生物統計學第三講方差分析

方差分析應用范圍很廣，在推斷統計方法中常用來解決單因素或多因素中每個因素多個水平（處理）均數間的比較（包括均數間的多重比較，即兩兩比較）和多因素間交互作用的分析。

將k個處理的觀測值作為一個整體看待，把觀測值總變異的平方和及自由度分解為相應于不同變異來源的平方和及自由度，進而獲得不同變異來源總體方差估計值；通過計算這些總體方差的估計值的適當比值，就能檢驗各樣本所屬總體平均數是否相等。生物統計學第三講方差分析

幾個常用術語:1、試驗指標(experimentalindex)

為衡量試驗結果的好壞或處理效應的高低，在試驗中具體測定的性狀或觀測的項目稱為試驗指標。由于試驗目的不同，選擇的試驗指標也不相同。在畜禽、水產試驗中常用的試驗指標有：日增重、產仔數、產奶量、產蛋率、瘦肉率、某些生理生化和體型指標(如血糖含量、體高、體重)等。生物統計學第三講方差分析2、試驗因素(experimentalfactor)

試驗中所研究的影響試驗指標的因素叫試驗因素。如研究如何提高豬的日增重時，飼料的配方、豬的品種、飼養方式、環境溫濕度等都對日增重有影響，均可作為試驗因素來考慮。當試驗中考察的因素只有一個時，稱為單因素試驗；若同時研究兩個或兩個以上的因素對試驗指標的影響時，則稱為兩因素或多因素試驗。試驗因素常用大寫字母A、B、C、…等表示。生物統計學第三講方差分析3、因素水平(leveloffactor)

試驗因素所處的某種特定狀態或數量等級稱為因素水平，簡稱水平。如比較3個品種奶牛產奶量的高低，這3個品種就是奶牛品種這個試驗因素的3個水平；研究某種飼料中4種不同能量水平對肥育豬瘦肉率的影響，這4種特定的能量水平就是飼料能量這一試驗因素的4個水平。生物統計學第三講方差分析

因素水平用代表該因素的字母加添角標1，2，…，來表示。如A1、A2、…，B1、B2、…，等。

4、試驗處理(treatment)

事先設計好的實施在試驗單位上的具體項目叫試驗處理，簡稱處理。在單因素試驗中，實施在試驗單位上的具體項目就是試驗因素的某一水平。例如進行飼料的比較試驗時，實施在試驗單位(某種畜禽)上的具體項目就是喂飼某一種飼料。所以進行單因素試驗時，試驗因素的一個水平就是一個處理。生物統計學第三講方差分析

在多因素試驗中，實施在試驗單位上的具體項目是各因素的某一水平組合。例如進行3種飼料和3個品種對豬日增重影響的兩因素試驗，整個試驗共有3×3=9個水平組合，實施在試驗單位(試驗豬)上的具體項目就是某品種與某種飼料的結合。所以，在多因素試驗時，試驗因素的一個水平組合就是一個處理。生物統計學第三講方差分析5、試驗單位(experimentalunit)

在試驗中能接受不同試驗處理的獨立的試驗載體叫試驗單位。在畜禽、水產試驗中，一只家禽、一頭家畜、一只小白鼠、一尾魚，即一個動物；或幾只家禽、幾頭家畜、幾只小白鼠、幾尾魚，即一組動物都可作為試驗單位。試驗單位往往也是觀測數據的單位。生物統計學第三講方差分析6、重復(repetition)

在試驗中，將一個處理實施在兩個或兩個以上的試驗單位上，稱為處理有重復；一處理實施的試驗單位數稱為處理的重復數。例如，用某種飼料喂4頭豬，就說這個處理(飼料)有4次重復。生物統計學第三講方差分析3.1完全隨機設計的單因素方差分析

completelyrandomizeddesign完全隨機設計：成組設計的擴大只能分析一個因素，故稱“單因素方差分析”變異和自由度的分解

總變異：各觀察值之間的變異，包括處理因素的作用和隨機誤差（個體差異）。生物統計學第三講方差分析

完全隨機設計時，可以將總變異分解成組間變異和組內變異兩部分。

組間變異：處理組之間的變異，包括處理因素的作用和隨機變異。生物統計學第三講方差分析

組內變異：各處理組內不同觀察值之間的變異，反映隨機變異。相應地，自由度也分解成組間自由度和組內自由度：生物統計學第三講方差分析

顯然，組間變異和組內變異的大小都與自由度有關，為了可以比較，我們分別計算組間和組內均方生物統計學第三講方差分析方差分析：如果處理因素沒有作用，組間均方和組內均方應該相等。即使由于抽樣誤差的存在，兩者也不應相差太大。建立統計量F

