電磁場(chǎng)復(fù)習(xí)題

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電磁場(chǎng)復(fù)習(xí)題（2）

2、已知A=e(ax2+x2+y)+e(by2+z)+e(cz2+x2),a,b,c取何值時(shí)，A為無(wú)源

xyz

場(chǎng)。

解：若一個(gè)矢量函數(shù)的散度為零，則該矢量所代表的場(chǎng)為無(wú)源場(chǎng)。

▽.A=δ(ax2+x2+y)+δ(by2+z)+δ(cz+x2)=2ax+2x+2by+2cz=0

δxδyδz2

要滿足上式應(yīng)有2a+2=0,2b=0,2c=0，所以a=一1,b=0,c=0

3、一半徑為a的圓環(huán)，環(huán)上均勻分布電荷，密度為pC/m。求軸線上任一點(diǎn)的

l

電場(chǎng)。

解：如圖所示。圓環(huán)上線元dl=adφ,其電量為：z

dq=pldl=pladφdEdE,

在軸線上P產(chǎn)生的場(chǎng)為dE，由于電荷分布的軸對(duì)稱性P

,與dl相對(duì)應(yīng)的線元dl,，在P點(diǎn)的場(chǎng)為dE,，dE與dEOθ

y

疊加后只有z方向的分量。dl

φ

dE=aplcosθdφ=aplzdφx

z4πε(a2+z2)4πε(a2+z2)32

00

z04πε(a2+z2)322πε(a2+z2)32

E=∫2πaplzdφ=aplz(V/m)

00

4、兩個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的r=a和r=b(b>a)的同軸圓柱表面分別帶有面電荷密度σ1和σ2。

（1）計(jì)算各處的E；（2）于使r>b處的E=0，則σ1和σ2應(yīng)具有什么關(guān)系？

q

解：（1）利用高斯定理∫E.ds=

ε

s

0

r<a：E1=0

求解

a<r<b：E2πrl=σ12πal,E=e—σ1a

2ε2rεr

00

r>b：E2πrl=σ12πal+σ22πbl,E=eσ1a+σ2b

3ε3rεr

00

σb

σa

（2）令E3=0，則-1=一-

2

5、已知，同軸電纜內(nèi)、外導(dǎo)體半徑為a和b，其間填充兩層介質(zhì)，介質(zhì)分界面半徑為r0，內(nèi)外導(dǎo)體間加電壓為V，求（1）各層介質(zhì)的電場(chǎng)強(qiáng)度E；（2）算出各層介質(zhì)中的最大場(chǎng)強(qiáng)（3）欲使二層介質(zhì)中最大場(chǎng)強(qiáng)相等，兩層介質(zhì)應(yīng)滿足

什么關(guān)系？

解：（1）設(shè)同軸電纜單位長(zhǎng)帶電荷p根據(jù)高斯定理可得：

l

E=lE=l

pp

,

12πεr22πεr

12

內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為U=∫r0Edr+∫bEdr=pl(1lnr0+a1r22πεa

01

1b

--ln)

εr

20

p=

l

2πU

1lnb

1r

-ln0+

εaεr

120

,從而的E1和E2

（2）各層介質(zhì)最大場(chǎng)強(qiáng)出現(xiàn)在r=a,r=r0處

則E=

1max

U

,

aε(1lnr0+1lnb)1εaεr

120

E=

2max

U

rε(1lnr0+1lnb)02εaεr