第11節幾何圖形初步

1.如果一個角的度數比它補角的2倍多30°,那么這個角的度數是（）

A.50°B.70°C.130°D.160°

2.用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個銳角不大于45°”時，應先假設（）

A.兩銳角都大于45°

B.有一個銳角小于45°

C.有一個銳角大于45°

D.兩銳角都小于45°

3.如圖，在△46C中，3。平分乙BC于點E.若43=5,BC=7,?！?2,則△A8C的

面積為

A.10

B.12

C.14

D.24

4.如圖，&〃6,將直角三角尺的兩個銳角頂點分別落在”,6上，若21=70°，則22等于'

第4題圖

5.如圖，△/中,46邊的垂直平分線交46于點。，交AC于點E,連接6E.若AC=5,BC=

3,則△8?！甑闹荛L為

6.（2022株洲）如圖所示，已知AMON=60°,正五邊形ABODE的頂點4,8在射線0M上，頂

點E在射線6W上，則〃1￡。

7.如圖,OE是△ABC的中位線，『為OE的中點，連接”并延長交8c于點C,若=1，則

SAABC=

29

第12節全等三角形

1.（2022成都）如圖，在△48。和△0分、中，點4,￡,8,0在同一直線上,4?！?。34。=。/,只

添加一個條件,能判定△/18C二△DEF'的是)

A.BC=DEB.AE=DBC.乙1=Z-DEFD.乙48c=乙D

第2題圖

25°,乙1）=80°,則乙BC4的度數為

A.25°B.50C.65D.75°

3.（2022太原一模）“又是一年三月三”.在校內勞動課上，小明所在小組的同學們設計了如

圖所示的風箏框架.已知乙8=乙E,AB=DE,BF=EC,AABC的周長為24cm,FC=3cm.

制作該風箏框架需用材料的總長度至少為（）

A.44cmB.45cmC.46cmD.48cm

4.如圖,連接4。,8C交于點。，若。為BC中點，求證：ZU。。^/XDOB.

B

5.楊陽同學沿一段筆直的人行道行走，在由4步行到達8處的過程中,通過隔離帶的空隙點

剛好瀏覽完對面人行道宣傳墻上的社會主義核心價值觀標語.如圖相鄰

兩平行線間的距離相等,80相交于。,。0女￡）,垂足為O,已知46=20m,請根據上

述信息求標語CO的長度.

人行道B4

?"二行車道

H

行車道一.11。隔離帶

CtD人行道

富強民主文明和諧……

30

提分小專題五全等模型

1.如圖，兩棵大樹相距13m（即8C=13m）,小華從點8沿8c走向點C,從D

行走一段時間后到達點E,此時他仰望兩棵大樹的頂點4和0,若兩條突、

視線的夾角正好為90°,且E4=E0,已知大樹43的高為5m,小華行走XyJ

RFC

的速度為lm/s,則小華由8走到E所用的時間是s.

2.（2022宜賓）如圖，點在同一直線上,71臺〃0￡,48=乙E，BC=EF.求證=CF.

3.（2022太原二模）如圖，點O,C在線段8芯上,8。=C￡,48=￡乩48〃EF.求證：4?！?。尺

4.如圖，在△ABC與△/1?！曛刑?。=/1心/。=乙￡,點0在8。邊上,乙1=42.試判斷8。與0￡

的數量關系,并說明理由.

31

5.如圖，已知垂足分別為C,0,8C與40相交于點F,且4c=是/IB的

中點,連接尸E.求證:FE平分AAFB.

6.如圖1,在Rl。中，乙84c=90°,48=4C,點0是射線BC上一動點，連接4D將線段

AD繞點A逆時針旋轉90°至4&連接DE,CE.

(1)請證明BD=CE,BD±CE.

(2)若48=3v5,60=4,求月。的長.

(3)如圖2,當點。在8。的延長線上時，判斷線段8。,OC,40之間的數量關系,并說明理由.

32

第13節特殊三角形

1.（2022宿遷）若等腰三角形的兩邊長分別是3cm和5cm，則這個等腰三角形的周長是

（）

A.8cmB.13cmC.8ctti或13cmD.11cm或13cm

2.如圖，在直角三角形ABC中，乙BAC=90°,=56°,AD±BC,DE〃AC,則乙4DE的度數為

（）

A.56B.46C.44D.34

(13)

(1)(12)

(2)(11)

(10)

⑶(9)

(4)

(5)(6)(7)(8)

第3題圖

3.數學文化古埃及人曾經用如圖所示的方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13個結,

然后以3個結間距、4個結間距、5個結間距的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中

一個角便是直角，這樣做的道理是)

