動態平衡問題平衡中的臨界、極值問題目標要求1.學會用圖解法、解析法等解決動態平衡問題.2.會分析平衡中的臨界與極值問題.專題強化三

內容索引題型一動態平衡問題題型二平衡中的臨界、極值問題課時精練題型一動態平衡問題1.動態平衡是指物體的受力狀態緩慢發生變化，但在變化過程中，每一個狀態均可視為平衡狀態.2.做題流程3.常用方法(1)圖解法此法常用于定性分析三力平衡問題中，已知一個力是恒力、另一個力方向不變的情況.(2)解析法對研究對象進行受力分析，畫出受力示意圖，根據物體的平衡條件列方程或根據相似三角形、正弦定理，得到因變量與自變量的函數表達式(通常為三角函數關系)，最后根據自變量的變化確定因變量的變化.1.一個力恒定，另一個力始終與恒定的力垂直，三力可構成直角三角形，可作不同狀態下的直角三角形，分析力的大小變化，如圖甲所示.2.一力恒定，另一力與恒定的力不垂直但方向不變，作出不同狀態下的矢量三角形，確定力大小的變化，在變化過程中恒力之外的兩力垂直時，會有極值出現，如圖乙所示.考向1

“一力恒定，另一力方向不變”的動態平衡問題例1

(多選)如圖所示，在粗糙水平地面上放著一個截面為四分之一圓弧的柱狀物體A，A的左端緊靠豎直墻，A與豎直墻之間放一光滑圓球B，已知A物體的半徑為球B的半徑的3倍，球B所受的重力為G，整個裝置處于靜止狀態.設墻壁對B的支持力為F1，A對B的支持力為F2，若把A向右移動少許后，它們仍處于靜止狀態，則F1、F2的變化情況分別是A.F1減小 B.F1增大C.F2增大 D.F2減小√√以球B為研究對象，受力分析如圖所示，可得出F1＝Gtanθ，F2＝

，當A向右移動少許后，θ減小，則F1減小，F2減小，故A、D正確.例2

(多選)如圖所示，在傾角為α的斜面上，放一質量為m的小球，小球和斜面及擋板間均無摩擦，當擋板繞O點逆時針緩慢地轉向水平位置的過程中A.斜面對球的支持力逐漸增大B.斜面對球的支持力逐漸減小C.擋板對小球的彈力先減小后增大D.擋板對小球的彈力先增大后減小√√對小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力N1和擋板的彈力N2，如圖，當擋板繞O點逆時針緩慢地轉向水平位置的過程中，小球所受的合力為零，根據平衡條件得知，N1和N2的合力與重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三個不同位置力的受力分析圖，由圖看出，斜面對小球的支持力N1逐漸減小，擋板對小球的彈力N2先減小后增大，當N1和N2垂直時，彈力N2最小，故選項B、C正確，A、D錯誤.1.一力恒定(如重力)，其他二力的方向均變化，但二力分別與繩子、兩物體重心連線方向等平行，即三力構成的矢量三角形與繩長、半徑、高度等實際幾何三角形相似，則對應邊比值相等.基本矢量圖，如圖所示考向2

“一力恒定，另兩力方向均變化”的動態平衡問題√受力分析如圖所示，力三角形與幾何三角形(△O2OO1)相似，則有

，因為O2O1、OO1長度不變，故N大小不變，OO2長度變短，故F變小，故A正確，B、C、D錯誤.2.一力恒定，另外兩力方向一直變化，但兩力的夾角不變，作出不同狀態的矢量三角形，利用兩力夾角不變，結合正弦定理列式求解，也可以作出動態圓，恒力為圓的一條弦，根據不同位置判斷各力的大小變化.基本矢量圖，如圖所示例4

(多選)如圖，柔軟輕繩ON的一端O固定，其中間某點M拴一重物，用手拉住繩的另一端N.初始時，OM豎直且MN被拉直，OM與MN之間的夾角為α(α＞

).現將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角α不變.在OM由豎直被拉到水平的過程中A.MN上的張力逐漸增大B.MN上的張力先增大后減小C.OM上的張力逐漸增大D.OM上的張力先增大后減小√√以重物為研究對象分析受力情況，受重力mg、OM繩上拉力F2、MN上拉力F1，由題意知，三個力的合力始終為零，矢量三角形如圖所示，F1、F2的夾角不變，在F2轉至水平的過程中，矢量三角形在同一外接圓上，由圖可知，MN上的張力F1逐漸增大，OM上的張力F2先增大后減小，所以A、D正確，B、C錯誤.一力恒定，另外兩力方向均變化時常采用的方法有相似三角形、正弦定理或利用兩力夾角不變作出動態圓，恒力為圓的一條弦，根據不同位置判斷各力的大小變化.方法點撥考向3

