第五章線性系統的根軌跡法2021年6月28日2時17分1根軌跡的基本概念根軌跡的繪制規則廣義根軌跡零度根軌跡系統性能分析本章重點2021年6月28日2時17分2根軌跡的概念、幅值條件、相角條件根軌跡的基本繪制規則等效傳遞函數的概念根軌跡的簡單應用一、一個例子5.1根軌跡的基本概念一單位負反饋系統的開環傳遞函數為：kkgG

(s)=s(s

+

2)試分析該系統的特征方程的根隨系統參數k

g的變化在S平面上的分布情況。例5-1系統的閉環特征方程：s2

+

2s

+

k

=

0g特征方程的根是：

s1,2

=

-1

–

1

-

k

g變化范圍是〔0,∞﹚設k的g解2021年6月28日2時17分3當kg

=0

時,s1

=

0,

s2

=

-2當

0

<

kg

<

1

時,

s1與s2為不相等的兩個負實根；當

kg

=

1時，

s1

=

s2

=

-1

為等實根；統參數k從0變到∞時，在S平面上變化的軌跡如圖所示。1P2Pgk

=

0kg

=

0gk

=1Kg

fi

￥K

g

fi

￥jwsS

]當kg

>1

時，s1,2

=-1

–j該系統特征方程的根，隨開環系2021年6月28日2時17分4kg

-1

共軛復根。性能二、根軌跡與系統性能2021年6月28日2時17分5穩定性當增益Kg由0→∞，根軌跡不會越過虛軸進入s平面右半邊，因此系統對所有的值都是穩定的。如果系統特征方程的根都位于s平面的左半部，系統是穩定的，否則是不穩定的。若根軌跡穿越虛軸進入右半s平面,根軌跡與虛軸交點處的K值，就是臨界穩定的開環增益。穩態性能

開環系統在坐標原點有一個極點，所以屬Ⅰ型系統,因而根軌跡上的K值就是靜態速度誤差系數。如果給定系統的穩態誤差要求，則由根軌跡圖確定閉極點位置的允許范圍。動態性能當0

<kg

<1

時,所有閉環極點均位于實軸上,系統為過阻尼系統，其單位階躍響應為單調上升的非振蕩過程。當k

g

=1

時，特征方程的兩個相等負實根，系統為臨界阻尼系統，單位階躍響應為響應速度最快的非振蕩過程。>1

時，特征方程為一對共軛復根系統為欠阻尼系統，當kg單位階躍響應為阻尼振蕩過程，振蕩幅度或超調量隨Kg值的增加而加大，但調節時間不會有顯著變化。設系統的開環傳遞函數為:kg為根軌跡增益(或根軌跡的放大系數)三、根軌跡的概念(

)gkk N

(s)GD(s)s

=其中:nj

=1N

(s)

=

(s

+

z

j

),nj

=1D(s)

=

(s

+

pj

)可得到系統的閉環特征方程式為:(

)(

)kgN

sD(s)1+G

s

=

0

1+

k=

0ning即：

N

(s)i

=1j

=1(s

+

z

)D(s)

=

k-

1

=(s

+

pj

)開環的零點開環的極點-zi-

pi2021年6月28日2時17分6根軌跡圖是閉環系統特征方程的根（閉環極點）隨開環系統某一參數由0變化到∞時在S平面上留下的軌跡。由此可得到滿足系統閉環特征方程的幅值條件和相角條件為：幅值條件:12021年6月28日2時17分7nnngkj

=1(s

+

zi

)(s

+

zi

)=

i

=1

=

i

=1

n(s

+

pj

)j

=1(s

+

pj

)相角條件:m

n—(s

+

zi

)-

—(s

+

pi

)

=

–(1+

2k)p,

k

=

0,1,

2,

3....i=1

j=1我們可以把系統的閉環特征方程的根描述成:

凡是滿足幅值條件和相角條件的s值稱為特征方程的根——即閉環極點。注：因為K

g

從0

fi

￥

變化，因此不論什么s值,總有一個

Kg存在,使幅值條件得到滿足,所以,實際上只要滿足相角條件的s值就是閉環極點,而由此s值,再由幅值條件可確定此時系統對應的Kg值。2021年6月28日2時17分85.2