A.直角三角形兩個銳角互余B.三角形的穩定性

C.勾股定理D.勾股定理的逆定理

4.如圖，在DABCD中，AABC的平分線交4。于點E/BCD的平分線交40于點F,若AB=

3,4。=4,則的長是（）

A.1B.2C.2.5D.3

5.如圖，在中,48=8C,由圖中的尺規作圖痕跡得到的射線BO與4c交于點E,點/

為BC的中點,連接“,若=4C=2,則△?！晗Φ闹荛L為)

A.、於+1B.、5+3+1D.4

6.如圖，已知48是圓柱的高，8C是圓柱底面的直徑，圓柱底面的周長為12cm,高為8cm,

在圓柱的側面上，過點4和點。嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長最小為（）

A.10cmB.20cmC.v'208cmD.100cm

7.如圖，RM48C中,4C=90°,將△3CE沿3E對折,C點恰好與43的中點。重合，若8E=4,

則AC的長為

33

8.如圖是等邊三角形,80是中線，延長8C至點￡，使。￡=CD

(1)求證：OB=OE.

(2)如圖2,若于點孔CF=3,求△48C的周長.

圖1圖2

9.如圖1,在△4BC中中0JL4C于點。,4C=45°,4c=7,8。=4,點。是5。邊上的一個動點.

(1)求48的長.

(2)如圖2,在圖1的基礎上連接0P,當OP，3c時，請率移寫出CP的長度.

⑶如圖3,在圖1的基礎上連接4P,試探究在點P的運動過程中，當CP的長為多少時，

△43P是等腰三角形.

圖1圖2圖3

34

第14節相似三角形

1.如圖，直線2〃2〃％，分別交直線機"于點4,8,。,。,￡,￡已知"=4,8。=6,?！?2,則

￡產的長為)

A.2B.3C.4D.4.5

第1題圖第2題圖

2.數學文化（2022陜西）在20世紀70年代，我國著名數學家華羅庚教授將黃金分割法作

為一種“優選法”在全國大規模推廣，取得了很大成果.如圖，利用黃金分割法,所作的以'

將矩形窗框48CO分為上下兩部分，其中E為邊AB的黃金分割點，即BE2=AE-AB.已知

48為2米,則線段的長為米.

3.如圖，。是△/18C的邊8C上一點,/18=4,4〃=2,乙。4。=43.如果△/180的面積為15,那

么△4CO的面積為

第3題圖第4題圖

4.如圖，在平面直角坐標系中，△46C與△OOE是位似圖形，則它們位似中心的坐標是

5.（2015山西15題）太原市公共自行車的建設速度、單口租騎量等四項指標穩居全國首位.

公共自行車車樁的截面示意圖如圖所示MBUOMODC,點艮C在E/上,E

HG,AB=80cm,AD=24em,BC=25cm,EH=4cm,則點4到地面的距離是cm.

35

6.（2022杭州）如圖，在中，點0,瓦尸分別在邊上，連接O&EF,已知四邊

形即花。是平行四邊形，段DP=4]，

13O4

（1）已知43=8,求線段40的長.

⑵已知△〃）￡的面積為1,求平行四邊形8尸￡0的面積.

7.（2022玉林）如圖，在矩形ABCD中,48=8,/10=4,點￡是CO邊上的任一點（不包括端點

2）,0,過點A作AFLAE交CB的延長線于點/，設0E=a，求3/的長.（用含a的代數式

表示）

36

提分小專題六相似模型

1.（2022哈爾濱）如圖，48〃。0,4。,80相交于點￡,/1芯=\,CE=2,DE=3,則80的長為

)

2

A。2B.4C4D.6

第1題圖第2題圖

2.（2022貴陽）如圖，在△46C中，。是48邊上的點，乙B=乙4coMc：43=1：2,則440。與

△/IC8的周長比是)

A.1：/B.1：2C.1：3D.1：4

3.（2022黑龍江）如圖，△48C中,48=AC,40平分484c與BC相交于點。，點E是45的中

3

點,點尸是OC的中點，連接EF交AD于點P.若△/18C的面積為24,P。=萬,則PE的氏是

（）

57

A.4B.2C=D.3

22

4.（2022揚州）如圖，在△/18C中，48<4C,將AABC以點4為中心逆時針旋轉得到,

點。在"邊上，OE交4C于點尺下列結論：①△4FE，△￡）“；②04平分乙3DE；

③4CO/=4區40,其中所有正確結論的序號是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

5.如圖，在矩形中，E為"的中點，C,尸分別為40,"邊上的點.若4c=1,6『=2,

乙GEF=90°,則的長為.