檢驗時，生物統計學第三講方差分析例3.1三種配合飼料對肉雞增重效果的對比試驗，增重數值為（60天體重-1000g）如下表，試檢驗三種配合飼料的增重效果間是否存在差異。

該試驗統計設計是將受試肉雞30只隨機等分為三組，每組隨機分配一種飼料配方，形成試驗方案，故稱之為完全隨機設計，也稱該試驗是單因素——飼料配方、三個水平處理——A1A2A3、等重復——每個飼料重復飼喂10只肉雞的試驗。完全隨機設計中，各組也可以采用不等分的方式，但從統計設計角度要求，應盡可能采用各組等分的設計為好。A1(魚粉為主)7358713766265349655154.9A2(槐葉、苜蓿粉加魚粉)1658384220454461344940.7A3(槐葉、苜蓿粉加藥劑)846910678759079941119287.8生物統計學第三講方差分析

對該資料做單因素方差分析的前提是：各組數據均服從正態分布，且各組數據的方差具有齊性（總體σ21=σ22=…=σ2k）。首先做正態性檢驗和方差齊性檢驗（具體方法從略，本例直接由SPSS統計軟件給出結果）：三組經單樣本K-S檢驗，P值分別為：，P值均大于，即均符合正態分布。方差齊性檢驗，采用Levene’sTest法，統計量，三組方差具有齊性。再做方差分析：檢驗假設為H0：μ1=μ2=…=μk。本例H０：μ1=μ2=μ3

即三種飼料配方增重效果相同。檢驗原理是，從分析數據的變異原因入手，找出引起數據變異的主要原因，進而做出是否拒絕假設H0的結論。引起數據變異的原因是：

1.肯定有客觀存在的隨機誤差的影響；2.可能由飼料配方的不同引起。如果主要原因是后者，則拒絕H0；如果主要原因是前者，則不能拒絕H0。生物統計學第三講方差分析

具體方法：分別計算代表不同變異原因的平方和、自由度、方差（亦稱樣本均方）及F統計量，公式如下表：變異原因

平方和SS

自由度df

均方MSF統計量

總的

SST=∑∑(xij-)2/(N-1)

N-1

–

–

組間

SS組間=∑ni(xi-)2/(k-1)k-1MS組間=SS組間/(k-1)F=MS組間/MS誤差

組內

SS誤差=∑

∑(xij-)２/

(N-k)

N-kMS誤差=SS誤差/(N-k)–

=SST-SS組間（誤差）其中，ni為第I個樣本的容量，N為樣本數據總個數，k為比較的組數，為第I個樣本均數，為N個數據的均數。

F統計量的意義是，代表組間（不同飼料配方間）變異的方差，與代表客觀存在的組內（隨機誤差）變異的方差的比值。比值越大，就越有理由拒絕H0。_生物統計學第三講方差分析本例計算結果如表：

界值F0.05,（2,27）=3.35，F0.01,（2,27）=5.49，因F>F0.01,（2,27）,P<0.01（SPSS軟件給出P<0.001），即三種飼料配方增重效果間存在差異（不都相同）。

變異原因SSdfMSF

總的17243.46729–

–

飼料間11674.86725837.43328.303

誤差5568.60027206.244–生物統計學第三講方差分析

二、均數間的兩兩比較當方差分析F檢驗不能拒絕H0時，一般情況下分析結束；當方差分析F檢驗拒絕H0時，通常都進一步做均數間的兩兩比較（亦稱多重比較）。兩兩比較方法有許多種，下面介紹常用的三種方法。（一）LSD法（最小顯著差數法leastsignificantdifference