根軌跡的繪制規則由根軌跡的幅值條件可知：12021年6月28日2時17分9mngkj

=1i=1s

+

z

j=s

+

pi當

kg

=

0

,必有

s

=

-pi

(i

=1,

2,,

n)此時系統的閉環極點與開環極點相同(重合)，開環極點為根軌跡的起點。通常，我們稱以開環根軌跡增益為可變參數繪制的根軌跡為普通根軌跡（或180°根軌跡），簡稱根軌跡。規則一 根軌跡的起點規則二 根軌跡的終點由根軌跡的幅值條件可知：零點(kg

fi

￥

)

。12021年6月28日2時17分10mngkj

=1i

=1s

+

z

j=s

+

pi此時，系統的閉環極點與開環零點相同（重合），所以開環零點為根軌跡的終點。結論：根軌跡起始于開環極點(kg

=

0)

，終止于開環s

=

-z

j

(

j

=1,

2,,

m)當

kg

=￥

時，必有如果開環極點數n大于開環零點數m,則有n-m條根軌跡終止于S平面的無窮遠處(無限零點)，如果開環零點數m大于開環極點數n，則有m-n條根軌跡起始于S平面的無窮遠處。規則三 根軌跡的分支數、連續性和對稱性根軌跡的分支數即根軌跡的條數。根軌跡是描述閉環系統特征方程的根（即閉環極點）在s平面上的分布，那么，根軌跡的分支數就應等于系統特征方程的階數。由例5-1

看出，系統開環根軌跡增益k（g

實變量）與復變量

s有一一對應的關系。當kg

由0到∞連續變化時，描述系統特征方程根的復變量s在平面上的變化也是連續的，因此,根軌跡是n條連續的曲線。由于實際的物理系統的參數都是實數,如果它的特征方程有復數根的一定是對稱于實軸的共軛復根，因此，根軌跡總是對稱于實軸的。結論：根軌跡的分支數等于系統的閉環極點數。根軌跡是連續且對稱于實軸的曲線。2021年6月28日2時17分11規則四 實軸上的根軌跡2021年6月28日2時17分12即右側開環零,極點數的和為奇數時,該段為根軌跡。實軸上的根軌跡由相角條件可證:設某段右側的零,極點數分別為：

Nz

,

Npm

ni

=1

j=1則:

ai

-

bj

=Nzp

+Npp

=–(1

+2k)p規則五 漸近線n

m2021年6月28日2時17分13j

=1當開環極點數n大于開環零點數m時,系統有n-m條根軌跡終止于S平面的無窮遠處，這n-m條根軌跡變化趨向的直線叫做根軌跡的漸近線，因此漸近線也有n-m條,且它們交于實軸上的一點。漸近線與實軸的交點位置s

和與實軸正方向的交角j分別為:

pi

-

z

js

=

i

=1n

-

mn

-

m–

(2k

+

1)pj

=

,

(k

=

0,1,

2,,

n

-

m

-

1)kkg

(s

+

2)G

(s)=s2

(s

+1)(s

+

4)例5-2

已知系統的開環傳遞函數,試畫出該系統根軌跡的漸近線。σ

=

-1

-

4

+

2

=

-1解1漸近線：系統有n=4,m=1,n-m=3三條漸近線與實軸交點位置為：實軸正方向的交角分別是3π

=

60 (k

=

0)5π

=

-60 (k

=

2)3π

=

180 (k

=

1)漸近線如圖所示。-4-30ss-2

-13000B1800600C3jwA6002021年6月28日2時17分142021年6月28日2時17分15規則六 根軌跡的分離點、會（匯）合點根軌跡在s平面上相遇，表明系統有相同的根。即在分離點和會合點處必有閉環特征重根,令閉環特征方程為:gF

(s)

=

kg

N

(s)

+

D(s)

=

(s

+

sd

)