6.如圖，048CO的邊40=3,48=2,ABAD=120°,￡為48的中點，/在邊8。上，且一",=

2%,4/與0E交于點C,則AC的長為

37

7.如圖，在RtZUBC中，乙4C8=90°,4C=6cm,8C=8cm.動點M從點3出發，沿84邊以

3cm/s的速度向點4運動，同時動點N從點C出發，沿C6邊以2cm/s的速度向點5運動,

其中一點到達終點后，另一點也停止運動.運動時間為t(s),連接4MGW,MM

(1=cm,BN=cm.(用含/的代數式表示)

(2)若△BM/V與相似，求￡的值.

⑶若4MLeM,求t的值.

38

第15節銳角三角函數及其應用

1.（2022沈陽）如圖，一條河的兩岸互相平行，為了測量此河的寬度PT（PT與河岸PQ垂直）,

測量得到P,。兩點間距離為機米，4PQT=a，則河寬的長度是（）

A.msina米B.m」cosa米C.m」tana米D.-----米

tana

第1題圖第2題圖第3題圖

2.（2022廣元）如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等,4,8,。，。都在格點

處,48與CO相交于點P,貝hos乙4PC的值為)

A"R2/52n75

A.—5—B.---C.—1）.—^―

3.（2017山西14題）如圖，創新小組要測量公園內一棵樹的高度48,其中一名小組成員站在

距離樹10米的點￡處，測得樹頂4的仰角為54°.已知測角儀的架高C￡=1.5米，則這棵樹

的高度為米.（結果保留一位小數.參考數據：sin54°=0.8090,cos54°=0.5878,

tan54°=1.3764）

4.紅色文化（2022適應性）山西省立第一中學—中共太原支部的搖籃，其舊址位于文瀛

湖南岸.某綜合實踐小組想測量該舊址校門牌樓的高度，他們在校門正前方的平臺OV上

的點C處測得校門底端B的俯角為22°，在平臺CN上的點D處測得校

門頂端4的仰角為60°.平臺0v平行于地面測得CN距地面8M的高

度為1m,C0的長為1.5口1.點4,6,。,0,帆;￥均在同一豎直平面內.請你

幫助該小組求校門牌樓的高度,國（結果精確到0.1m.參考數據：

sin22°?0.37,cos22°?0.93,tan22°?0.4>A/3?1.73）

A

C'\DM

BM

39

5.素養提升一綜合與實踐到2022年底，太忻一體化經濟區將新建1994座5G基站.如圖是

建在坡度i=1：2.4的斜坡4M上的一個5G基站塔CD.在坡角頂點A處測得塔頂D的仰角

為45°,沿斜坡步行52m到達8處，在6處測得塔頂D的仰角為63.4°,點4,8,C,O,M,N

在同一平面內.求基站塔高CD.（結果精確到0.1m,參考數據:sin63.4°"0.89,cos63.4、

0.45,tan63.4°?2.00）

40

提分小專題七解直角三角形中的綜合實踐活動

素養提升一綜合與實踐太原五一廣場首義門是明初為擴建太原城時I、

修筑的一座城樓.2020年起五一廣場整體改造，首義門作為標志性歷史《

建筑進行復建，肩負起英雄太原、文化太原的載體和坐標.某綜合實踐￡

活動小組要對首義門塔樓的高度進行測量，測量方案及測量數據如下：

測量課題測量太原五一廣場首義門塔樓的高度

測量工具測傾器、皮尺、米長的標桿等

方案方案一方案二

C

測量

示意圖......K..ril....

____\G

EFDB平面鏡D

線段，。表示塔樓的高度，標桿=線段C。表示塔樓的高度，人眼到地面的

BF=1米，測點在同一條水平線距離48=1.7米，測點在同一條水

說明上，且凡O,C,C都在同一豎直平平線上，且4,8,都在同一豎直平面

面內，點4,8,6在同一條直線上，點G在內(平面鏡大小忽略不計)

CD±

人眼剛好能在平面鏡中看到塔樓最高處.

測量數據48=23米，乙CAB=30°,LCBG=42°

測得8￡=12米

(1)綜合實踐活動小組設計的兩個方案中，哪個可以測量出首義門塔樓的高度？將不可行

的方案添加一個測量數據使得方案可行.

(2)計算首義門塔樓CO的高度.(結果保留整數，參考數據：sin42°?0.67,cos42°?

0.74,tan42°?0.90，萬%1.73)

41

提分小專題八三角形中的輔助線

1.（2022黑龍江）在RIA4BC中，4C=90°,AD平分4C48,4C=6,B