）計算及其標準誤差Sij=MS誤差（1/ni+1/nj）其中，ni,nj為的樣本容量，1≤i<j≤k。可以證明當來自同一總體（即μi=μj）時，

t=（）/Sij~t（df誤差）分布與t檢驗相仿，可做出結論。生物統計學第三講方差分析

上例3.1經LSD法做均數間的兩兩比較，由SPSS軟件給出檢驗結果為：

1與

2有差別，P=0.036

1與

3有差別，P<0.001

2與

3有差別，P<0.001

應注意的是，LSD法與t檢驗的差別在于，MS誤差、df誤差是方差分析中綜合全體數據計算的統計量，而t檢驗中t統計量的分母S，僅是第i、j兩個樣本計算的統計量。下面介紹的SNK法、Dunnett法以及其它兩兩比較方法中，誤差的估計均采用方差分析中的MS誤差。因此，兩兩比較中誤差估計要比t檢驗準確和精確。生物統計學第三講方差分析

（二）Dunnett法（各試驗組與對照組均數的比較）當統計設計為各試驗組與對照組比較時，不論方差分析是否拒絕H0，均可做各試驗組與對照組均數比較的Dunnett法檢驗。計算及其標準誤差S試驗、對照=MS誤差(１/n試驗+１/n對照)可證明，當來自同一總體（即μ試驗=μ對照）

q′=（）/S試驗、對照~q′（df誤差,a）分布其中，a的意義同SNK法。在例3.1中，不妨設A1飼料為對照組，經Dunnett法檢驗，由

SPSS軟件給出結果為：A2與A1差別無顯著意義，即不能說明μ2與μ1有差別，P=0.065>0.05；

3與

1有差別，。生物統計學第三講方差分析

統計分析結果的報告格式為：

三組經單樣本K-S檢驗，P值分別為：，P值均大于，即均符合正態分布。方差齊性檢驗，，，三組方差具有齊性。方差分析，，，即三種飼料配方增重效果不都相同。兩兩比較SNK法，每兩組間均存在差異，。

有關可信區間從略。上述關于完全隨機設計單因素方差分析的基本原理及方法，可推廣至其它方差分析方法，除有特殊區別之處外，不再贅述。生物統計學第三講方差分析

該試驗統計設計是配對試驗設計的推廣，選定三個區組，要求每個區組內，土壤條件盡可能一致，并分成8塊，隨機分配種植8個品種的小麥，使得在每個區組上，8個品種間均具有良好的可比性。而區組的數目即為每個品種重復試驗的次數，本例重復數為3。3.2隨機區組設計方差分析

randomizedblockdesign

例3.28個小麥品種對比試驗，在3個地塊上進行，記錄規定面積產量（kg）數據如下表，試檢驗8個品種產量間有無差異。A110.911.312.2A210.812.314.0A311.112.510.5A49.110.711.1A511.813.914.8A610.110.611.8A710.011.514.1A89.310.412.4區組品種B1B2B3

這是一個單因素8水平（k=8）、重復數為3（n=3）的隨機化完全區組設計，簡稱隨機區組設計。（SPSS操作中將區組也看成一個固定因素，因此選擇雙因素主效應分析）生物統計學第三講方差分析

又如三種藥物對小鼠體重增加值（g）影響的對比試驗中，選5窩小鼠，每窩選同性別、同體重小鼠各3只，并隨機分配接受三種藥物的處理，形成試驗方案，如下表。這是一個單因素3水平（k=3）、重復數為5（n=5）的隨機區組設計。

與完全隨機設計相比，區組設計更精細，一般試驗誤差將因扣除區組間的變異而減小，檢驗出可能存在的不同水平處理間的差異的靈敏度提高了。對隨機區組設計資料的方差分析，12732160241479632536115452651355143976區組藥物ABC包括后面介紹的其它方差分析方法，也有關于正態性、方差齊性的前前提要求，但實際分析時，一般不做這兩方面的檢驗。生物統計學第三講方差分析

方差分析：假設H0：μ1=μ2=…=μk。本例3.2H０：μ1=μ2=…=μ8即8個品種小麥的產量相同。隨機區組設計資料的變異原因比完全隨機設計多了一個，具體計算公式如下表：