(s

+

s

1

)(s

+

s

2

)(s

+

sn-g

)

=

0如果令)]dF

(s)ds

dsgd

1

2

n-g=

(s

+s

)

d

[(s

+s

)(s

+s

)(s

+sg-1+g(s

+sd

) [(s

+s1

)(s

+s2

)(s

+sn-g

)]

=

0即可求得dsdF

(s)

=

0K1

=￥K1

=

0K1

=￥K1

=

0K1

=￥K1

=￥會合點K1

=

02021年6月28日2時17分16K1

=

0故在重根處有:ggdF

(s)dsd

(k N

(s)

+

D(s))==

k N

'(s)

+

D

'(s)

=

0因為：gkN

(s)=-

D(s)dsD(s)N

(s)所以：

-N

'(s)

+

D

'(s)

=

0即：dkgdsN

2

(s)=-

D

'(s)

N

(s)

-

D(s)

N

'(s)分離點/會合點:和dsdF

(s)

=

0dkg2021年6月28日2時17分17ds=

0以上分析沒有考慮kg

?0

(且為實數)的約束條件，所以只有滿足kg

?0

的這些解，才是真正的分離點（或會合點）。事實上，分離點還可由下式確定因為即其中即所以-1

1mni

j=s

+

zs

+

pi=1j

=1N

(s)

D(s)N

￠(s)

=

D￠(s)d

[ln

N

(s)]

=

d

[ln

D(s)]ds

dsN

(s)

=

(s

+

z1

)(s

+

z2

)(s

+

zm

)D(s)

=

(s

+

p1

)(s

+

p2

)(s

+

pn

)dsdsd

[ln

N

(s)]

=+1s

+

zmd

[ln

D(s)]

=+1

1s

+

z1

s

+

z21

1s

+

p1

s

+

p21s

+

pn+

++

+12021年6月28日2時17分181=i=1

s

+

zij

=1

s

+

pjmnD￠(s)N

(s)

-

D(s)N

￠(s)

=

0例5-3kkg繪制開環系統傳函數為

G

(s)

=s(s

+

1)(s

+

2)的單位負反饋系統的(180°)根軌跡。

1）此系統無開環零點，有三個開環極點，分別為：p1

=

0

p2

=

-1

p3

=

-22）漸近線：根據規則可知，系統根軌跡有三條分支，當

k

g

=

0分別從開環極點

p1、p2、p3出發，kg

fi

￥

時趨向無窮遠處，其漸解漸近線與實軸的交點為00–

(2k

+

1)p近線夾角為：j

==

–60

,180n-

m(k

=

0,1,

2,,

n-

m-

1)n

m2021年6月28日2時17分19ijP

-

Zj

=1s

=

i

=1=

-1n

-

m由上式可求分離點必位于0至-1之間的線段上，故s1

=

-0.423

為分離點d的坐標。上式的根為

s1

=

-0.423s2

=

-1.577dkgds=

-(3s2

+

6s

+

2)求分離點：kg=

-(s3

+

3s2

+

2sjwsS0-1-

22021年6月28日2時17分202021年6月28日2時17分21規則七、根軌跡的出射角和入射角由相角條件可直接得到m

ni

=1j

=1

ai

-

b

j

=

–(1

+

2k

)pmnbj出射角:

b

=

p

+

ai

-i=1j=1,

j

?kmnijb入射角：a

=p

-a

+i=1,i?kj

=1ReIm0s1-

p1*-

p2-

p3-

p2b1b3bAa1-z1b22021年6月28日2時17分22規則八 根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸的交點就是閉環系統特征方程的純虛根（實部為零）。用

s

=

jω代入特征方程可得kg

N

(s)

+

D(s)

|s=

jw

=

0令此方程中虛部為零，即可求得根軌跡與虛軸的交點處的頻率為w

。用w

代入實部方程，即可求出系統開環根軌跡臨界值kc。利用勞斯表求取。將勞斯表中s2行系數構造的輔助方程求得。若根軌跡與虛軸的交點多于兩個，則應取勞斯表中大于2的偶次方行的系數構造的輔助方程求得。2021年6月28日2時17分23規則九、根軌跡的走向當n-m≥2滿足時，隨著Kg增加，一些根軌跡分支向左方移動，則另一些根軌跡分支將向右方移動。開環傳遞函數：特征方程：G(s)H

