的各種性能作出評價，這就是模型的檢驗，它一般包括以下幾個方面：1、穩定性和敏感性分析數學模型它的價值在于能夠從已知的信息預測未知的東西，因此，一個好的數學模型的結果對模型所依賴的數據有較好的穩定性，這是其廣泛適用性的保證

以足球賽排名為例，用特征向量法求出排名結果后，隨意改變一兩場比賽結果，觀察排名結果的變動，發現變動很小，說明該模型對原如數據有較好的穩定性。第29頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三作為實際問題的一個近似描述，數學模型所預測的結果與實際數據總存在或多或少的偏差，這種偏差是來源于實驗觀測，還是由于模型的不完善造成的？為回答這個問題，應該對殘差（模型的計算結果與實驗數據的偏差）的分布作統計分析。如果殘差服從均值為0，且方差很小的正態分布，表示模型很好地反映了實際情況；如果殘差分布的均值不為0，則表明模型可能還需要進一點修正。2、統計檢驗和誤差分析第30頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三以AMCM-90A題大腦藥物分布為例，優秀論文作者先假設殘差服從正態分布，然后用顯著性水平a=0.01進行檢驗，發現不能通過原假設，隨后，又對對數殘差分別表示多巴胺濃度的觀測值和計算結果)進行檢驗，結果表明模型預測結果和實驗數據在數量級上是保持一致的。另一個重要的方面是，數據的測量中不可避免地存在的誤差，由于誤差的傳遞，模型結果（依賴于原始數據）必然有一定的不準確度，因此，估計結果的誤差范圍是必要的，這可以利用一般的誤差傳遞公式來計算，s為結果的標準差，Si（i=1,2,…）是每個觀測量的標準差，如AMCM-91A題對于水塔水流量的估計，用上述方法很容易計算出用水量總標準偏差為7.3%，大約相當于水塔容量的2.1%第31頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三數學建模即根據對實際問題的分析，提出新的模型或在原有一般模型的基礎上加以改進，將新建的模型與原來的模型進行比較，可以判斷新模型是否具有更大的合理性和優越性，

以CMCM-93B題(足球比賽的排名問題)為例，優秀論文用計算機模擬的方法對積分法和特征向量法的排名結果與各隊強弱順序（事先設定）進行比較，100次模擬的結果表明，特征向量法給出的結果的偏差明顯小于積分法的情況，顯示了所建模型的合理性的優越性。3、新舊模型的對比第32頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三MCM中的優化模型常常是對一個系統進行優化設計，使之盡