其中，k為水平處理數，n為區組數，N=kn。當H0為真時，F~F（df處理，df誤差）分布變異原因SSdfMSF

總的SST=∑∑(xij–x)2/(N-1)

N-1

–

–

處理間SS處理=∑n(xi-x)2/(k-1)k-1MS處理=SS處理/(k-1)F=MS處理/MS誤差區組間SS區組=∑k（xj-x）2/(n-1)n-1…

–

誤差SS誤差=SST-SS處理-SS區組(k-1)(n-1)MS誤差=SS誤差/[(k-1)(n-1)]–生物統計學第三講方差分析SPSS軟件給出P=0.009,各品種產量總體均值不都相同。兩兩比較采用SNK法，結果為：品種μ5分別與品種μ4、μ6、μ8之間存在差異，P<0.05；其余各品種間差異均無顯著意義（即不能說明它們的總體均值間存在差異）。采用LSD法，結果為：μ1≠μ5,P=0.011;μ2≠μ4,P=0.01;μ2≠μ6,P=0.046;μ2≠μ8,

P=0.032;μ3≠μ5,P=0.009;μ4≠μ5,P<0.001;μ4≠μ7,P=0.042;μ5≠μ6,P=0.002;μ5≠μ7,P=0.035;μ5≠μ8,P=0.001;其余各品種間差異無顯著意義（不能說它們的總體均值間存在差異）。本例計算結果如表：變異原因SSdfMSF

總的52.40023–

–

品種間22.22773.1754.337

區組間19.9222…

…

誤差10.251140.732–生物統計學第三講方差分析

統計分析結果的報告格式為：經方差分析，不同品種小麥間比較F=4.337，P=0.009,即8個品種小麥的規定面積產量不都相同。兩兩比較SNK法，品種μ5分別與品種μ4、μ6、μ8之間存在差異，P均小于0.05；其余各品種間差異均無顯著意義，P均大于0.05。生物統計學第三講方差分析

這是一個雙因素試驗，溫度因素有3個水平，地區因素有7個水平，在雙因素試驗中，水平組合為處理，這里共3×7=21個不同處理，因每個處理只有一個試驗數據，故稱之為處理無重復的設計。方差分析原理、方法與上節隨機區組設計完全相同，只是上節中的區組在這里換成了另一個試驗因素。3.3兩因素處理無重復設計方差分析

例3.3來自7個不同地區的戰士各1人，分別在3種不同的氣溫下，以相同速度做相等距離的行軍后，測定其生理緊張指數，數據如下表。試檢驗：1.不同溫度下生理緊張指數有無差異；2.不同地區戰士間生理緊張指數有無差異。12.833.163.4021.572.112.4631.982.302.9942.262.413.1252.052.032.8461.852.522.5371.331.962.38

溫度27.0°29.5°31.2°地區（SPSS操作：選擇雙固定因素主效應分析）生物統計學第三講方差分析

統計分析結果的報告格式為：不同溫度下生理緊張指數總體均值不都相同，F=41.262,P<0.001；不同地區戰士間生理緊張指數總體均值不都相同。兩兩比較采用LSD法：溫度間比較：

μ1≠μ2,P=0.002;μ1≠μ3,P<0.001;μ2≠μ3,P<0.001。地區間比較：

μ1分別與μ2…μ7均有差異，均有；μ2≠μ3，P=0.02;μ2≠μ4,P=0.002;μ3≠μ7,P=0.003;μ4≠μ7,P<0.001;μ5≠μ7,P=0.012;μ6≠μ7。有關可信區間從略。

檢驗假設有兩個：1.H0：μ1=μ2=μ3即不同溫度下生理緊張指數相同；2.H0：μ1=μ2=…=μ7即不同地區戰士間生理緊張指數相同。方差分析結果如下表：變異原因SSdfMSF

總的5.73320–

–

溫度間2.45321.22741.262

地區間2.92260.48716.384

誤差0.357120.02973–生物統計學第三講方差分析

用n階拉丁方安排試驗，最多可安排三個因素——行因素、列因素、字母因素，每個因素均為n個水平。也可安排一個因素和兩個區組，或安排兩個因素和一個區組。3.4拉丁方設計方差分析

latinsquaredesign

一、n階拉丁方

n階拉丁方是由n個不同的拉丁字母排列成n行n列的方塊，每個字母在每行每列中都出現且只出現一次。例如：5階拉丁方ABCDEBCDEACDEABDEABCEABCD3階拉丁方