(s)

=2021年6月28日2時17分24kg

(s

-

z1

)(s

-

zm

)(s

-

p1

)(s

-

pn

)m

mmgi

mnnnjjz

sm

-1n-1j

=1j

=1k

(s

-=

i

=1

i

=1

s

-

p

s-

-

z

)-

-

pnnjj

=11

+

G(s)H

(s)

=

sn

-

p

sn-1

-

-

pjj

=1mmmggigmz

sm-1i

=1

i

=1-k

s

-

k-

-

k

zn當滿足n-m≥2時，上式sn-1項將沒有同次項可以合并，通常把

pi

/

n

稱為極點的“重心”。j

=1當Kg變化時，極點的重心保持不變。所以，為了平衡“重心”的位置，當一部分根軌跡隨著的增加向左方移動時，另一部分根軌跡將向右方移動。例K

*G(s)H

(s)

=s(s

-

p2

)(s

-

p3

)(s

-

p4

)ReIm0p1p2p3p42021年6月28日2時17分25規則十、根軌跡上kg值的計算根軌跡上任一點S1處的kg可由幅值條件來確定。即=1g1

1

1

mk

=s1

-

p1

s1

-

pn=G1

(s1

)H

(s1

)

s

-

z

s

-

zG1

(s1

)H(s1

)零點至s1所引向量長度的乘積2021年6月28日2時17分26G1

(s1

)H(s1

)極點至s1所引向量長度的乘積繪制根軌跡圖的法則序號內

容規

則1起點終點起始于開環極點（含無限極點），終止于開環零點（含無限零點）。2分支數、對稱性、連續性分支數等于開環傳遞函數的極點數n（n?m），或開環傳遞函數的零點數m（m>n）。對稱于實軸且具有連續性。3漸近線n

–

m條漸近線相交于實軸上的同一點：

(2k

+1)p坐標為：

p

傾角為：

ja

=n

mi

-

z

j

n

-

ms

=-

i=1

j

=1

k

=

0,1,

2,,

n

-

m

-1a

n

-

m4實軸上的分布實軸的某一區間內存在根軌跡，則其右邊開環傳遞函數的零點、極點數之和必為奇數2021年6月28日2時17分27序號內容規

則5分離（會回合）點實軸上的分離（會合）點

d[G

(s)H

(s)]

dkg——（必要條件）

ds

=

0或

ds

=

0

1

1

6出射角入射角復極點處的出射角： 復零點處的入射角：m

n

n

mq

=180

(2k

+1)

+j

-

q

j

=180

(2k

+1)

+

q

-

ja

i

j

b

j

ii=1

j

=1

j

=1

i=1j

?a

i?b7虛軸交點滿足特征方程

1+

G(

jw

)H

(

jw的)

=

0值；

jw由勞斯陣列求得（及kg相應的值）；8走向當

n

-

m

?

2,

kg時fi

，￥

一些軌跡向右，則另一些將向左。9kg計算根軌跡上任一點處的kg：k

=

1

＝開環極點至向量s長度的乘積g

G

(s

)H

(s

)

開環零點至向量s長度的乘積1

1

1

12021年6月28日2時17分28解：開環極點：0、-3、-1+j、-1-j開環零點：-2，3個無限零點(1)漸近線：應有n-m=4-1=3條漸近線，漸近線的傾角：Kg

(s

+2)系統開環傳遞函數為

G(s)H(s)

=試繪制根軌跡圖s(s

+3)(s2

+2s

+2)j

==–180

(2k

+1)n

-m–180

(2k

+1)3=

–60

,180漸近線與實軸的交點：s

=(p1

+p2

+p3

+p4)-z1

=0-3+(-1+

j)+(-1-

j)+2

=-1n-m

3(2)