“活結”的動態分析例5

如圖所示，在豎直放置的穹形支架上，一根長度不變且不可伸長的輕繩通過輕質光滑滑輪懸掛一重物G.現將輕繩的一端固定于支架上的A點，另一端從B點沿支架緩慢地向C點靠近(C點與A點等高).則在此過程中繩中拉力A.先變大后不變B.先變大后變小C.先變小后不變D.先變小后變大√對滑輪受力分析如圖甲所示，由于跨過滑輪的繩子拉力一定相等，即F1＝F2，由幾何關系易知繩子拉力方向與豎直方向夾角相等，設為θ，可知其中d為兩端點間的水平距離，由B點向C點移動過程中，d先變大后不變，因此θ先變大后不變，由①式可知繩中拉力先變大后不變，故A正確.題型二平衡中的臨界、極值問題1.臨界問題當某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態“恰好出現”或“恰好不出現”，在問題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”等.臨界問題常見的種類：(1)由靜止到運動，摩擦力達到最大靜摩擦力.(2)繩子恰好繃緊，拉力F＝0.(3)剛好離開接觸面，支持力N＝0.2.極值問題平衡中的極值問題，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題.3.解題方法(1)極限法：首先要正確地進行受力分析和變化過程分析，找出平衡的臨界點和極值點；臨界條件必須在變化中去尋找，不能停留在一個狀態來研究臨界問題，而要把某個物理量推向極端，即極大和極小.(2)數學分析法：通過對問題的分析，根據物體的平衡條件寫出物理量之間的函數關系(或畫出函數圖像)，用數學方法求極值(如求二次函數極值、公式極值、三角函數極值).(3)物理分析方法：根據物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定則進行動態分析，確定最大值與最小值.例6

如圖所示，物體的質量為m＝5kg，兩根輕細繩AB和AC的一端固定于豎直墻上，另一端系于物體上(∠BAC＝θ＝60°)，在物體上另施加一個方向與水平線也成θ角的拉力F，若要使兩繩都能伸直，求拉力F的大小范圍.(g取10m/s2)設AB繩的拉力為F1，AC繩的拉力為F2，對物體受力分析，由平衡條件有Fcosθ－F2－F1cosθ＝0，Fsinθ＋F1sinθ－mg＝0，若要使兩繩都能伸直，則有F1≥0，F2≥0，例7

如圖所示，質量m＝5.2kg的金屬塊放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0＝2.0m/s的速度做勻速直線運動.已知金屬塊與地面間的動摩擦因數μ＝，g＝10m/s2.求所需拉力F的最小值.三課時精練1.如圖所示，在水平放置的木棒上的M、N兩點，系著一根不可伸長的柔軟輕繩，繩上套有一光滑小金屬環.現將木棒繞其左端逆時針緩慢轉動一個小角度，則關于輕繩對M、N兩點的拉力F1、F2的變化情況，下列判斷正確的是A.F1和F2都變大 B.F1變大，F2變小C.F1和F2都變小 D.F1變小，F2變大基礎落實練√12345678910111213由于是一根不可伸長的柔軟輕繩，所以繩子的拉力大小相等.木棒繞其左端逆時針緩慢轉動一個小角度后，繩子之間的夾角變小，繩對小金屬環的合力大小等于小金屬環的重力大小，保持不變，所以繩子上的拉力變小，選項C正確，A、B、D錯誤.123456789101112132.(2023·山東煙臺市高三模擬)如圖所示，用一個質量不計的網兜把足球掛在光滑豎直墻壁上的A點，足球與墻壁的接觸點為B.若只增大懸繩的長度，足球始終保持靜止狀態，關于懸繩對球的拉力F和墻壁對球的支持力N，下列說法正確的是A.F和N都增大B.F增大，N減小C.F減小，N增大D.F和N的合力不變123456789101112√13123456789101112對球受力分析，由平衡條件得懸繩對球的拉力滿足Fcos