ABCBCACAB生物統計學第三講方差分析

該試驗的統計設計是，首先由三因素的等水平數n=5，選擇一個5階拉丁方，比如上面給出的拉丁方；然后將行隨機調整后對應1~5品種；再將列隨機調整后對應Ⅰ~Ⅴ階段；最后將5種飼料隨機對應A、B、C、D、E5個字母。形成試驗方案，如表所示。試驗結果產乳量記錄在相應位置上，以備做方差分析。

二、拉丁方設計與方差分析例3.4用5頭不同品種奶牛，在5個不同的階段，分別飼喂5種不同飼料，記錄產乳量（kg）如下表。試檢驗：1.不同品種、2.不同階段、3.不同飼料間產乳量有無差異。1E300A320B390C390D3802D420C390E280B370A2703B350E360D400A260C4004A280D400C390E280B3705C400B380A350D430E320品種階段ⅠⅡⅢⅣⅤ注：A、B、C、D、E代表5種飼料（SPSS操作：選擇三個固定因素主效應分析）生物統計學第三講方差分析

方差分析：假設H0:μ1=…=μ5,分別表示對總體平均產乳量而言：

1.5種飼料間效果無差異；2.5個階段間無差異；3.5個品種間無差異。方差分析公式及計算結果如下表：

變異原因SSdfMS=SS/dfF

總的SST=∑∑()2n２-1=24--=63224

飼料間SS飼料=∑5()2n-1=412626.000MS飼料/MS誤差=20.608=50504

品種間SS品種=∑5()2n-1=4806.000MS品種/MS誤差=1.316=3224

階段間SS階段=∑5()2n-1=4536.000MS階段/MS誤差=0.875=2144

誤差SS誤差=SST-SS飼料-SS品種-SS階段612.667-

=7352n２-3n+2=12生物統計學第三講方差分析

統計分析結果的報告格式為：不同飼料組總體平均產乳量不都相同，F=20.608,P<0.001；不同品種間、，不同階段間、，差異均無顯著意義（不能說明相應各總體平均產乳量間有差異）。兩兩比較，對不同飼料用LSD法，結果為：μA≠μB、μA≠μC、μA≠μD，；μB≠μE，；μC≠μE，；μD≠μE，；其它情況均不能說明有差異。上例當專業上對飼料、品種、階段都想做研究時，可視為三因素試驗；當專業上僅想對飼料進行研究，拉丁方可把品種、階段做為區組進行誤差控制，此時可視為單因素飼料和兩個區組品種、階段的試驗；當專業上僅想對飼料、品種兩個因素進行研究時，拉丁方可把階段做為區組進行誤差控制，此時又可視為兩因素飼料、品種和一個區組階段的試驗。生物統計學第三講方差分析

在多因素試驗設計中，當對各個因素的水平進行全面組合，即對所有水平組合——處理進行全面試驗時，稱為析因設計（亦稱交叉分組全面試驗設計）。析因設計的一般方法是，先確定因素、水平，再列出全部水平組合——

處理，然后對每個處理確定實驗單位的數量，即處理的重復數。如果每個處理只設1個試驗單位，則稱為處理無重復析因試驗；如果每個處理有重復，且重復的試驗單位是完全隨機分配的，則稱之為處理有重復完全隨機析因設計（一般采用等重復設計）；如果處理重復的試驗單位是采用區組設計或拉丁方設計分配的，則稱之為處理有重復區組或拉丁方析因設計。這里僅介紹處理有重復完全隨機析因設計及其方差分析方法。3.5析因設計方差分析

factorialexperimentaldesign生物統計學第三講方差分析

交互作用（或交互效應），可能存在于因素之間。以表中數據為例，B1不變，A1→A2,平均值增加了28-24=4;B2不變，A1→A2,平均值增加了52–44=8。可見B對A有影響，由于B1→B2，至使A1→A2的增加值又增加了8–4=4。這里可以說A、B間可能存在交互作用，對表面存在的交互作用還需與試驗誤差比較，進行檢驗。