實軸上的根軌跡：[0

-2]，[-∞

-3]例5-42021年6月28日2時17分29特征方程：所以q3

=180

-(135

+26.6

+90

)

+45

=-26.6同理不難求得極點-p4處的出射角：q4

=26.6(4)根軌跡與虛軸的交點：方法一：由特征方程求：s4

+

5s3

+8s2

+

6s

+

K

(s

+

2)

=

0gs

=

jw(w

4

-

8w

2

+

2K

)

+

j(-5w

3

+

(6

+

K

)w

)

=

0g

g(3)極點-p3的出射角q3：不難求得極點-p1、-p2、-p4到-p3的幅角分別

26.6

、135

、90

,有限零點-z1到－p3的幅角為

452021年6月28日2時17分30實部方程：解得：方法二：由勞斯陣列求：列出勞斯陣列令s1行為零，即得Kg=7，再根據行s2得輔助方程：w

4

-8w

2

+

2K

=

0g虛部方程：

-5w

3

+(6

+

k

)w

=

0gw3

=

-1.61w1

=

0(舍去)

w

2

=1.61Kg

=

7415ggggs8

2Kg2Ks3s2s1s02K6+K(34-K

)/5(204-22K

-K2)/(34-K

)g

g

g22021年6月28日2時17分31534

-

Kgs

+

2Kg

=

0w

=

–1.61g

g(204-22K

-K2

)

=0[S]0jωσ-32021年6月28日2時17分32-2-1-1+j-1-jM-filenum1=[1,2];

den1=[1,5,8,6,0];sys1=tf(num1,den1);

rlocus(sys1)Matlab繪制系統的根軌跡：2021年6月28日2時17分33解的根軌跡，確定:例5-6kg為何值系統非振蕩穩定,振蕩穩定,不穩定?求使系統具有cos

b

=0.707時的kg值。在該系統中增加一個怎樣的環節,可使系統不論

kg怎樣變化都穩定。為使系統對速度輸入的穩態誤差為零,加怎樣的環節可使系統穩定。kkg繪制

G

(s)

=s(s

+

1)(s

+

5)(1)①分離點:dkgds=

3s2

+12s

+

5

=

03s

=-2

–7

=-0.48,-3.52

(舍)32021年6月28日2時17分34(2k

+1)p

1②漸近線:j

==

–

p,

-p,s

=

-2n

-

m③與虛軸交點:(

jw)3

+6(

jw)2

+5

jw

+k

=0gw

=

–

5kg

=

30④分離點處kg的值kg=

s(s

+1)(s

+

5)

|s=-0.48

=1.1281.128<kg

<30

振蕩穩定由此可見:

0

<

kg

<1.128無振蕩穩定

kgkg=30

臨界穩定>30

不穩定(2)在解得:s=-0.45+j0.45,b

=0.707時,極點為:s

=

-s

+

js代入閉環特征方程:

s3

+

6s2

+

5s

+

k

|

=

0g s=-s

+

jskg

?

2.072021年6月28日2時17分35(一般a>0,d>0為好,是最小相位系統)(4)如果使系統速度輸入誤差為零,則系統應是II型的,那么從開環零,極點分布圖上可見:應該附加兩個零點,系統才可能完全穩定下來。漸近線:s

<

0,

a

+

d

<

6(3)增加一零點(s+a)有可能使系統完全穩定,此時漸近線:j

=

(2k

+1)p

=

–

1

ap

s

<

0a

￡

6n

-

m

2否則,在

a

?