θ＝mg，墻壁對球的支持力滿足tanθ＝

，所以當增大懸繩的長度時，夾角θ減小，則由幾何關系知cosθ增大，tanθ減小，所以F和N都減小，故A、B、C錯誤；因為足球始終保持靜止狀態，所以F和N的合力始終與mg等大反向，故D正確.131234567891011123.如圖所示，輕繩PQ能承受的最大張力為80N，現用它懸掛一質量為4kg的物體，然后在輕繩的中點O施加一水平向左的力F，使中點O緩慢向左移動，已知重力加速度g＝10m/s2，則當輕繩斷裂瞬間，繩的PO段與豎直方向的夾角為A.30° B.45°C.53° D.60°√13123456789101112設當輕繩斷裂瞬間，繩的PO段與豎直方向的夾角為θ，由平衡條件可得cosθ＝

，解得θ＝60°，D正確.134.(2023·廣東汕尾市高三月考)新疆是我國最大的產棉區，在新疆超出70%棉田都是通過機械自動化采收，自動采棉機能夠在采摘棉花的同時將棉花打包成圓柱形棉包，通過采棉機后側可以旋轉的支架平穩將其放下，放下棉包的過程可以簡化為如圖所示模型，質量為m的棉包放在“V”型擋板上，兩板間夾角為120°固定不變，“V”型擋板可繞P軸在豎直面內轉動.初始時BP板水平，在使BP板逆時針緩慢轉動60°的過程中，忽略“V”型擋板對棉包的摩擦力，下列說法正確的是12345678910111213A.BP板水平時，棉包受到兩個力的作用B.當BP板轉過60°，AP板水平時，棉包受到三個力

的作用C.當BP板轉過30°時，棉包對AP板和BP板的作用力大小不相等D.在轉動過程中棉包對BP板的壓力不變123456789101112√13123456789101112BP板水平時或AP板水平時棉包都只受到重力和支持力兩個力作用，故A正確，B錯誤；當BP板轉過30°時，兩板與水平方向夾角相等，由對稱性知，棉包對AP板和BP板的作用力大小相等，故C錯誤；在轉動過程中棉包對BP板的壓力減小，故D錯誤.13123456789101112√√13123456789101112設小球和柱體圓心的連線與水平方向的夾角為α，細線對小球的拉力為F，柱體對小球的支持力為N1，根據平衡條件得F＝m球gcosα，N1＝m球gsinα.將小球從M點緩慢向上拉至半圓最高點的過程中，α增大，細線對小球的拉力F減小，柱體對小球的支持力N1增大，則小球對柱體的壓力增大，A錯誤，B正確；13123456789101112設柱體受到水平地面的支持力為N2，豎直墻面對柱體的壓力為N3，對整體根據平衡條件得N2＋Fcosα＝(m球＋m柱)g，N3＝Fsinα，解得N2＝(m球＋m柱)g－m球gcos2

α，N3＝

m球gsin2α，則小球從M點緩慢向上拉至半圓最高點的過程中，α增大，柱體受到水平地面的支持力N2逐漸增大，豎直墻面對柱體的壓力N3先增大后減小，C錯誤，D正確.13123456789101112√13123456789101112由題意可知，重物和健身者一直處于動態平衡狀態，由平衡條件可知，健身者所受合力等于零，繩上的拉力大小不變，其大小等于重物的重力mg，A、B錯誤；對健身者受力分析，如圖所示，由平衡條件可知，在豎直方向，則有Tsinθ＋N＝Mg，又有T＝mg，可得N＝Mg－mgsinθ，在水平方向，則有Tcosθ＝f，當從B水平緩慢移到A時，θ角逐漸變小，地面對健身者的支持力逐漸變大，地面對健身者的摩擦力逐漸變大，由牛頓第三定律可知，健身者對地面的壓力逐漸增大，健身者對地面的摩擦力逐漸增大，C錯誤，D正確.137.(2023·云南昆明市檢測)如圖所示，兩質量均為m的小球a、b(均可看成質點)固定在輕桿兩端，用兩條與輕桿等長的細線懸掛在O點，整個系統靜止時，細線和輕桿構成正三角形，用力F緩慢拉動小球b，保持兩細線繃緊，最終使連接a球的細線豎直，重力加速度大小為g，則連接a球的細線豎直時，力F的最小值是123456789101112能力綜合練√13123456789101112末狀態時，左邊小球a在最低點，細線Oa處于豎直方向，小球a處于平衡狀態，合外力沿水平方向的分量為零，則此時輕桿上的彈力為零，故右側小球b受到重力、細線Ob的拉力和力F作用處于平衡狀態，如圖所示，由幾何關系可知，當拉力F方向與Ob垂直時拉力F最小，可得最小拉力Fmin＝mgsin60°＝