例3.5在研究家兔神經縫合后的軸突通過率（%）時，考慮縫合部位和縫合時間兩個因素各兩個水平，共4個處理。每個處理隨機分配5只家兔進行試驗。試驗結果如下表。試檢驗：1.不同縫合部位間、2.縫合后不同時間間總體平均軸突通過率有無差異、3.縫合部位與縫合后時間間有無交互作用。1030105010302050407030705060506010303030A1外膜縫合B1縫合1月B2縫合2月A2囊膜縫合B1縫合1月B2縫合2月24442852（SPSS操作：選擇雙固定因素全模型分析）生物統計學第三講方差分析

交互作用的實例很多，比如中草藥配方的藥效，不完全是其中每一位藥藥效的簡單迭加，常常會有因各位藥的科學配合使用而產生的特別效果；農作物種植中，各種肥料的科學配合施用，增產的數量會超過其中每種肥料單獨施用時所增產量的合計。當然，不合理、不科學的中藥配方和施肥方案，也會帶來負作用和減產。因此，交互作用常分為協同作用和拮抗作用。對交互作用的研究分析，就是為了揚其長避其短，更好地利用交互作用。生物統計學第三講方差分析

方差分析：假設H0：μ1=μ2，分別表示不同縫合部位總體平均軸突通過率相同；不同縫合時間總體平均軸突通過率相同;部位與時間無交互作用。方差分析結果如下表（由SPSS軟件計算，公式略）：

統計分析結果的報告格式為：縫后不同時間總體平均軸突通過率不同，縫后2月高于1月，F=8.067,P=0.012;尚不能說明不同部位總體平均軸突通過率不同，F=0.600,P=0.450;也不能說明縫合部位與縫后時間間有交互作用，，。因水平數為2，不需兩兩比較。注意：1.析因設計中，處理若無重復，則不能分析交互作用。

2.多因素、多水平析因設計中，處理數隨因素數、水平數增加而大幅增加。因此，當因素數、水平數較多時，可選擇下節介紹的正交設計方法，以大大減少處理數。實際中，析因設計常用于多因素且均為2水平的試驗中

變異原因SSdfMSFP

總的742019–

–

–縫合部位間A18011800.6000.450縫合時間間B2420124208.0670.012交互作用A×B201200.0670.800

誤差480016300–

–生物統計學第三講方差分析

正交設計是選用現成的正交表安排試驗的統計設計方法，它一般適用于多因素統計設計。按各因素水平數是否相同，正交表可分為等水平表Lm(nk)（其中L表示正交表；n為等水平數；k為正交表的列數，即最多可安排的因素數；m為正交表的行數，即所需的試驗樣品即處理數）和混合水平表兩大類。常用的等水平正交表有：

2水平的L4(2３)、L8(2７)、L16(215)等；3水平的L9(34)、L27(313)等；

4水平的L16(45);5水平的L25(56)等，混合水平表從略。利用正交表設計試驗，首先是選擇適合的正交表，然后把試驗因素（有時包括交互作用）和水平合理地安排到正交表中，形成試驗方案，最終的試驗結果（定量指標）可用方差分析處理。3.6正交設計方差分析

theorthogonaldesign生物統計學第三講方差分析

例3.6為研究5種維生素即5個因素（不妨設為A、B、C、D、E）對肉雞增重的影響，每個維生素采用喂（1）和不喂（2）兩個水平，且專業上認為各因素間無交互作用，現做正交設計。先由等水平數2和因素數5考慮，可選擇L8（2７）或L16（215）正交表如下：試驗號12345671111111121112222312211224122221152121212621221217221122182212112L８（2７）表1（1）3254762（2）167453（3）76544（4）1235（5）326（6）17（7）L８（2７）對應的二列間的交互作用表列號1234567列號生物統計學第三講方差分析試驗號12345678910111213141511111111111111112111111122222222311122221111222241112222222211115122112211221122612211222211221171222211112222118122221122111122921212121212121210212121221212121112122121121221211221221212121121213221122112211221142211221211221121522121121221211216221211221121221