6

時,根軌跡有可能與縱軸相交。jwSs-5

-

2

-1

036jwsS0-1-

2-52021年6月28日2時17分開環傳遞函數為：例5-7gkk

(s

+

a)G

(s)

=s(s

+

p)tg(

(s

+

jw

)

+

(s

+

p

+

jw

))

=

tg(1800

+

(s

+

a

+

jw

))繪制根軌跡,并證明有一段根軌跡為圓（a,p為實數)。解

根據相角條件可知：(—

s

+

—

(s

+

p))

=

1800

+

—

(s

+

a)令

s

=

s

+

jw

兩邊取正切變換：w

ww

+

ws

s

+

p

=

w

s

+

a1-s

s

+

p(s

+

a)2

+w

2

=

a2

-aps

2

+w

2

+

2s

a

+

ap

=

0a

22021年6月28日2時17分37-

ap圓心(-a，,0)半徑下面驗證半徑是零點到分離點或匯合點的距離：分離點：由dkgds=0，得s2

+

2as

+

ap

=

02s1,2

=

-a

–

a

-

ap1(s

-(-a))2

=

a2

-

apjwsS0-1-

2例：a

=2，p

=12021年6月28日2時17分38例5-5kkg

(3s

+5G

(s)

=s(s

+3)(Ts

+1),繪制以T為參數的根軌跡。kg

=1設某系統的開環傳遞函數為：5.3廣義根軌跡前面介紹的根軌跡繪制法則,只適用于以放大系數kg為參量的情況,如果變化參數為其它參數情況將如何處理？解2021年6月28日2時17分39根據根軌跡的定義,根軌跡是閉環極點隨某個參量變化在s平面上留下的軌跡,故根軌跡上的點滿足閉環特征方程： 3s

+

5

+1

=

0s(s

+

3)(Ts

+1)Ts2

(s

+

3)Gk

'(s)

=

s2

+

6s

+

5kg

(3s

+

5)Gk

(s)

=

s(s

+

3)(Ts

+1)具有相同的閉環特征方程,則隨t從0

fi

￥

變化,其根軌跡是一樣的,我們將具有相同閉環特征方程的開環傳遞函數稱為相互等效的開環傳遞函數（簡稱為等效傳遞函數）?？傆幸环N等效開環傳遞函數,可將變化參數位于放大系數的位置.這時就可利用前面的規則了。kgnum1=[1,3,0,0];den1=[1,6,5];sys1=tf(num1,den1);

rlocus(sys1)2021年6月28日2時17分40如果系統的開環傳遞函數的放大系數

k

為負,5.4

零度根軌跡前面討論的根軌跡均是滿足m

ni

=1

j

=1

—

(s

+

z

j

)-

—

(s

+

pj

)=

–(1

+

2k)p的相角條件,此根軌跡稱為

180

根軌跡。設開環傳遞函數為：knjg

ii=1j

=1mk

(s

+

z

)G

(s)

=(s

+

p

)g其閉環特征方程為:minjkgi=1j

=1(s

+

z

)-

1

=(s

+

p

)對應的即是零度(0 )

根軌跡。相角條件為:m

ni=1

j

=1=

–2kp

(s

+

z

j

-

—

(s

+

p

j2021年6月28日2時17分41在繪制

0根軌跡時，只需在180

根軌跡的畫法規則中，與相角條件有關的規則作相應的修改。規則四 實軸上的根軌跡實軸上，若某線段右側的開環實數零、極點個數之和為偶數，則此線段為根軌跡的一部分。規則五 漸近線漸近線與實軸的交點位置別為：n

m2021年6月28日2時17分42j

=1

pi

-

z

js

=

i=1n

-

mn-

mj

=

2kp

,

(k

=

0,1,

2,,

n-

m-1)s

和與實軸正方向的交角j分入射角：2021年6月28日2時17分43規則七、根軌跡的出射角和入射角由相角條件可直接得到:m

ni=1

j

=1ai

-

bj

=

2kp出射角:mnbjbk

=

ai

-i=1,j

=1,

j

?km

ni=1,i?kj

=1ak

=

-

ai

+

bj由修改后的規則四知，實軸上的根軌跡是由0至+∞線段和由-1至-2線段。由修改后的規則五知，漸近線與實軸正方向的夾角分別是:0°(k=0)、120°(k=1)、-120°(k=2)。漸近線與實軸的交點為-1。已知正反饋系統的開環傳遞函數為試繪制該系統的根軌跡圖。s(s

+1)(s

+

2)G(s)H

(s)

=Kr例5-8解20