mg，選項B正確，A、C、D錯誤.138.如圖所示為一簡易起重裝置，AC是上端帶有滑輪的固定支架，BC為質量不計的輕桿，桿的一端C用鉸鏈固定在支架上，另一端B懸掛一個質量為m的重物，并用鋼絲繩跨過滑輪A連接在卷揚機上.開始時，桿BC與AC的夾角∠BCA>90°，現使∠BCA緩慢變小，直到∠BCA＝30°(不計一切阻力).在此過程中，桿BC所產生的彈力A.大小不變 B.逐漸增大C.先增大后減小 D.先減小后增大123456789101112√13123456789101112以結點B為研究對象，分析受力情況，作出力的合成圖如圖，根據平衡條件知，F、N的合力F合與G大小相等、方向相反.∠BCA緩慢變小的過程中，AB變小，而AC、BC不變，則F變小，N不變，故桿BC所產生的彈力大小不變，故選A.139.(2023·福建省模擬)如圖所示，一內表面光滑的半圓形凹槽放在粗糙的水平地面上，一物塊(可看作質點)靜置于槽內底部的A點處(在圓心O正下方).現用一方向不變的斜向上的推力F把物塊從A點沿著凹槽緩慢推至B點，整個過程中，凹槽始終保持靜止.設物塊受到凹槽的支持力為N，則在上述過程中A.F一直增大，N先減小后增大B.F和N都一直增大C.地面對凹槽的支持力先減小后增大D.地面對凹槽的摩擦力保持不變√12345678910111213物塊受重力、推力F、凹槽的支持力N，根據力的三角形定則可知F一直增大，N先減小后增大，故A正確，B錯誤；以整體為研究對象，受力分析得地面對凹槽的支持力N′＝(m＋M)g－Fsinθ，地面對凹槽的摩擦力f＝Fcosθ，由于F一直增大，則地面對凹槽的支持力一直減小，摩擦力一直增大，故C、D錯誤.1234567891011121310.(2023·河北唐山市模擬)北方農村秋冬季節常用金屬絲網圍成圓柱形糧倉儲存玉米棒，某糧倉由于玉米棒裝的不勻稱而發生傾斜現象，為避免傾倒，在左側用木棍支撐，如圖所示.若支撐點距水平地面的高度為

m，木棍與水平地面間的動摩擦因數為

，木棍重力不計，糧倉對木棍的作用力沿木棍方向，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，為使木棍下端不發生側滑，則木棍的長度最大為123456789101112√13123456789101112設木棍與水平方向夾角為θ，木棍長度為L，糧倉對木棍的作用力大小為F，則為使木棍下端一定不發生側滑，由平衡條件有Fcosθ≤μFsinθ，由幾何知識有tanθ＝

，兩式聯立解得L≤2m，即木棍的長度最大為2m，故A、B、D錯誤，C正確.1311.(多選)如圖所示，一光滑的輕滑輪用細繩OO′懸掛于O點；另一細繩跨過滑輪，其一端懸掛質量為m的物塊A，另一端系一位于固定光滑斜面上且質量為2m的物塊B，斜面傾角θ＝45°，外力F沿斜面向上拉物塊B，使物塊B由滑輪正下方位置緩慢運動到和滑輪等高的位置，則A.細繩OO′的拉力先減小后增大B.細繩對物塊B的拉力大小不變C.斜面對物塊B的支持力先減小后增大D.外力F逐漸變大123456789101112√√√13123456789101112由題可知，物塊緩慢移動，整體處于動態平衡狀態，則繩OO′的拉力大小等于下面繩對A的拉力和繩對B的拉力的合力大小，由于繩對A的拉力和繩對B的拉力大小相等，都等于A物塊的重力的大小，但是由于B物塊上移，導致二者之間的夾角變大，則根據平行四邊形定則可知合力變小，即繩OO′的拉力逐漸減小，故A錯誤，B正確；13123456789101112對物塊B受力分析如圖所示，當物塊B上移時，α先減小后增大，在垂直斜面方向根據平衡條件可知，斜面對物塊B的支持力先減小后增大，在沿斜面方向根據平衡條件可知，外力F逐漸變大，故C、D正確.1312.(2020·山東卷·8)如圖所示，一輕質光滑定滑輪固定在傾斜木板上，質