L１６（215）表

123456789101112131415

（1）（1）32547698111013121514

（2）（2）1674510118914151213

（3）（3）765411109815141312

（4）（4）12312131415891011

（5）（5）3213121514981110

（6）（6）114151213101189

（7）（7）15141312111098

（8）（8）1234567

（9）（9）325476（10）（10）16745（11）（11）7654（12）（12）123（13）（13）32（14）（14）1L１６（215）對應的二列間的交互作用表列號列號生物統計學第三講方差分析

因不考慮交互作用可選L8（2７），7個列可任意安排5個因素，所空兩列作為誤差估計列。但如果實際中各因素間部分存在（比如僅A、B間存在）交互作用，由對應的二列間的交互作用表可知，若將A、B安排1、2列上，其交互作用A×B將占有第3列，其余4個列可任意安排另3個因素，所空一列仍可估計誤差。但如果再有A、C間存在交互作用，若C占第4列，A×C占第5列，則D、E排滿6、7列，因已無空列，故無法估計誤差，也就無法做方差分析。這時就應選擇L16（215）表安排實驗。一般兩因素交互作用占有另外的n(水平數)–1列（2水平占1列、3水平占2列…），各因素自由度為(n–1)，交互作用自由度為所占列的自由度之和，總自由度為m-1。設計時，只有總自由度大于等于各因素及交互作用自由度之和時，才能估計誤差，并做方差分析。否則只能犧牲某個相對次要的因素或交互作用，以其占有的列來估計誤差。生物統計學第三講方差分析

統計分析結果的報告格式為：僅維生素D喂與不喂增重不同，；尚不能說明其它維生素喂與不喂增重不同,均有P>0.05。因水平數為2，不需做兩兩比較。

本例不考慮交互作用，所選擇的試驗方案及試驗結果如下表。試分別檢驗5種維生素喂與不喂間，肉雞增重是否有差異。試驗號ABCD56E增重(g)

1111111116221112222172312211221684122221119052121212178621221212157221122116282212112182注：A、B、C、D、E中1：不喂；2.喂

方差分析：假設H0：μ1=μ2分別表示對總體平均增重而言，每個維生素喂與不喂均無差異。方差分析結果如下表（由SPSS軟件計算，公式略）：變異原因SSdfMSFP

總的2173.8757–

–

–A間253.1251253.1256.2310.130B間78.125178.1251.9230.300C間666.1251666.12516.3970.056D間990.1251990.12524.3720.039E間105.1251105.1252.5880.249

誤差81.125240.625–

–（SPSS操作：選擇5固定因素主效應分析）生物統計學第三講方差分析

正交設計的優點是：

1.與析因設計相比，在多因素、多水平條件下，可大大減少試驗處理數（試驗樣品數）。例如上例中5因素各2水平全部組合即處理有2５=32個，正交設計只做了其中有代表性的8個部分試驗。

2.m個處理中各水平搭配具有均衡性，這種均衡性保證了m個部分處理試驗對全部處理試驗有較好的代表性。生物統計學第三講方差分析

當方差分析中試驗指標變量y受到某個指標x的影響，而x的影響在方差分析統計設計中又難以控制時，可將對應試驗指標y的x值與y相對應同時記錄下來，x稱為協變量。對帶有協變量的方差分析資料，通過協方差分析，可以扣除掉協變量x對y的影響，即把對應不同x值的各試驗指標變量y的值，統一校正到假定x值相同的各y值，然后再做相應的方差分析、兩兩比較，并計算各水平、處理下的校正的均值等統計量，以對試驗結果的真實效應做出客觀的評價。因協方差分析的原理、公式和計算都很復雜，故從略，并直接給出SPSS統計軟件計算的結果。3.7協方差分析生物統計學第三講方差分析

一、完全隨機設計單因素協方差分析例3.74種飼料A1、A2、A3、A4各喂10頭豬，受試豬的始重x及日增重y如下表。考慮到始重的不同對增重的影響會干擾對不同飼料增重效果的比較研究，故把始重做為協變量，對不同飼料增重效果間的比較做協方差分析。360.89280.64280.55320.52300.80270.81330.62270.58260.74270.73260.58250.6423